摘要：介紹了廣義中心極限定理、穩(wěn)定分布，認(rèn)為穩(wěn)定分布因具有類似于現(xiàn)實(shí)實(shí)證分布的前段指數(shù)，后端冪律的形式，以上證指數(shù)的日收益率序列為例，用穩(wěn)定分布對其進(jìn)行擬合，取得較理想的擬合效果。

關(guān)鍵詞：廣義中心極限定理；穩(wěn)定分布；Stable4.0擬合

一、引言

1963年Mandelbrot針對棉花期貨價格分布的尖峰厚尾特征，將布朗運(yùn)動服從正態(tài)分布改為服從穩(wěn)定分布，推廣和修正了布朗運(yùn)動。Mandebret是最先以穩(wěn)定分布來擬合實(shí)際資產(chǎn)收益。而穩(wěn)定分布是由PaulLevy于1920年提出的。隨后FamaRoll、Press和Zolotare基于穩(wěn)定分布的特征函數(shù)分別給出了穩(wěn)定指數(shù)α的估計方法。1996年，MuCulloch綜述了穩(wěn)定分布在金融領(lǐng)域的相關(guān)應(yīng)用。在國內(nèi)，穩(wěn)定分布被不少學(xué)者應(yīng)用到金融模型分析、噪聲數(shù)據(jù)監(jiān)測、話務(wù)量建模等實(shí)際領(lǐng)域。徐龍炳等（2002）通過對中國股票市場的實(shí)證研究，發(fā)現(xiàn)其分布呈現(xiàn)厚尾，股票市場波動顯示出非線性、狀態(tài)持續(xù)性特征，用正態(tài)分布往往難以描述，而用穩(wěn)定分布卻能很好的處理該類分布。歐陽文卓等（2002）等對穩(wěn)定分布及其性質(zhì)特征展開了進(jìn)一步研究，并進(jìn)行參數(shù)估計。戴國強(qiáng)等（2004）對穩(wěn)定分布對外匯市場進(jìn)行實(shí)證研究，分析了匯率波動的穩(wěn)態(tài)特征。王玉玲（2004）對中國股票市場VaR值進(jìn)行了實(shí)證研究，用穩(wěn)定分布去擬合、模擬。2008年，田乃碩、徐秀麗、馬占友在《離散時間排隊論》中討論了馬爾可夫鏈與穩(wěn)定分布。

近年來對穩(wěn)定分布的研究越來越引起重視。本文采用穩(wěn)定分布來擬合上證指數(shù)日收益數(shù)據(jù)，基于以下原因：首先，根據(jù)廣義中心極限定理，如果大量獨(dú)立同分布隨機(jī)變量的和存在極限分布，這個極限分布必定屬于穩(wěn)態(tài)分布族；其次，由于大多數(shù)數(shù)據(jù)序列分布具有尖峰厚尾特征，穩(wěn)定分布具有類似于現(xiàn)實(shí)實(shí)證分布的前段指數(shù)，后端冪律的形式，用正態(tài)分布描述效果不佳，如果用穩(wěn)定分布去逼近能夠取得較理想的擬合效果。

二、廣義中心極限定理

在經(jīng)典的中心極限定理中，對于每個獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量Xi，我們其分布形式?jīng)]作任何要求，唯一的要求是方差有限，這樣就可以保證n個隨機(jī)變量的和趨于一個正態(tài)分布。也就是：。因此，正態(tài)分布是一種非常具有魯棒性（Robust）的分布，它就像密度函數(shù)空間中的的吸引域，無論你一開始服從什么分布，最后都很有可能掉入這個吸引域。這也是正態(tài)分布如此常見的原因。然而，不得不說的是，經(jīng)典中心極限定理的巨大應(yīng)用價值下存在著致命的缺陷：該定理要求每個獨(dú)立的隨機(jī)變量都必須存在有限的方差，而這一要求在很多實(shí)際情況中往往不一定被滿足。以冪律分布為例，當(dāng)冪指數(shù)<2時，隨機(jī)變量的方差是發(fā)散的。因?yàn)閮缏煞植嫉亩A矩在冪指數(shù)α<2時就趨于無窮大。如下：

