一 數(shù)學(xué)能力的概念

究竟什么是數(shù)學(xué)能力，許多數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育學(xué)家對(duì)此給出過(guò)不同的答案。恩格斯在《反杜林論》中指出：“純數(shù)學(xué)的對(duì)象是現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和量的關(guān)系，所以是非?，F(xiàn)實(shí)的材料。”恩格斯的說(shuō)法是，數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué)。數(shù)學(xué)能力是思維作用于數(shù)量關(guān)系、空間形式、數(shù)與形相結(jié)合的特定數(shù)學(xué)材料的具體表現(xiàn)，也就是思維對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)際操作。前蘇聯(lián)學(xué)者克魯切茨基說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)能力是運(yùn)用數(shù)學(xué)材料去形成它們的概括的靈活的可逆的聯(lián)想的和系統(tǒng)的能力?！苯虒W(xué)新課標(biāo)也要求“具有正確迅速的運(yùn)算能力、一定的邏輯思維能力和一定的空間想象能力，從而逐步地培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力”。

二 培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力的前提是訓(xùn)練數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)能力不是人們天生就有的，而是在人們的生活、學(xué)習(xí)和工作中不斷形成的。而學(xué)習(xí)階段尤其是中學(xué)階段是人們形成數(shù)學(xué)能力的基礎(chǔ)和關(guān)鍵時(shí)期。在學(xué)習(xí)階段，數(shù)學(xué)能力的形成則是與數(shù)學(xué)思想的嚴(yán)格訓(xùn)練密切相關(guān)的。搞好數(shù)學(xué)思想的嚴(yán)格訓(xùn)練，是提高數(shù)學(xué)能力的重要保證。

1．訓(xùn)練數(shù)學(xué)思想，提高數(shù)學(xué)能力

核心是培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力，這是由于數(shù)學(xué)的高度抽象性決定的。邏輯思維能力的培養(yǎng)，首先可以通過(guò)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)本身達(dá)到，這是最重要的途徑；其次可以通過(guò)邏輯知識(shí)的學(xué)習(xí)得到。從傳統(tǒng)的觀點(diǎn)看，邏輯思維能力包括判斷能力、邏輯推理能力、建立數(shù)學(xué)模型能力和分析數(shù)學(xué)解題能力。詳述如下：

（1）培養(yǎng)數(shù)學(xué)判斷能力。判斷是對(duì)客觀事物情況有所斷定的思想。數(shù)學(xué)判斷主要是對(duì)事物的空間形狀和數(shù)量關(guān)系有所肯定和否定的思維。這種判斷要兼用分析和綜合的方法。先應(yīng)用分析，把命題分為部分，找出已知和未知，化整為零，找出已知與未知的聯(lián)系紐帶。然后用綜合的方法把證題的全過(guò)程寫(xiě)出來(lái)。以上過(guò)程都涉及數(shù)學(xué)概念、辯證思維和聯(lián)想思維。聯(lián)想越多，記憶越牢，思路就越開(kāi)闊，判斷能力也就越強(qiáng)。所以，數(shù)學(xué)判斷能力的培養(yǎng)要靠經(jīng)常、嚴(yán)格的訓(xùn)練。

判斷貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)中，判斷力是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種關(guān)鍵能力，而判斷與推理又緊密聯(lián)系在一起。

（2）培養(yǎng)邏輯推理能力。推理，就本質(zhì)而言，是由條件得出結(jié)論這一過(guò)程，就是要根據(jù)題目中的條件，運(yùn)用有關(guān)數(shù)學(xué)概念、定義、公理和定理等進(jìn)行邏輯推理，逐步推出結(jié)論。其目的培養(yǎng)是多方面的，主要包括歸納推理和類(lèi)比推理能力的培養(yǎng)。

歸納推理能力的培養(yǎng)是一種綜合邏輯思維能力的培養(yǎng)。歸納推理是由個(gè)別的事物或現(xiàn)象推出該類(lèi)事物或現(xiàn)象的普遍性規(guī)律的推理。許多數(shù)學(xué)概念、公理、定理等就是經(jīng)過(guò)歸納推理得出。通過(guò)具體數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的歸納推理相同，推出它們?cè)谄渌麑傩陨舷嗤囊环N邏輯推理方法。一些數(shù)學(xué)公式、運(yùn)算法則、定理等就是經(jīng)過(guò)類(lèi)比推理得出。通過(guò)具體數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的類(lèi)比推理能力，無(wú)疑會(huì)使學(xué)生學(xué)習(xí)變被動(dòng)為主動(dòng)，而且會(huì)學(xué)得更好記得更牢。

