數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的個案研究作為一種實驗方法，具有可操作性強、實效性明顯等優(yōu)點，通常由過程描述、現(xiàn)象解釋和反思評價等環(huán)節(jié)所組成。應(yīng)用于實踐研究中，能幫助教師及時了解各個不同層面學(xué)生對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的真實狀況，從而針對性地改善課堂教學(xué)。以下就是筆者隨機選取一名學(xué)生關(guān)于“三角形特征、平行四邊形概念鞏固的知識”開展的一項個案實驗研究。

一、過程描述及現(xiàn)象分析

被測學(xué)生背景：就讀四年級，已學(xué)習(xí)三角形和平行四邊形的概念，三角形的三邊關(guān)系等知識。

（一）問題出示

提供實驗材料：2cm、3cm、4cm、5cm、9cm的小棒各4根。解決如下問題：

1.利用小棒擺一個三邊不相等的三角形；2.利用小棒擺一個平行四邊形。

（二）操作結(jié)果

生順利地選出3根小棒擺成了一個三角形（解決了第一個問題）。但是在解決第二個問題（擺平行四邊形）的時候遇到了困難。

（三）啟發(fā)交流

【片段1】 對三角形三邊關(guān)系知識的喚醒和重構(gòu)。

師：三角形是如何擺出來的？生：要求三邊不相等，所以選2cm、3cm、4cm小棒。

師：像這樣的三角形你還可以擺嗎？生：可以。

師：請你再擺出一些三角形。生操作：分別用3cm、4cm、5cm的小棒，2cm、4cm、5cm的小棒拼出三角形。

師：在擺這些三角形時是根據(jù)什么來擺的？生：三邊不相等。

師：除了題目中的這個要求還用到了什么知識呢？生：（疑惑不解）……

師：2cm、3cm、5cm的小棒也不相等能擺成三角形嗎？生：（略一停頓）不能擺。

師：為什么不能？生：因為2+3=5。

師：除了三邊不相等以外還要根據(jù)什么來擺？生：還要根據(jù)三條邊之間的關(guān)系來擺。

師：很好，你觀察一下在這里9cm的小棒可以和其它小棒擺成三邊不相等的三角形嗎？說說你的理由。生：（觀察后思考）不能。因為9cm的小棒比其余兩根小棒的長度之和要大，要么是相等。

【現(xiàn)象分析】 利用所提供的材料擺出符合要求的三角形對被測學(xué)生沒有難度，在問及“擺三角形時是根據(jù)什么來擺的”，學(xué)生只是單一地從題目要求的角度進(jìn)行了回答未能觸及問題的本質(zhì)。由此分析該生能利用已有的知識并將其很好地體現(xiàn)在實際操作問題中，卻無法用數(shù)學(xué)的語言表述出來。

在緊接著的交流中，針對性地提出用2cm、3cm、5cm能擺三角形嗎？生答：不能，因為2+3=5。這一問答過程可以看做通過實例喚醒學(xué)生已學(xué)知識的體現(xiàn)。也即根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，兩邊之和應(yīng)該大于第三邊。測試者提出的第三個問題：“9cm的小棒可以和其它小棒擺成三邊不相等的三角形嗎？”則是對已學(xué)知識的深化理解和應(yīng)用。

【片段2】 對平行四邊形概念的多維發(fā)掘和滲透。

師：平行四邊形是怎樣的一個圖形？生：（有疑惑的）對邊相等。

師：那么可以按照什么標(biāo)準(zhǔn)來擺平行四邊形呢？生：根據(jù)邊來擺。

師：請你試一試看。生操作，選擇了兩根4cm，4cm，一根2cm，一根9cm。

經(jīng)過一番操作，疑惑地自言自語：這樣好像擺不出來。

師：我們要擺什么圖形？

生：平行四邊形。

師：平行四邊形是怎樣的一個圖形？生：對邊相等。

師：對邊相等是什么意思？生：左右兩邊相等，上下兩邊也相等。

師：你能用手在桌子上描畫一下平行四邊形嗎？

（生操作過程如下：根據(jù)對邊相等，先畫出上下一組對邊，再畫左右對邊組成平行四邊形。）

師：現(xiàn)在你會擺了嗎？

（生操作，將第一次選擇中9cm的小棒換成2cm順利地拼出一個平行四邊形）

【現(xiàn)象分析】 從過程分析，被測學(xué)生對平行四邊形特征的內(nèi)在理解是單一的，僅能用語言模糊地表述，在操作層面及頭腦的表象中都不能正確反映出這一概念的本質(zhì)屬性。從開始選擇小棒的情況就可以知道不能擺出平行四邊形，測試者大膽地讓學(xué)生去嘗試，從實踐中發(fā)現(xiàn)問題并反思問題的解決方式符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。在后續(xù)交流中，進(jìn)一步強化對概念的語言描述，采用描畫的方式幫助學(xué)生在頭腦中建立清晰的表象，最后反映在操作層面使問題得以解決。

本環(huán)節(jié)交流和探索的實質(zhì)是對平行四邊形概念的多維理解和內(nèi)化。從整個過程來看，經(jīng)歷了“猜測——實踐——反思——強化——理解”等探索知識的環(huán)節(jié)。