P.P.Levy，A.Kolmogrov等人于20世紀(jì)初擴(kuò)展了經(jīng)典中心極限定理，推廣到廣義中心極限定理，并在這個過程中，發(fā)現(xiàn)了穩(wěn)定分布（StableDistribution）這一新的概率分布形式。

簡單來說，廣義中心極限定理就是對于n個方差可以無限（當(dāng)然涵蓋方差有限情形）的獨(dú)立同分布隨機(jī)變量Y1，Y2，…Yn，當(dāng)n→∞時，它們的和收斂于一個穩(wěn)定分布Y，如下：

正態(tài)分布之所以普遍是因?yàn)樗喈?dāng)于方差有限的隨機(jī)變量的極限狀態(tài)，即形成了一個吸引域，同樣的道理，我們之所以在各種復(fù)雜的系統(tǒng)中觀察到眾多的尾部服從冪律分布，也是在于穩(wěn)定分布的魯棒性，對方差可能無限的隨機(jī)變量和形成了一個吸引域。

穩(wěn)定分布受到了極大的關(guān)注，因?yàn)楹芏嘌芯勘砻?，現(xiàn)實(shí)世界普遍存在的冪律分布僅適用于實(shí)際密度函數(shù)的尾部，而在頭端，則會出現(xiàn)類似指數(shù)函數(shù)的形式。而穩(wěn)定分布恰恰具有類似于現(xiàn)實(shí)實(shí)證分布的這種前段指數(shù)，后端冪指的形式，但是遺憾的是，穩(wěn)定分布僅僅能夠給出其特征函數(shù)的解析式，而不存在一般的概率密度表達(dá)式。穩(wěn)定分布的特征函數(shù)的解析式如下：

（1）

其中，s是自變量，i是虛數(shù)單位，sgn是符號函數(shù)（當(dāng)s>0，sgn（s）=1；當(dāng)s<0，sgn（s）；當(dāng)s=0，sgn（s）=0），α，β，δ，γ為參數(shù)，他們的取值范圍為：α∈（0，2]β∈[-1，1]δ∈（-∞，+∞）γ∈（0，+∞），這些參數(shù)決定了密度曲線f（x）的形狀和位置。其中δ為位置參數(shù)，決定了曲線中心的位置，是一個平移參數(shù)；γ為尺度參數(shù)，是曲線在水平方向上的縮放參數(shù)；而α，β這兩個關(guān)鍵參數(shù)分別叫做穩(wěn)定指數(shù)和偏度參數(shù)，決定了概率密度曲線的陡峭程度和偏斜程度。

實(shí)際上，當(dāng)α、β取不同特殊值時，我們就能得到常見的曲線。如果讓α=2，β=0時，我們就得到了正態(tài)分布，均值μ=δ，方差σ2=2γ2。如果讓α=1，β=0，我們就得到了柯西分布。如果讓a=1/2，β=1，我們就得到了列維分布。而讓β=0，γ=0，穩(wěn)定分布便退化為常數(shù)。

三、穩(wěn)定分布的推導(dǎo)

那么我們是如何得到穩(wěn)定分布的特征函數(shù)解析式（1）的呢？接下來我們進(jìn)行簡答的推導(dǎo)。我們對經(jīng)典中心極限定理做一個小小的變形，即也可以表述為：對n個方差有限的獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量X1，X2，…Xn的和，即：

其中，X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1）

同樣的道理，廣義中心極限定理情形下可以表述為：

其中，Y為一個δ=0，γ=1的穩(wěn)定分布

我們發(fā)現(xiàn)，（2）式和（3）式之間最主要的區(qū)別是（2）中an正比于n的1/2次冪，而（3）正比于n的1/α次冪。我們把n項分為兩部分：前面m項和后面n-m項，即：

其中，m、n-m均趨近于無窮大（因?yàn)閚趨近于無窮大），從而：

從而：原來的式（3）可以表述為：

我們比較（3）式和（4）式，會發(fā)現(xiàn)穩(wěn)定分布的隨機(jī)變量Y滿足下式：

其中，b=bm+n-bm-bn，等號表示方程兩邊的隨機(jī)變量有相同的分布（7）式就是穩(wěn)定分布的定義，也就是說任何滿足（7）式的隨機(jī)變量都是穩(wěn)定分布的，反過來，如果隨機(jī)變量是穩(wěn)定分布的，它就應(yīng)該滿足（7）式，接著，我們假設(shè)Y的概率密度函數(shù)是f（y），可以將（7）式改寫為如下表述：

