一、極限，把圓柱體積從“魔術(shù)”中變出來(lái)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年）》里面強(qiáng)調(diào)：“借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中都發(fā)揮著重要作用。”小學(xué)階段的立體幾何方面的知識(shí)還是比較豐富的，有長(zhǎng)方體、正方體、圓柱體、圓錐體等的表面積、體積的計(jì)算，以及它們的公式推導(dǎo)。

教學(xué)片段1：圓柱體積計(jì)算公式的推導(dǎo)（北師大版六年級(jí)下冊(cè)《圓柱的體積》）。

師：同學(xué)們，今天我們研究的是圓柱的體積是怎樣進(jìn)行計(jì)算的？先來(lái)看看長(zhǎng)方體的體積是怎樣計(jì)算的。

生：長(zhǎng)方體的體積V＝abh，V＝Sh。

課件出示：長(zhǎng)方體，其中長(zhǎng)方體標(biāo)出底面、高。（旁白：長(zhǎng)方體體積＝底面積×高）

課件出示：

師：上圖右邊的立體圖形（三棱柱）的體積應(yīng)該怎樣算？

生1：也是底面積乘高。

生2：把它們合并成一個(gè)長(zhǎng)方體，算出長(zhǎng)方體的體積，然后用長(zhǎng)方體的體積除以2得出三棱柱的體積。三棱柱的體積＝長(zhǎng)方體的體積÷2＝ 長(zhǎng)方體的底面積×高÷2＝（長(zhǎng)方體的底面積÷2）×高。長(zhǎng)方體的底面積÷2，就正好是三角形的面積。

師：哇！太棒了！謝謝你!

師：我們繼續(xù)來(lái)看圖形的變化。

課件出示：

師：圖中的五棱柱，它的體積又是怎樣計(jì)算的？

生1：像剛才這位同學(xué)說(shuō)的一樣：底面積乘高。因?yàn)槲覀兛梢园堰@個(gè)五棱柱分成三個(gè)三棱柱。

師：這位同學(xué)真了不起！不但講出了怎樣計(jì)算，還說(shuō)出了理由?，F(xiàn)在我們繼續(xù)看大屏幕圖形的變化。

課件出示：

師：從上面圖形的變化，大家大膽猜想，圓柱的體積等于什么？說(shuō)說(shuō)理由。

生：圓柱的體積等于底面積乘高。因?yàn)槲覀円部梢园褕A看成是一個(gè)近似的正多邊形，邊數(shù)非常非常多的多邊形。

師：了不起！大家的猜想非常正確。圓柱的體積等于底面積乘高。

我們的教科書，在推導(dǎo)圓柱體體積計(jì)算公式的時(shí)候，都是通過(guò)對(duì)圓柱進(jìn)行切割變形，拼接成近似的長(zhǎng)方體（即先把圓柱底面分成若干個(gè)小扇形，再沿高與半徑切開，再進(jìn)行拼接成近似的長(zhǎng)方體）進(jìn)行計(jì)算的。現(xiàn)在換一種方法，通過(guò)極限，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到，原來(lái)圓柱是這樣“變”來(lái)的，因此圓柱的體積也可以在這個(gè)“變”的過(guò)程中得到。更重要的是，在這一變換的過(guò)程中，學(xué)生初步認(rèn)識(shí)了立體幾何里面的“不變的東西”——正立柱的體積的計(jì)算，都是“底面積乘高”。在這一變換的過(guò)程中，初步接觸了一種極限的思想，為后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)種下一顆“變”的種子。

二、倒看，三角形面積得來(lái)全不費(fèi)功夫

在學(xué)校的一次教研活動(dòng)中，筆者聽了一節(jié)示范課，碰到了授課教師預(yù)設(shè)之外的生成，可惜教師忽視了學(xué)生的這一創(chuàng)造性的生成，沒(méi)能借題發(fā)揮，捕捉這瞬間的靈智。

教學(xué)片段2：三角形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)。

學(xué)生在自主探究、動(dòng)手操作后，得出：兩個(gè)相同的三角形可以拼成一個(gè)平行四邊形，三角形的面積＝底×高÷2。

這時(shí)，還有兩個(gè)學(xué)生在爭(zhēng)論不休，教師進(jìn)行詢問(wèn)。

生1：我同桌把數(shù)學(xué)書倒過(guò)來(lái)看，說(shuō)可以不按課本上的方法進(jìn)行公式推導(dǎo)。

生2：老師，您看，我把書倒過(guò)來(lái)，是不是能更容易理解？

師：怎么能把書倒過(guò)來(lái)呢？就按我們大家探究的：兩個(gè)相同的三角形可以拼成一個(gè)平行四邊形。結(jié)果是：三角形的面積＝底×高÷2。

下課后筆者去找那位把書倒過(guò)來(lái)的同學(xué)問(wèn)了問(wèn)，他的想法，卻讓筆者驚訝不已！原來(lái)把書倒過(guò)來(lái)以后，圖形成了下面這樣：

現(xiàn)在我們完全可以來(lái)一個(gè)“倒行逆施”：把一個(gè)平行四邊形沿對(duì)角線剪成兩個(gè)完全一樣的三角形。那么，既然平行四邊形的面積等于底乘高，而三角形的面積等于平行四邊形面積的一半，即三角形的面積=底×高÷2，這樣更加容易理解。

其實(shí)像上面這種情況，在數(shù)學(xué)中比比皆是，像梯形面積公式的推導(dǎo)、乘法分配律的推導(dǎo)、同分母分?jǐn)?shù)加減的運(yùn)算過(guò)程的推導(dǎo)等，都可以如法炮制。

（作者單位：廣東省南雄市永康路小學(xué)?搖?搖?搖責(zé)任編輯：王彬）