一 高中數(shù)學(xué)探究

從教學(xué)認(rèn)識論的角度，教學(xué)是人類認(rèn)識的重要形式之一，也是一種特殊的認(rèn)識。高中數(shù)學(xué)研究對象具有區(qū)別于自然科學(xué)研究對象的特殊性，這種特殊性很大程度上體現(xiàn)在數(shù)學(xué)對象的抽象性，對抽象性的分析是明確數(shù)學(xué)探究性質(zhì)的前提。首先，數(shù)學(xué)抽象的特殊性體現(xiàn)在數(shù)學(xué)對象的量的屬性，即數(shù)學(xué)是從量的側(cè)面反映客觀實在的，在數(shù)學(xué)的抽象過程中我們完全舍棄了事物的質(zhì)的內(nèi)容而僅僅保留了它們的量的屬性?！笆紫茸⒁獾狡邨l魚和七天的共同點的人必然使思想史前進了一大步。他是第一個具有純數(shù)學(xué)觀念的人。當(dāng)時他一定還不可能看出有待發(fā)現(xiàn)的抽象數(shù)學(xué)觀念的復(fù)雜性與微妙性，也一定料想不到這些觀念會在往后的每一個世紀(jì)中發(fā)生廣泛的吸引力。”其次，數(shù)學(xué)抽象的特殊性還表現(xiàn)在抽象的深刻性、層次性。19世紀(jì)以后，新的數(shù)學(xué)對象不斷出現(xiàn)。

從認(rèn)識主體看，每個學(xué)習(xí)者都以自己原有的知識和經(jīng)驗為基礎(chǔ)對新的信息進行編碼、轉(zhuǎn)譯，建構(gòu)自己的理解，通過同化或順應(yīng)達到新的平衡，從而促進認(rèn)知圖式的進化。由于學(xué)生的智力水平和年齡特征，學(xué)生對數(shù)學(xué)對象的心理表征往往帶有情境性、不確定性、不連續(xù)性，表現(xiàn)出明顯的建構(gòu)性質(zhì)。學(xué)生的主體活動是教學(xué)認(rèn)識過程中最重要的活動，換句話說，教學(xué)認(rèn)識的關(guān)鍵就在于建構(gòu)學(xué)生的主體活動?！疤骄俊边@個概念不僅包括建構(gòu)活動的結(jié)果，而且包括建構(gòu)活動的過程。它是人們認(rèn)識世界的一種方式，也是由感性認(rèn)識向理性認(rèn)識過渡的活動方式。個體的外顯行為和內(nèi)隱思維統(tǒng)一于探究的活動過程中。

歷史與邏輯是統(tǒng)一的。教育心理學(xué)研究表明：學(xué)習(xí)不僅僅指簡單的信息積累和增長，同時也包含由于新舊經(jīng)驗的沖突而引發(fā)的觀念轉(zhuǎn)變和結(jié)構(gòu)重組。數(shù)學(xué)史的研究表明：數(shù)學(xué)觀念的轉(zhuǎn)變和結(jié)構(gòu)的擴張往往是革命性的。如坐標(biāo)系的引入，它為描述變動的量提供了數(shù)學(xué)表達，這樣數(shù)學(xué)就從研究常量擴大到研究變量，并發(fā)展了函數(shù)概念?！皵?shù)學(xué)從運動的研究中引出了一個基本概念。在那以后的200年里，這個概念在幾乎所有的工作中占有中心位置，這就是函數(shù)——或變量間的關(guān)系——概念?！鞭q證唯物主義認(rèn)為“歷史與邏輯是統(tǒng)一的”，學(xué)生的認(rèn)識邏輯與數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程往往極為相似。對于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，科學(xué)的數(shù)學(xué)概念的形成絕不是輕而易舉的，往往也是“革命性的”。這是因為學(xué)生的前概念與科學(xué)的數(shù)學(xué)概念有很大差異，學(xué)生的前概念使得數(shù)學(xué)的觀念轉(zhuǎn)變和結(jié)構(gòu)重組有時顯得步履艱難。盡管前概念有時很樸素，但是由于它來源于現(xiàn)實生活及學(xué)生的個人經(jīng)驗，因此對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的影響還是很顯著的。

因此，高中數(shù)學(xué)探究教學(xué)不應(yīng)停留于表面的動手操作與合作活動，而應(yīng)深入到學(xué)生的內(nèi)部思維，創(chuàng)設(shè)必要的“觀念沖突”，整合形式化的數(shù)學(xué)對象與學(xué)生原先具有的直觀形象和經(jīng)驗，讓學(xué)生明白原有觀念的不合理之處，通過觀念沖突以實現(xiàn)觀念更新，引導(dǎo)學(xué)生在探究中不斷進行自我建構(gòu)、自我完善。

