摘 要： 當(dāng)我們遇到一個(gè)棘手的問(wèn)題時(shí)，不是直接解決，而是把它轉(zhuǎn)化為一個(gè)已經(jīng)解決的或比較容易解決的問(wèn)題，從而獲得原問(wèn)題的解決方法。這種思想在數(shù)學(xué)上被稱為轉(zhuǎn)化與化歸，本文將圍繞幾種常見(jiàn)的轉(zhuǎn)化方式來(lái)展現(xiàn)這件“法寶”在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要作用。

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)思想方法 轉(zhuǎn)化 化歸 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

江蘇省自2008年開(kāi)始實(shí)行“3+學(xué)業(yè)水平測(cè)試+綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)”考試方案，高中生在整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程中，尤其重視語(yǔ)數(shù)外三門功課，其中最擔(dān)心的是數(shù)學(xué)。有人說(shuō)，成也數(shù)學(xué)，敗也數(shù)學(xué)。雖然這話可能有點(diǎn)過(guò)了，但也從一個(gè)側(cè)面說(shuō)明了數(shù)學(xué)這門功課在學(xué)生心中的分量。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，學(xué)生們面臨的最大困惑是如何在掌握基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的情況下進(jìn)一步提高自己的數(shù)學(xué)成績(jī)，總希望找到一個(gè)一勞永逸的方法。處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的一個(gè)基本思路在于適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行命題變更，其實(shí)質(zhì)是化未知為已知，化陌生為熟悉，化難為簡(jiǎn)。雖然一勞永逸的方法并不存在，但在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題過(guò)程中卻存在一個(gè)非常根本的數(shù)學(xué)思想，這就是轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法。

轉(zhuǎn)化，就是將解法未知或者解法困難的問(wèn)題，通過(guò)觀察、分析、聯(lián)想、類比等思維過(guò)程，使用正確的方法進(jìn)行變換，將現(xiàn)有的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成我們比較容易解決的問(wèn)題。轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)中最常用的思想，其精髓在于將未知的、陌生的、復(fù)雜的問(wèn)題通過(guò)演繹歸納轉(zhuǎn)化為已知的、熟悉的、簡(jiǎn)單的問(wèn)題。轉(zhuǎn)化與化歸思想是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的根本大法，數(shù)學(xué)中的函數(shù)與方程的思想、分類討論的思想，以及數(shù)形結(jié)合的思想歸根結(jié)底都是轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用。因此在數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)過(guò)程中，乃至在整個(gè)高中學(xué)習(xí)過(guò)程中，都要以轉(zhuǎn)化與化歸這一根本思想為主軸，這樣才可以有效促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解，提高自身的數(shù)學(xué)修養(yǎng)。一般地來(lái)說(shuō)，轉(zhuǎn)化有以下幾種常見(jiàn)的情形。

1.陌生到熟悉的轉(zhuǎn)化

把需要解決的問(wèn)題從一個(gè)陌生的情境轉(zhuǎn)換成熟悉的、直觀的、簡(jiǎn)單的問(wèn)題。我們?cè)趯忣}的過(guò)程中經(jīng)常會(huì)涉及一些難以下手的條件，其實(shí)如果能把這種條件經(jīng)過(guò)自己的理解，然后等價(jià)地用我們常見(jiàn)的語(yǔ)句來(lái)加以闡釋，那么我們便會(huì)豁然開(kāi)朗。

如：在有關(guān)充要條件這一內(nèi)容的學(xué)習(xí)上，常有同學(xué)把充分條件和必要條件搞錯(cuò)，因?yàn)榻滩纳习裵?圯q叫做p是q的充分條件。而一般的資料卻用另外一種方式表示，即q的充分不必要條件是p，其實(shí)兩者是一個(gè)意思。

再如：已知函數(shù)f（x）=，x∈［0，1］，

（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和值域；

（2）設(shè)a≥1，函數(shù)g（x）=x-3ax-2a，x∈［0，1］，若對(duì)于任意的x∈［0，1］，總存在x∈［0，1］，使得g（x）=f（x）成立，求a的取值范圍。

解析：（1）減區(qū)間［0，］，增區(qū)間［，1］，值域［-4，-3］

（2）此小題看似復(fù)雜，變量較多，還有任意和存在這兩個(gè)令人頭疼的字眼，那讓我們一起分析一下，等號(hào)左右的取值互不影響，就相當(dāng)于已經(jīng)把參數(shù)和變量進(jìn)行了分離，設(shè)函數(shù)f（x）的值域?yàn)锳，函數(shù)g（x）的值域?yàn)锽，只要滿足A?哿B即可，原來(lái)是一個(gè)集合的子集問(wèn)題。由（1）得A=［-4，-3］，利用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)可求得B=［-3a-2a+1，-2a］，只要滿足-2a≥3-3a-2a+1≤-4即可，解得答案為a∈［1，］。

