摘 要：這道例題旨在通過解二元一次方程組的方法滲透消元、轉(zhuǎn)化、整體的數(shù)學(xué)思想和方法。解方程組中的消元，其實質(zhì)就是將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程來求解。轉(zhuǎn)化是最基本的思想方法，其實質(zhì)是把復(fù)雜問題簡單化，陌生問題熟悉化。

關(guān)鍵詞：例題轉(zhuǎn)化；數(shù)學(xué)思想;消元

中圖分類號：G420 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1992-7711（2012）08-071-1

我在幫助初三學(xué)生復(fù)習(xí)二元一次方程（組）的時候，采用了這樣一道例題：

已知：關(guān)于x、y的二元一次方程組4x+3y=7kx+(k－1)y=3 的解x，y的值相等，求k的值．

這道題是在數(shù)學(xué)《中考作業(yè)本》P13頁例題的基礎(chǔ)上變式而成。雖然是簡單的變式，卻把二元一次方程組最基本的特征和最核心的要素都包容在其中，掌握了它的解法，類似于這樣的方程組即可迎刃而解。

解：由題意可知：y=x

∴4x+3y=7可化為4x+3x=7 ∴x=1

∴將x=1y=1 代入kx+（k－1）y=3中得k+k－1=3，

∴k=2

變式1：若原方程組的解x、y互為相反數(shù)，求k的值。

解：∵x+y=0

∴12－7kk－4+7k－16k－4=0

－4k－4=0

∴k不存在。

變式2：若原方程組的解x、y滿足3x+4y=7，求k的值。

方法一：4x+3y=73x+4y=7

解之得：x=1y=1

將x=1y=1 代入②得：k+(k-1)=3，

2k=4，k=2

方法二：將x=7k－16k－4y=12－7kk－4 代入3x+4y=7得：

3×7k－16k－4+4×12－7kk－4=7，

21k－48+48－28kk－4=7

－7k=7k－28，

∴k=2

這一教學(xué)過程表明，我的設(shè)計意圖是為了培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力。

美國著名認知心理學(xué)家奧斯貝爾說過：如果我不得不將教育心理還原為一條原理的話，我將會說，影響學(xué)習(xí)的最重要的原因是學(xué)生已經(jīng)知道了什么，我們應(yīng)當(dāng)根據(jù)學(xué)生已有的知識狀況去教學(xué)。筆者也常琢磨：數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該怎樣體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想，也就是說它應(yīng)該告訴學(xué)生要思考什么問題，為什么要思考這樣的問題，如何解決這些問題。數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該是一個發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的過程，在一定程度上體現(xiàn)“數(shù)學(xué)本質(zhì)”，使數(shù)學(xué)教學(xué)真正成為“數(shù)學(xué)”的教學(xué)。本題的解題思路體現(xiàn)了兩個未知數(shù)的特殊關(guān)系，將一個未知數(shù)用含另一個未知數(shù)的代數(shù)式代替，化“二元”為“一元”，從而求得兩個未知數(shù)的值，再代入第二個方程，即可求出k。還有一個基本思路就是解二元一次方程組的基本方法，用含有k的代數(shù)式表示x、y，再代入y=x即可求出了。

解二元一次方程組的本質(zhì)是消元，即把“二元”轉(zhuǎn)化為“一元”。消元的基本方法是——代入法、加減法，這兩種方法的本質(zhì)差別在消元的具體步驟上：代入消元法。先要將其中的一個二元一次方程變形為用一個未知數(shù)的代數(shù)式表示為另一個未知數(shù)的形式。這一步變形也是學(xué)習(xí)一次函數(shù)的基礎(chǔ)。根據(jù)二元一次方程確定一次函數(shù)的解析式，同樣是二元一次方程組的圖象解法基礎(chǔ)；加減消元法的本質(zhì)內(nèi)涵是整體的數(shù)學(xué)思想，要求學(xué)生先利用等式的性質(zhì)把兩個方程的同一個未知數(shù)的系數(shù)變成相同，這樣整體加減時，才能夠達到消元的目的。加減消元中的整體思想是數(shù)學(xué)中常用的思想方法。所以解二元一次方程組的這兩種方法都必須讓學(xué)生來理解并熟練掌握。掌握了這兩種方法，對于二元一次方程組的綜合題就能迎刃而解。這道例題，旨在通過解二元一次方程組的方法滲透消元、轉(zhuǎn)化、整體的數(shù)學(xué)思想和方法。解方程組中的消元，其實質(zhì)就是將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程來求解。轉(zhuǎn)化是最基本的思想方法，其實質(zhì)是把復(fù)雜問題簡單化，陌生問題熟悉化。

陶行知先生有過一個精辟的比喻：“接知如接枝。”他說：“我們要以自己的經(jīng)驗做根，以這經(jīng)驗所發(fā)生的知識做枝，然后別人的知識方才可以接得上去，別人的知識方才成為我們知識的一個有機部分?！苯虒W(xué)中，如果我們能夠留給學(xué)生足夠的思考探究的時間，就會發(fā)現(xiàn)學(xué)生中有很多的問題是我們無法預(yù)設(shè)的，這些問題的出現(xiàn)正是學(xué)生在“接知”的過程中，自身的“免疫力”遇到外來“干擾”的正常反映。教師要成為一個出色的“嫁接師”，用合適的技術(shù)讓學(xué)生的新舊知識之間能夠進行一個“無縫對接”。像上面的這道例題，如果你只會用一般的方法，不會用通法，當(dāng)你再碰到類似的情況就不會了。比如說碰到：兩條直線4x+3y=7、kx+（k－1）y=3的交點在第四象限，求出k的取值范圍。解題思路是將兩直線聯(lián)立方程組4x+3y=7kx+(k－1)y=3，用含有k的代數(shù)式表示x、y，由于交點在第四象限，則x>0y<0，解關(guān)于k的不等式組即可。

這道例題也貫穿了波利亞的“掌握數(shù)學(xué)就是善于解題”思想。教師營造一個支持性的、寬容的課堂氛圍，通過一題多解，培養(yǎng)學(xué)生善于思考，找到問題的最優(yōu)解法的習(xí)慣，激發(fā)學(xué)生的智慧。思維的流暢性是發(fā)散思維的第一層次，主要是培養(yǎng)學(xué)生思維的速度，使其在較短時間內(nèi)表達較多的概念，枚舉較多的解決問題方案，探索較多的可能性。因此，教師在組織教學(xué)時，要使學(xué)生保持思維的流暢性，應(yīng)通過創(chuàng)設(shè)各種情境，組織各種具有啟發(fā)性的活動，讓數(shù)學(xué)思想自然流淌！