摘 要： 一道數(shù)列題從不同角度、不同側(cè)面定位分析其數(shù)量關(guān)系，可以用不同方法經(jīng)過不同的解題過程得出相同的結(jié)果.一題多解，可以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力，解題過程中從多個(gè)角度分析問題、解決問題，還能鍛煉學(xué)生舉一反三的能力.本文以一道數(shù)列題為例，詳細(xì)說說它的三種不同解法.

關(guān)鍵詞： 一題多解 數(shù)列題 三種解法

數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)的和是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，二者相互轉(zhuǎn)化，構(gòu)造等差、等比數(shù)列及綜合知識(shí)應(yīng)用，通過一題多解，培養(yǎng)學(xué)生的解題能力.

例：已知數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和為S，a>0且S=（a+），求數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式.

解法一：∵S=（a+） a>0，∴S=a=（a+），得：a=1.

S=（a+），a=S-S，S=（S-S+），

S+S=，S-S=1.

∴數(shù)列{S}是首項(xiàng)為S=1公差為1的等比數(shù)列.

∵S=1+（n-1）×1=n

∴S=

∴a=S-S=- （n≥2），當(dāng)n=1時(shí)也適合，∴a=-.

解法二：∵S=（a+） a>0，∴當(dāng)n=1時(shí)，S=a=（a+），得：a=1.

當(dāng)n≥2時(shí)，a=S-S=（a+）-（a+），

∴a-=-a+.

兩邊平分得：a-=-a+=4.

∴數(shù)列{a+}是首項(xiàng)為a+=2公差為4的等差數(shù)列.

a+=2+（n-1）×4=4n-2 解方程（不含題意的舍去），

得：a=-，n=1時(shí)也適合，∴a=-.

解法三：∵S=（a+） a>0

a=S=1

a=S-S=-1

a=-

a=-

猜想a=-

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.

①當(dāng)n=1時(shí)，適合.②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1，k∈N）時(shí)，等式成立，

即a=-，當(dāng)n=k+1時(shí)，a=S-S=（a+）-（a+），a-=-2，

解方程a=-（不合題意舍去）.

∴n=k+1是等式成立，由①、②知a=-.

總之，一題多解，既能培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，又能提高學(xué)生的綜合知識(shí)應(yīng)用能力.