2.數(shù)到形的轉(zhuǎn)化

這是一種常見(jiàn)的、重要的、被廣泛使用的轉(zhuǎn)換，借助圖形的直觀來(lái)解題是尋求解題思路的一種重要方法。大量的代數(shù)問(wèn)題有著潛在的幾何背景，如截距，距離，斜率等。有時(shí)畫(huà)一張圖形給問(wèn)題以幾何的直觀描述，從數(shù)與形的結(jié)合中去找出問(wèn)題的邏輯關(guān)系會(huì)大大降低解題的難度。

如：方程sinx=lgx的解有?搖 ?搖個(gè)。

解析：學(xué)生習(xí)慣于通過(guò)解方程來(lái)求解，而此方程無(wú)法正常求解，令學(xué)生手足無(wú)措。若能運(yùn)用靈活的思維換一個(gè)角度思考：此題的本質(zhì)是求方程組y=sinxy=lgx的公共解。由于只要回答解的個(gè)數(shù)，故運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化為求函數(shù)圖像交點(diǎn)問(wèn)題，尋求幾何性質(zhì)與代數(shù)方程之間的內(nèi)在聯(lián)系，便可知解的個(gè)數(shù)為3個(gè)。

再如：設(shè)關(guān)于x的方程sinx+sinx+a=0，有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根時(shí)，求a的取值范圍。

解析：本題若從方程角度出發(fā)，則是一個(gè)涉及根的分布問(wèn)題，非常容易漏掉條件，不妨轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)問(wèn)題，將sinx+sinx-a=0，x∈R，化為sinx+sinx=a，令t=sinx，t∈［-1，1］，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出y=t+t，t∈［-1，1］與y=a的圖像，實(shí)際上就是在求y=t+t，t∈［-1，1］的值域，不難得到答案：a∈［-，2］。

數(shù)到形的轉(zhuǎn)化實(shí)質(zhì)是數(shù)形結(jié)合，既然是結(jié)合，就可以從形到數(shù)的轉(zhuǎn)化，通過(guò)代數(shù)的精確計(jì)算來(lái)處理問(wèn)題，數(shù)學(xué)大師笛卡爾創(chuàng)立的解析幾何就是一個(gè)典型例子，這里不再舉例。

3.抽象到具體的轉(zhuǎn)化

數(shù)學(xué)的研究對(duì)象是現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系，本來(lái)是非常具體的，但為了在比較純粹的狀況下來(lái)研究空間形式和數(shù)量關(guān)系，才不得不把客觀對(duì)象的所有其他特征拋開(kāi)不管，而只抽象出空間形式和數(shù)量關(guān)系進(jìn)行研究，這就使得學(xué)生覺(jué)得數(shù)學(xué)這門功課缺少一種摸得著、看得見(jiàn)的載體，那我們就要想方設(shè)法把載體還給學(xué)生。

如：若函數(shù)的定義域?yàn)椋?3，2］，則f（x+1）的定義域是?搖 ?搖。

解析：函數(shù)在高中階段是一部分非常抽象的內(nèi)容，上述題目中x是否具有同一性是解題的關(guān)鍵，要讓同學(xué)們理解有一定困難，但由于是填空題，不妨取f（x）=，那么我們就可代入得到f（x+1）=，故答案：［-4，1］。

再如：設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镽，則下列命題正確的是?搖 ?搖。

（1）若函數(shù)f（x）滿足f（1+x）=f（1-x），則其圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱；

（2）若函數(shù)f（x）滿足f（1+x）=-f（1-x），則其圖像關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱；

（3）函數(shù)y=f（1+x）與y=f（1-x）的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱；

（4）函數(shù)y=f（1+x）與y=-f（1-x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱。

上述四個(gè)命題形式非常相似，難怪有些同學(xué)一直搞不清楚，特別是（3）和（4），我們不妨設(shè)f（x）=2，則f（1+x）=2，f（1-x）=2，然后在同一坐標(biāo)系中作出它們的圖像，便可知道兩個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于直線x=0對(duì)稱，同樣的可驗(yàn)證（4）也是錯(cuò)誤的，正確的是（1）和（2）。從上述兩個(gè)例子不難發(fā)現(xiàn)，只要我們能把抽象問(wèn)題具體化，找到合適的載體，就能輕松解決問(wèn)題。

4.參數(shù)到變量的轉(zhuǎn)化

含參問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)中的常見(jiàn)問(wèn)題，也是學(xué)生非常容易失分的題型，處理這類問(wèn)題的基本方法是分類討論，參變量分離等，但也有一些題型可另辟蹊徑。

