一堂優(yōu)秀的小學(xué)數(shù)學(xué)課，教師在講好有關(guān)知識的同時，還有必要講清楚其縱橫兩方面的聯(lián)系：縱向方面，即揭示知識的背景及其延伸；橫向方面，即闡述同類知識之間的分化及聯(lián)系。在本文中，筆者試從這兩個方面進行闡述。

一、縱向方面

任何一個知識點都不是孤立存在的，它聯(lián)結(jié)著其他無數(shù)知識內(nèi)容。數(shù)學(xué)也不例外。但是，在教學(xué)過程中，教師普遍關(guān)注的只是引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)這些知識是如何從生活中抽象出來的，忽視了其他方面的聯(lián)系，往往會使學(xué)生孤立地看待這一個知識點，無法理解有關(guān)數(shù)學(xué)知識的發(fā)展脈絡(luò)，造成學(xué)生學(xué)科知識不扎實。因此，在教學(xué)過程中必須注意如下三點。

1．揭示數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)背景

學(xué)習(xí)背景是學(xué)生進行后續(xù)學(xué)習(xí)的重要因素。唯有一定的知識鋪墊，學(xué)生才能較好地掌握新的知識內(nèi)容。遺憾的是，小學(xué)數(shù)學(xué)教材是混合編排的，往往是獨立成章，缺乏承上啟下的有機聯(lián)系。例如，上一單元是關(guān)于數(shù)與代數(shù)的內(nèi)容，下一單元卻是空間與圖形。這樣便割裂了知識之間的聯(lián)系，使學(xué)生只能孤立地看待每一章的知識內(nèi)容，不利于他們理解數(shù)學(xué)思想的發(fā)展過程。因此，在教授新知識時，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系學(xué)習(xí)背景是相當必要的。它可以把一系列的知識串聯(lián)起來，建立完整的知識體系，幫助學(xué)生理清思路，融會貫通，形成比較完整的數(shù)學(xué)思想。

以分數(shù)應(yīng)用題為例。因為這是一個獨立的單元，學(xué)生總是把它與整數(shù)應(yīng)用題孤立開來，學(xué)得非常吃力，即使是第一學(xué)段學(xué)得比較好的部分學(xué)生，也不能完全清楚地理解分數(shù)應(yīng)用題的意義。如果在教學(xué)分數(shù)應(yīng)用題之前，先讓學(xué)生解答整數(shù)應(yīng)用題，如“足球有20個，籃球的個數(shù)是足球的3倍，籃球有多少個？”得到學(xué)生的正確回答以后，再問：“如果籃球的個數(shù)不夠足球的1倍，而僅僅是足球的1/5，該怎么解答呢？”這樣，可以讓學(xué)生明白，分數(shù)應(yīng)用題與整數(shù)應(yīng)用題在某種程度上來說是一致的，因為它們都是有理數(shù)。如是，就降低了學(xué)生的學(xué)習(xí)難度，也使得他們明白數(shù)學(xué)知識之間的承繼關(guān)系，并學(xué)會由此及彼的思想方法，有利于學(xué)生深層次地思考數(shù)學(xué)問題。

2．對數(shù)學(xué)知識進行拓展

數(shù)學(xué)知識的拓展表現(xiàn)在課堂上往往是聯(lián)系生活實際，體現(xiàn)“從生活中來到生活中去”這一理念。這是數(shù)學(xué)實用性的理論。但是，我們不得不承認，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，更多的是純理論的演繹推理，它無關(guān)乎生活實際。因為數(shù)學(xué)的“研究對象是一切抽象結(jié)構(gòu)——所有可能的關(guān)系與形式”。[1]我們?nèi)绻^分地強調(diào)數(shù)學(xué)的實用性，會使學(xué)生對數(shù)學(xué)產(chǎn)生一種誤解，以為數(shù)學(xué)僅僅是解決實際生活問題的一種工具。這種以偏概全的認識，無疑不利于提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，甚至?xí)焕谒麄內(nèi)蘸笤谶@一方面的成長與發(fā)展。因為數(shù)學(xué)中的許多概念，在生活中是很難找到原型的。因此，在課堂上，教師如果能夠在適當?shù)臈l件下因時制宜地對數(shù)學(xué)知識進行純理論拓展，對于學(xué)生全方位地認識數(shù)學(xué)學(xué)科的思想，應(yīng)該是有所助益的。

在上“分數(shù)的基本性質(zhì)”這一課時，一位教師在講解主要內(nèi)容以后，在學(xué)生們聽得津津有味之時，很自然地給他們介紹“集合”與“數(shù)列”：“把1/2的分子和分母同時乘以2、3、4、5……組成一個數(shù)列，形成一個集合?！辈⒊醪竭M行講解，然后讓學(xué)生選擇其中的一個分數(shù)作為這個集合的“代表”。由是，學(xué)生們的興趣更濃了，紛紛舉手要求回答。集合與數(shù)列本是中學(xué)階段才教學(xué)的內(nèi)容，但這位教師在五年級的課堂上加以介紹，卻絲毫不顯得牽強。這樣，不僅增加了本堂課的知識容量，拓展了數(shù)學(xué)思想的深度，也為學(xué)生展現(xiàn)了一個不同尋常的數(shù)學(xué)世界，讓學(xué)生了解到數(shù)學(xué)文化的神奇，進一步激發(fā)他們對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。由此可見，適當?shù)赝卣怪R內(nèi)容，加深學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)科的整體認知，對于調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性是十分有利的。