推理能力的培養(yǎng)，要注意三個(gè)方面的問(wèn)題。首先，要看清題意，分清已知和未知（有些問(wèn)題還要將其“轉(zhuǎn)譯”為數(shù)學(xué)語(yǔ)言）；其次，掌握推理格式和一些基本的證明方法，如分析法、反證法、歸納法等；最后，積累證題思路。所謂證題思路，就是溝通已知與未知的橋梁，即方法。如平面幾何中在證明線(xiàn)段相等問(wèn)題時(shí)，可利用比例、兩條線(xiàn)段都等于第三條線(xiàn)段、全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等、等腰三角形兩腰相等及弦、弧等有關(guān)定理。這些方法的積累，無(wú)疑開(kāi)拓了我們的思路，起到了“舉一反三”的作用。

（3）培養(yǎng)建立數(shù)學(xué)模型能力?，F(xiàn)實(shí)生活中大量問(wèn)題都與數(shù)學(xué)有關(guān)。如工業(yè)、建筑設(shè)計(jì)、證券股票、計(jì)劃生育、人口普查等。要研究它們，必須從大量資料中提取數(shù)據(jù)，定性、定量、詳細(xì)地加以研討。將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，在某種意義上說(shuō)就是建立數(shù)學(xué)模型。通過(guò)具體實(shí)例培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)對(duì)問(wèn)題的分析建立數(shù)學(xué)模型的能力，不僅使學(xué)生更好地掌握所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)，也了解了一些解決實(shí)際問(wèn)題的方法，有利于培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

（4）培養(yǎng)分析數(shù)學(xué)解題能力。培養(yǎng)學(xué)生分析數(shù)學(xué)解題能力也是非常重要的。如在一塊三角形的廢料上如何切割出一個(gè)最大面積的正方形；對(duì)一項(xiàng)工程如何合理分配人力和物力才能省工、省時(shí)、省力、省料等職中生很實(shí)用的知識(shí)。培養(yǎng)學(xué)生分析數(shù)學(xué)解題的能力對(duì)其今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)和工作大有裨益。

2．訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維，提高數(shù)學(xué)能力，還要注意培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力和空間想象能力

運(yùn)算能力是數(shù)學(xué)的基本能力。數(shù)學(xué)運(yùn)算貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科，不僅是自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)強(qiáng)有力的工具，在日常生活中也廣泛應(yīng)用。數(shù)學(xué)運(yùn)算的實(shí)質(zhì)是根據(jù)運(yùn)算定義及性質(zhì)，利用數(shù)據(jù)推導(dǎo)出結(jié)果。因此，學(xué)好有關(guān)運(yùn)算的基礎(chǔ)知識(shí)是形成正確迅速的運(yùn)算力的根本。

空間想象能力可充分體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的思維作用。思維從問(wèn)題開(kāi)始，想象力是思維活動(dòng)的翅膀?？臻g想象可看做是全部數(shù)學(xué)中的形象思維，和邏輯思維相輔相成，通過(guò)邏輯思維，由具體到抽象，又通過(guò)空間想象，由抽象回到具體。于是，空間想象能力便可通過(guò)數(shù)形結(jié)合和空間圖形的學(xué)習(xí)來(lái)培養(yǎng)。培養(yǎng)學(xué)生具有空間想象能力可更好地促進(jìn)其思維發(fā)展，充分發(fā)揮其創(chuàng)造才能。

總之，數(shù)學(xué)能力是多方面的。提高數(shù)學(xué)能力，非一日之功，是一項(xiàng)長(zhǎng)久而艱巨的工作，要靠嚴(yán)格的數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練才能打好基礎(chǔ)達(dá)到目的，才能全面、更好地提高一個(gè)人的能力和素質(zhì)。

三 數(shù)學(xué)教學(xué)中需重視培養(yǎng)的學(xué)生能力

教學(xué)實(shí)踐中，要始終抓住課本這個(gè)“綱”，在課本教學(xué)上狠下工夫。通過(guò)幾年教學(xué)實(shí)踐，筆者總結(jié)主要應(yīng)抓好學(xué)生以下幾方面的能力培養(yǎng)。