如：若?坌a∈［1，2］，都有不等式x-3ax+2＞0成立，則x的范圍是?搖 ?搖。

此題可與下題類比：若?坌x∈［1，2］，都有不等式x-3ax+2＞0成立，則a的范圍是?搖 ?搖。

對(duì)于后一題，我們可分離參變量求得a＜。但如果對(duì)原題也分離參變量，那么在解題的過(guò)程中我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)步驟有些重復(fù)。這就促使我們進(jìn)行思考，如果把參數(shù)和變量的身份互換一下，記f（a）=-3xa+x+2，a∈［1，2］，它的圖形是一條線段，只要線段的兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值都大于零，即f（1）＞0f（2）＞0，得x∈（-∞，3-）∪（3+，+∞）。當(dāng)然要做到參數(shù)與變量的轉(zhuǎn)化，需要我們細(xì)心觀察，注重積累，打破常規(guī)，在不斷地探索總結(jié)中慢慢領(lǐng)悟。

5.形到神的轉(zhuǎn)化

有時(shí)我們還會(huì)碰到一些看似簡(jiǎn)單，但卻不能順利地按照既定思路去操作的情形，但只要我們仔細(xì)分析，綜合運(yùn)用相關(guān)知識(shí)就能揭開(kāi)藏在表面下的玄機(jī)。

如：已知函數(shù)f（x）=x+x，對(duì)任意的m∈［-2，2］，f（mx-2）+f（x）＜0恒成立，則x的取值范圍為?搖 ?搖。

解析：若把mx-2和x分別代入函數(shù)表達(dá)式中進(jìn)行化簡(jiǎn)求解，就會(huì)出現(xiàn)三次式，計(jì)算量大，且不易得到最后的答案。那就讓我們先來(lái)看看函數(shù)f（x）=x+x的圖像。明顯這是一個(gè)奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增，故將上式化為f（mx-2）＜f（-x）?圯mx-2＜-x，再把m看成變量，記g（m）=xm+x-2，只要g（-2）＜0g（2）＜0即可，解得答案x∈（-2，）。

再如：若a+b+c=m，且a，b，c成等比數(shù)列，求：當(dāng)m＞0時(shí)，b的取值范圍。

解析：本題常規(guī)解法為，由于a，b，c成等比數(shù)列，可設(shè)a=，c=bq，

故+b+bq=m?圯b=，∵q≠0，（q+）∈（-∞，-2］∪［2，+∞），

∴∈［-1，0）∪（0，］，又m＞0∴b∈［-m，0）∪（0，］。

本題還有更優(yōu)美的解法?！遖c=b，a+c=m-b，∴a，c是方程x-（m-b）x+b=0的兩根，∴△≥0?圯3b+2mb-m≤0，（m＞0）?圯-m≤b≤，明顯b≠0，∴b∈［-m，0）∪（0，］。

上面所提到的是幾種常見(jiàn)的轉(zhuǎn)化與化歸的類型，另外還有正與反的轉(zhuǎn)化，相等與不等的轉(zhuǎn)化、整體與局部的轉(zhuǎn)化、空間與平面相互轉(zhuǎn)化、復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)相互轉(zhuǎn)化等。這些轉(zhuǎn)化都是等價(jià)轉(zhuǎn)化，等價(jià)轉(zhuǎn)化后的新問(wèn)題與原問(wèn)題實(shí)質(zhì)是一樣的，實(shí)質(zhì)是尋找了一個(gè)更加簡(jiǎn)潔的充要條件來(lái)代替原來(lái)的復(fù)雜的、不易被理解的命題。除此之外還有不等價(jià)轉(zhuǎn)化，不等價(jià)轉(zhuǎn)化部分地改變了原對(duì)象的實(shí)質(zhì)，需對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行必要的修正，這種轉(zhuǎn)化的要求較高，本文不再展開(kāi)敘述。總之應(yīng)用轉(zhuǎn)化化歸思想解題的原則應(yīng)是化難為易、化生為熟、化繁為簡(jiǎn)，盡量是等價(jià)轉(zhuǎn)化。

現(xiàn)代教育強(qiáng)調(diào)“知識(shí)結(jié)構(gòu)”與“學(xué)習(xí)過(guò)程”，目的在于發(fā)展學(xué)生的思維能力。轉(zhuǎn)化與化歸思想方法，居于數(shù)學(xué)的四大思想方法之首，對(duì)于學(xué)生的思維能力的培養(yǎng)，思維品質(zhì)的塑造有著不可替代的作用。數(shù)學(xué)知識(shí)可能在將來(lái)會(huì)遺忘，但思維品質(zhì)的培養(yǎng)會(huì)影響學(xué)生的一生，發(fā)展學(xué)生的思維品質(zhì)符合素質(zhì)教育的基本要求。讓我們借助思維品質(zhì)的培養(yǎng)來(lái)體現(xiàn)數(shù)學(xué)教育的真正價(jià)值。

參考文獻(xiàn)：

［1］鄭毓信.中國(guó)數(shù)學(xué)教育的重要生長(zhǎng)點(diǎn).中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2012．3.

［2］陳麗洪.論轉(zhuǎn)化與化歸思想.讀寫算，2011.11.