3．滲透數(shù)學(xué)思想

無論是聯(lián)系學(xué)習(xí)背景，還是拓展教學(xué)內(nèi)容，都必須尋找一條適當?shù)耐緩健＿@條途徑或是數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展脈絡(luò)，或是數(shù)學(xué)知識的綜合內(nèi)容。因為小學(xué)生的知識積淀畢竟有限，教師應(yīng)該以數(shù)學(xué)思想來聯(lián)系有關(guān)知識，豐富數(shù)學(xué)課堂的知識容量。但是，在聯(lián)系知識的同時，應(yīng)該注意引導(dǎo)學(xué)生對這些知識點進行分析比較，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中所蘊含的數(shù)學(xué)思想。唯有如此，學(xué)生才能知其然并知其所以然，才會在今后的學(xué)習(xí)中以數(shù)學(xué)眼光去看待問題、分析問題、解決問題。

“三角形的面積”教學(xué)設(shè)計，普遍都是先回憶平行四邊形的面積公式，再引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)兩個相同的三角形可以拼成一個平行四邊形，由此得出三角形的面積公式是S=ah÷2。大多數(shù)教師到此就結(jié)束了。然而，如果能在這一基礎(chǔ)上，介紹“轉(zhuǎn)化”這一數(shù)學(xué)思想，再進一步介紹數(shù)學(xué)中應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想解決問題的例子，那么，這堂課學(xué)生學(xué)到的就不僅僅是三角形的面積公式，而且對數(shù)學(xué)思想也有了較深刻的了解。一位教師曾在課堂上進行了這一嘗試，學(xué)生們興趣盎然，下課后還有一些學(xué)生留下來與他交流。

因此，在教學(xué)過程中，我們不應(yīng)該只著眼于單一的知識內(nèi)容，而要把它放在整個數(shù)學(xué)學(xué)科的大背景下，以點連線，以點帶面，幫助學(xué)生理清數(shù)學(xué)學(xué)科的思想內(nèi)涵，進而了解數(shù)學(xué)文化的精神。

二、橫向方面

在數(shù)學(xué)學(xué)科乃至于所有的學(xué)科中，都有部分內(nèi)容或是呈現(xiàn)的知識形態(tài)相近、或是使用的思想方法相同而可以把它們歸為同一類。它們或存在于同種學(xué)科之中，或者存在于不同學(xué)科之間。因此，在教學(xué)中如果能夠?qū)@些相似的知識點進行聯(lián)系、分析，區(qū)分其中的異同，必將有助于擴展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的深度和廣度。對此，我們可以從以下三方面進行探討。

1．準確地闡述知識內(nèi)涵

數(shù)學(xué)知識的抽象性和理論性，是人們很難用生活中的事例來圓滿解釋的。然而在教學(xué)中，我們采用的大多是舉例歸納的方法，這樣得到的通常只是一個模糊的結(jié)果，而非準確的結(jié)論，與數(shù)學(xué)的本質(zhì)背道而馳。因為“數(shù)學(xué)的本質(zhì)就在于，凡是可以進行證明的地方，就要使用證明而不用歸納來確證?！盵2]以“數(shù)的奇偶性”一課為例，多數(shù)教師都是讓學(xué)生隨意舉出幾個奇數(shù)相加，然后引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)其共性——結(jié)果都是偶數(shù)，便得出了“奇數(shù)＋奇數(shù)=偶數(shù)”這個結(jié)論。這樣的做法是不嚴密的。因為數(shù)是無窮的，而所舉的例子卻是有限的，沒有舉到的例子并不代表它們不存在。那么，如何才能夠證明所有的奇數(shù)加奇數(shù)都等于偶數(shù)呢？一位教師設(shè)計了兩個方格板（見圖1、圖2）。然后，他引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)，如果方格數(shù)是奇數(shù)，方格板最上方永遠是單個的，如圖1；如果是偶數(shù)，方格板最上方的方格則是兩個（即偶數(shù)），如圖2；而當兩個奇數(shù)相加時就成了偶數(shù)，如圖3。

以有限的方格板演繹無限的數(shù)字，完美地證明了數(shù)的奇偶變化，充分地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的嚴密性，也使得學(xué)生深刻地體會到數(shù)形結(jié)合的妙處，準確地理解數(shù)學(xué)思想方法。因此，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之時，首先應(yīng)該了解該知識的內(nèi)涵，然后選擇恰當?shù)姆绞綔蚀_無誤地進行闡述。唯有如此，才能讓學(xué)生從數(shù)學(xué)思想的高度確切地掌握該知識點，并了解哪些是同類知識。