【片段3】 從概念的變式呈現(xiàn)強化理解本質(zhì)屬性。

師：如果把2cm小棒放在下面，4cm的小棒放在兩邊能拼成平行四邊形嗎？

生：不能。（立刻改正：可以的）

師：想一想，用上兩根9cm的小棒可以拼出平行四邊形嗎？

生：（短暫思考）可以的。

師：說說看，平行四邊形是怎樣一個圖形，選擇怎樣的小棒就可以擺出來。

生：對邊相等，只需兩組相等的小棒就能擺了。

師：很好。試一試，再擺幾個平行四邊形。

（生操作，先選擇了9cm和2cm的小棒各兩根擺出了一個平行四邊形，接著快速地擺出了多個。）

【現(xiàn)象分析】 第一個問題蘊含著豐富的現(xiàn)實意義，通過幾何圖形位置的變化揭示本質(zhì)屬性不變的規(guī)律。心理學(xué)研究表明：變式的呈現(xiàn)對于學(xué)生理解本質(zhì)概念具有促進(jìn)作用。從被測學(xué)生反應(yīng)來看，一開始得出“不能”的結(jié)論可以說明其思維認(rèn)識上還是受到了一定的干擾，但能通過思考立即將之排除。第二個問題的設(shè)計則有效的避免了知識負(fù)遷移的影響，因為在第一個問題的解決中9cm的小棒不能與其它小棒拼成三角形。

在學(xué)生經(jīng)過一系列有效地思維和實踐活動之后，適時的歸納和小結(jié)能夠更好地促進(jìn)知識的落實程度。后續(xù)操作中，學(xué)生可以順利地擺出多個平行四邊形，經(jīng)歷了從起初遇到的困難，實踐發(fā)現(xiàn)的錯誤，知識探究的過程到最后問題得以順利解決，實驗的階段性目標(biāo)達(dá)成。

二、實驗反思及策略探索

（一）以不同維度之間的溝通切入，達(dá)成數(shù)學(xué)概念的完整建構(gòu)

數(shù)學(xué)具有抽象性，具體環(huán)境、情境中對數(shù)學(xué)概念會有不同的表述，換句話說，概念存在的外部性狀多種多樣。而科學(xué)概念是指定義明確的，有一定邏輯意義和體系屬性的概念。實踐中教師要做的工作，就是把具體的東西全部呈現(xiàn)，把概念的本質(zhì)屬性不斷概括，不斷總結(jié)，形成抽象性概念。這個過程一般通過操作、圖像化、符號化表示這三個層面進(jìn)行。

從上述個案實驗來看，被測學(xué)生對平行四邊形的初始理解只限于能模糊地用語言表示，尚未達(dá)到圖像化表達(dá)層次，體現(xiàn)在操作上，第一次選擇的小棒顯然不能擺出平行四邊形。在教師的引導(dǎo)下，經(jīng)歷了強化對語言表述的理解——“師：對邊相等是什么意思？生：左右兩邊相等，上下兩邊也相等”；再到經(jīng)歷圖像化的表示——“師：你能用手在桌子上描畫一下平行四邊形嗎？（學(xué)生描畫）”；最后重新反應(yīng)在實際操作中——“將第一次選擇中9cm的小棒換成2cm順利地拼出一個平行四邊形”。通過這一過程實現(xiàn)了各個認(rèn)知層面間的溝通和連接，逐步達(dá)成對平行四邊形這一概念的整體建構(gòu)。

（二）從樸素的、生活化的了解逐步走向精確的、科學(xué)性的理解

認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為：學(xué)習(xí)就是學(xué)習(xí)者對原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重新組織。因而，數(shù)學(xué)教學(xué)活動必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識經(jīng)驗基礎(chǔ)之上。在教學(xué)實踐中，教師要始終堅信學(xué)生內(nèi)在的理解并不是白紙一張，他們在日常的生活實踐中已形成了一定的“數(shù)學(xué)概念”，對現(xiàn)實中的空間形式有著自己的看法和理解，這些概念通常具有合理的成分，但不精確，有些甚至是錯誤的。

在這樣一種觀念指導(dǎo)下的教學(xué)，就需要教師考慮如何去激發(fā)、引導(dǎo)、概括、提升，從而使學(xué)生已有的樸素、生活化的概念逐步走向精確的、科學(xué)性的理解和掌握。上述個案試驗中片段2和3對于平行四邊形概念的鞏固和本質(zhì)屬性的理解正體現(xiàn)了這樣的一個過程。以片段3中兩個問題為例，可以看出學(xué)生對于概念本質(zhì)屬性的理解并不是一蹴而就的，變式的呈現(xiàn)則是使學(xué)生已有概念趨向精確化、科學(xué)性的重要環(huán)節(jié)，同時，也要注意排除負(fù)遷移的不良影響。

（三）概念學(xué)習(xí)既是知識獲得的過程，更是個體內(nèi)化發(fā)展的過程

從教學(xué)的角度來說，學(xué)生的概念學(xué)習(xí)本質(zhì)上看就是概念獲得的過程，它要在教師的指導(dǎo)下進(jìn)行。根據(jù)數(shù)學(xué)概念的特性，教學(xué)實踐中必須體現(xiàn)出完整的學(xué)生主動內(nèi)化、構(gòu)建的過程，過程如果缺少，要使學(xué)生建立一個科學(xué)概念的難度很大。本文案例中測試者正是始終貫徹這樣的理念，使學(xué)生積極、主動地嘗試探究、發(fā)現(xiàn)概念。

毫無疑問，數(shù)學(xué)概念是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的核心，曾有人將之比作構(gòu)建數(shù)學(xué)理論大廈的基石。對于一線教師來說，關(guān)于數(shù)學(xué)概念教學(xué)的探索也必將是經(jīng)久不衰的熱點話題，本文僅從一個實驗個案出發(fā)淺述了關(guān)于數(shù)學(xué)概念教學(xué)的一些看法，不當(dāng)之處敬請指正。