1．適度有效的教師引導(dǎo)，過多地啟發(fā)學(xué)生

探究教學(xué)雖然強調(diào)學(xué)生的自主性、創(chuàng)造性，但這并不意味著教師的作用削弱甚至不需要教師的引導(dǎo)。學(xué)生探究能力的形成與發(fā)展過程是漸進的而不是突發(fā)的，他們不可能一開始就能獨立從事探究學(xué)習(xí)，探究能力的培養(yǎng)離不開教師的悉心指導(dǎo)。在實際教學(xué)中，教師的指導(dǎo)往往走向兩個極端：要么牢牢掌握著教學(xué)的支配權(quán)，學(xué)生只是亦步亦趨地按照教師的步驟和方案，得出教師想要的結(jié)論；要么純粹“放羊式”地任由學(xué)生盲目發(fā)展，從表面看學(xué)生自主探索性增強，但學(xué)生可能卻是一無所獲。

在探究教學(xué)中，從情境的創(chuàng)設(shè)、探究問題的提出、探究方向的指引、探究過程的鼓勵、探究結(jié)論的反饋等，都需要教師及時地、適度地對學(xué)生進行指導(dǎo)。學(xué)生如果得不到教師及時適度的點撥將很難有理想的探究效果。

2．相應(yīng)的知識能力準(zhǔn)備

探究教學(xué)由于重視過程，一方面容易使人誤以為探究教學(xué)不需要知識或輕視知識的作用。根據(jù)加涅的“學(xué)習(xí)條件”理論，作為結(jié)果的知識是任何學(xué)習(xí)的必備條件之一，沒有知識作基礎(chǔ)或不獲得知識的學(xué)習(xí)是不成立的。探究學(xué)習(xí)同樣需要學(xué)生要有廣泛的、概括化的背景知識，因為學(xué)生對某個話題一無所知，也就不能作相應(yīng)的思考。另一方面，主動參與探究過程也決定了學(xué)生需要具備一定的能力。例如，數(shù)學(xué)探究往往要求一定的“假設(shè)—演繹推理”活動，“假設(shè)—演繹推理”活動涉及做假設(shè)、預(yù)測、演算、把結(jié)果與預(yù)測相比較，它要求學(xué)生具有形式思維能力。顯然，缺乏這種能力的學(xué)生就不能在以“假設(shè)—演繹推理”為主要特征的環(huán)境中很好地學(xué)習(xí)。正是由于缺乏必要的知識準(zhǔn)備和思維能力基礎(chǔ)，在實際的數(shù)學(xué)探究教學(xué)中，我們往往看到學(xué)生空有探究的積極性，但無法自主、深入地從事探究，也無法從操作活動中的數(shù)學(xué)上升到形式化的數(shù)學(xué)，也就談不上數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟。

二 學(xué)習(xí)的監(jiān)控能力

數(shù)學(xué)探究教學(xué)既是一個目標(biāo)導(dǎo)向過程，又是一個自我調(diào)節(jié)和反思總結(jié)過程。探究學(xué)習(xí)過程中的每一個環(huán)節(jié)都離不開元認(rèn)知的指引和發(fā)動。在數(shù)學(xué)探究教學(xué)中，要求學(xué)生具有較強的自我反思監(jiān)控能力。理由在于：

第一，數(shù)學(xué)知識是相對的，本身具有不確定性因素，自我監(jiān)控有利于對知識的反思理解，導(dǎo)向更深入的探究。首先，數(shù)學(xué)知識本身不具有永恒確定性，表現(xiàn)出明顯的建構(gòu)性質(zhì)?！叭切蔚膬?nèi)角和為180°”在歐氏幾何范疇內(nèi)是成立的，但在非歐幾何范疇內(nèi)則不成立，非歐幾何中三角形的內(nèi)角和既可能大于180°，也可能小于180°。其次，即使某些知識是相對確定的，但在學(xué)生沒有理解它之前，都可以將它作為一個不確定性“問題”來處理。知識絕不是固定的、永恒不變的，它既作為這個探究過程的結(jié)果，又同時作為另一個探究過程的起點，它始終有待再考察、再檢驗、再證實。

第二，自我反思監(jiān)控有助于概括原有的認(rèn)識，形成有組織的、系統(tǒng)化的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。學(xué)生對數(shù)學(xué)對象的表征往往是分散的甚至片面的，無法形成一個有機的整體。不僅如此，學(xué)生對自己的表征既缺乏清醒的自我認(rèn)識，也不善于在心理表征的不同側(cè)面之間進行轉(zhuǎn)換，從而也無法去求解面臨的新問題，完成新的學(xué)習(xí)任務(wù)。

第三，數(shù)學(xué)概念本身具有“過程”和“對象”的二重性，自我反思監(jiān)控的作用就在于促進由過程階段到對象階段的自覺轉(zhuǎn)變。許多數(shù)學(xué)概念既表現(xiàn)為一種過程操作，又表現(xiàn)為對象、結(jié)構(gòu)，二者在認(rèn)知結(jié)構(gòu)中共存，并在適當(dāng)?shù)臅r機分別發(fā)揮作用。

〔責(zé)任編輯：王以富〕