1．重視課本概念的閱讀，培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力

中學(xué)生往往缺乏閱讀數(shù)學(xué)課本的習(xí)慣，這除了數(shù)學(xué)難以讀懂外，另外一個(gè)原因是許多數(shù)學(xué)教師在講課時(shí)，也很少閱讀課本，喜歡滔滔不絕地講，滿(mǎn)黑板地寫(xiě)，使學(xué)生產(chǎn)生依賴(lài)性。數(shù)學(xué)課本是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的載體，課堂上指導(dǎo)學(xué)生閱讀數(shù)學(xué)課本，不僅可以正確理解書(shū)中的基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)，可以從書(shū)中字里行間挖掘更豐富的內(nèi)容，此外，還可以發(fā)揮課本使用文字、符號(hào)的規(guī)范作用，潛移默化培養(yǎng)和提高學(xué)生準(zhǔn)確說(shuō)練的文字表達(dá)能力和自學(xué)能力。

重視閱讀數(shù)學(xué)課本，首先要教師引導(dǎo)，應(yīng)讓學(xué)生翻開(kāi)課本，教師按課本原文逐字、逐句、逐節(jié)閱讀。在閱讀中，讓學(xué)生反復(fù)認(rèn)真思考，對(duì)書(shū)中敘述的概念、定理、定義中有本質(zhì)特征的關(guān)鍵詞句要仔細(xì)品味，深刻理解其語(yǔ)意，要讀出書(shū)中的要點(diǎn)、難點(diǎn)和疑點(diǎn)，讀出字里行間所蘊(yùn)含的內(nèi)容，讀出從課文中提煉的數(shù)學(xué)思想、觀點(diǎn)和方法。教師在課堂上閱讀數(shù)學(xué)課本，不僅可以節(jié)省不必要的板書(shū)時(shí)間，而且可以防止因口誤、筆誤所產(chǎn)生的概念錯(cuò)誤，從而使學(xué)生能準(zhǔn)確地掌握課本知識(shí)，提高課堂效率。

2．挖掘課本隱含知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的研究能力

高中數(shù)學(xué)新教材中知識(shí)點(diǎn)的抽象性和隱含性比其他學(xué)科顯得更為突出，數(shù)學(xué)中的知識(shí)點(diǎn)要通過(guò)思維和邏輯推理才能揭示，由于學(xué)生受思維和推理能力的限制，以及沒(méi)有閱讀數(shù)學(xué)課本的習(xí)慣，許多學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)教材看不懂、不理解。為了完成中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)目的和任務(wù)，教師要認(rèn)真鉆研和熟悉教材，把蘊(yùn)藏在教材中那些隱含的知識(shí)點(diǎn)挖掘出來(lái)，幫助學(xué)生理解教材和掌握教材以培養(yǎng)學(xué)生的研究能力。

例如，判斷函數(shù)的奇偶性的等式f（－x）=f（x），f（－x）=－f（x）就隱含著定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)這個(gè)前提，而學(xué)生往往忽視這個(gè)重要前提而導(dǎo)致失誤。經(jīng)過(guò)教師對(duì)教材隱含知識(shí)的挖掘，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，增加了學(xué)生探索問(wèn)題、研究問(wèn)題的能力。

3．剖析課本例題，培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力

教材中所選的例題都是很典型的，是經(jīng)過(guò)精選，具有一定的代表性的。例題教學(xué)占有相當(dāng)重要的地位，搞好例題教學(xué)，特別是搞好課本例題的剖析教學(xué)，不僅能加深對(duì)概念、公式、定理的理解，而且對(duì)培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力以及抽象思維能力等方面，能發(fā)揮其獨(dú)特的功效。

4．歸納課本知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的概括能力

教師在授完一節(jié)或一章內(nèi)容后，要根據(jù)教材的特點(diǎn)，有重點(diǎn)地對(duì)課本知識(shí)進(jìn)行深入淺出的歸納，這種歸納不是概念的重復(fù)和羅列，也不同于單元復(fù)習(xí)，而是源于課本又高于課本的一種知識(shí)概括?！案爬ā毙枰幸欢ǖ乃季S能力，這種能力不同于其他的思維能力，它是通過(guò)對(duì)眾多事物的觀察以及對(duì)許多知識(shí)的提煉而得出的條理化、規(guī)律化的東西，經(jīng)過(guò)概括的知識(shí)易記、易懂。對(duì)實(shí)用知識(shí)的歸納、概括不僅是學(xué)習(xí)的需要，而且在未來(lái)的工作實(shí)踐中，這種概括能力也是不可缺少的，教師要在教學(xué)中逐步培養(yǎng)學(xué)生這種能力，以適應(yīng)未來(lái)社會(huì)工作的需要，這也是素質(zhì)教育一個(gè)方面。

〔責(zé)任編輯：王以富〕