對上式進(jìn)行fourier變換，即可得到穩(wěn)定分布特征函數(shù)解析式（1）。

四、穩(wěn)定帕累托分布實(shí)證擬合可行性

我們發(fā)現(xiàn)，真正的統(tǒng)計物理學(xué)家或者數(shù)學(xué)家都很樂意提及一種稱為LevyStableDistribution的模型，也就是說，他們更愿意用穩(wěn)定帕累托分布來對數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證研究而非冪律分布。比如，大名鼎鼎的Mandelbrot在1967年就用Stable分布來擬合棉花期貨價格的波動分布。經(jīng)濟(jì)物理學(xué)之父H.E.Stanley和Mantegna曾勇截尾Stable分布來擬合股指波動的分布。為什么這些物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家更傾向于用穩(wěn)定帕累托分布而非冪律分布呢？因?yàn)榉€(wěn)定分布的概率密度函數(shù)恰恰具有尾端趨于冪律分布，而頭端（x→0）偏離冪律，趨于指數(shù)分布的性質(zhì)。下面我們看一看Yakovenko等在1997年用美國真實(shí)稅收情況估計收入分布曲線的實(shí)證研究。

美國收入分布的累積概率圖，

來源：Yakovenko（2001）

其中，橫坐標(biāo)是收入值，縱坐標(biāo)是累積概率分布，也就是收入大于橫坐標(biāo)x人口比例。我們可以看出，收入分布曲線明顯的分成了兩段，第一段為左邊的那段弧形曲線，第二段為右下方的直線。由于上圖坐標(biāo)為雙對數(shù)，所以直線段是冪律的，即Pareto分布，而第一段的曲線不是冪律的，作者用小圖表示出在橫坐標(biāo)不取對數(shù)，縱坐標(biāo)取對數(shù)的情形，發(fā)現(xiàn)該曲線在半對數(shù)坐標(biāo)下變成了直線，也就是說收入在低端部分是指數(shù)分布。

五、穩(wěn)定分布擬合

（一）穩(wěn)定分布參數(shù)估計

本章采用JohnNolan所提供的STABLE4.0軟件。JohnNolan在2002年給出了對大樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行處理的程序，可以通過程序擬合以下四個參數(shù)：α，β，δ，γ他們的取值范圍為：α∈（0，2]β∈[-1，1]δ∈（-∞，+∞）γ∈（0，+∞）這些參數(shù)決定了密度曲線f（x）的形狀和位置。其中δ為位置參數(shù)，決定了曲線中心的位置，是一個平移參數(shù)；γ為尺度參數(shù)，是曲線在水平方向上的縮放參數(shù)；而α，β這兩個關(guān)鍵參數(shù)分別叫做穩(wěn)定指數(shù)和偏度參數(shù)，決定了概率密度曲線的陡峭程度和偏斜程度。

運(yùn)行STABLE4.0程序，利用程序的第7項（forfittingasamplewithstableparameters），得到收益數(shù)據(jù)的基本統(tǒng)計信息；并進(jìn)一步選擇估計參數(shù)的方法（本文選擇了極大似然估計），估計出穩(wěn)定分布的四個參數(shù)：α、β、δ、γ；同時，由穩(wěn)定分布的性質(zhì)α=2，β=0時，穩(wěn)定分布呈現(xiàn)正態(tài)分布。如下：

420010.9954160.999993

由表二，對比穩(wěn)定分布、正態(tài)分布與經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)，可以看出穩(wěn)定分布具有更優(yōu)的擬合效果，尤其在眾數(shù)附近（表中加深區(qū)域），這也反映了穩(wěn)定分布的尖峰特性；同時，從尾部數(shù)據(jù)看，穩(wěn)定分布的數(shù)據(jù)相比正態(tài)分布的數(shù)據(jù)顯示出了厚尾性，更好的刻畫的極端事件的分布特點(diǎn)。

因此，本文引入穩(wěn)定分布來擬合極端事件的分布是合適、可行的，并發(fā)現(xiàn)用穩(wěn)定分布來擬合上證指數(shù)日收益數(shù)據(jù)的分布，更優(yōu)于正態(tài)分布，更能反映出收益分布左偏、厚尾特性。

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