2．區(qū)分同類數(shù)學(xué)知識之間的異同

聯(lián)系同類知識是日常教學(xué)中所采用的較為普遍的方法。因為許多數(shù)學(xué)知識在表現(xiàn)方式上有著極為相似的結(jié)構(gòu)，如商不變的性質(zhì)和分數(shù)的基本性質(zhì)。對此，教師若能引導(dǎo)學(xué)生分析其中的異同點，將有助于學(xué)生的理解和記憶；而有一些知識點，外在的表現(xiàn)形式毫不相同，但均采取同一種數(shù)學(xué)思想方法解決，教師更應(yīng)該有意識地引領(lǐng)學(xué)生進行綜合分類，使學(xué)生理解其中的數(shù)學(xué)思想，從而達到事半功倍的效果。

“幾何形體的表面積計算”復(fù)習(xí)課是在學(xué)習(xí)長方體、正方體和圓柱體表面積計算后的整理與復(fù)習(xí)。在復(fù)習(xí)了這三者的計算方法以后（它們的表面積相等），一位教師引導(dǎo)學(xué)生思考：“為什么它們的表面積相等？什么變了？什么不變？”從而讓學(xué)生領(lǐng)會到：雖然三者的形狀不同，但是其側(cè)面展開圖都是長方形，底面周長相等，因此都可以用“底面周長×高”來計算它們的表面積。然后，再讓學(xué)生進一步運用“變與不變”的數(shù)學(xué)思想分析以前學(xué)過的知識，對有關(guān)同類知識進行寬領(lǐng)域的整合。在這一過程中，學(xué)生初步體會到了從特殊到一般的抽象過程。此后，教師再慢慢地引導(dǎo)他們以此類推，找出同類知識的異同之處。以后的測試表明，學(xué)生對有關(guān)知識的掌握還是比較牢固的。由此可見，有意識地引導(dǎo)學(xué)生區(qū)分同類知識，能夠完善學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生學(xué)會透過現(xiàn)象認識本質(zhì)，達到溫故而知新的目的。筆者以為，這種方法，在復(fù)習(xí)課中應(yīng)該可以常用。

3．聯(lián)系其他學(xué)科知識

數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間有著千絲萬縷的聯(lián)系，北京師范大學(xué)出版社出版的教材就安排了“體育中的數(shù)學(xué)”等綜合實踐內(nèi)容。即使是語文學(xué)科，雖然它的整體思維方式與數(shù)學(xué)截然不同，但在某些方面，也有與數(shù)學(xué)契合的地方。因此，在數(shù)學(xué)課中，我們偶爾會見到語文的影子。例如，在教學(xué)“倒數(shù)”時，有些教師就會先舉一些文字，如“吳、吞”“呆、杏”之后再引入新課。但是，這些僅僅在外形特點上與倒數(shù)類似，其中所蘊含的思想并無相似之處，未免有點美中不足。因此，在聯(lián)系其他學(xué)科時，我們應(yīng)該從思想高度出發(fā)，找準兩者的共同點。

一位教師在教授“分數(shù)基本性質(zhì)”這一課時，在講明分數(shù)的基本性質(zhì)即“形變本質(zhì)不變”這一數(shù)學(xué)思想之后，舉了奧運會圖標（“京”字的變形），讓學(xué)生說說為什么要變形，由于北京奧運會乃是學(xué)生耳熟能詳?shù)氖⑹?，因而學(xué)生一下子就說出了要點。隨后，教師適時地進一步問分數(shù)為什么要變形，由于有了前面的鋪墊，同學(xué)們馬上就說出了可以解決異分母分數(shù)不容易計算的難題。在這一堂課中，教師還很簡單地列舉了自然界及哲學(xué)中的有關(guān)例子。雖然，這位教師并沒有刻意點明藝術(shù)、自然、哲學(xué)與數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系，但是由于它們和這一堂課的數(shù)學(xué)思想有相通的地方，所以在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生自然而然就會了解到數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的關(guān)系。因此，我們看到，學(xué)生的興趣高漲，許多看似難懂的問題學(xué)生都能準確地解答出來。如此潛移默化，也就會逐漸拓寬學(xué)生的知識面?？梢姡m當?shù)芈?lián)系其他學(xué)科知識，不僅能夠使數(shù)學(xué)課堂更具有文化氣息，而且能夠幫助學(xué)生多維度地理解數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和文化底蘊。

綜上所述，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，我們可以根據(jù)有關(guān)內(nèi)容，以數(shù)學(xué)思想為主線，幫助學(xué)生溝通有關(guān)知識的縱向聯(lián)系和橫向聯(lián)系，使之成為一個立體的知識模塊，必將有利于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，掌握有關(guān)知識，學(xué)好數(shù)學(xué)這一門課程。

參考文獻：

[1]張景中.數(shù)學(xué)與哲學(xué)[M].北京：中國少年兒童出版社，2003.

[2][德]G#8226;弗雷格.算術(shù)基礎(chǔ)[M].王路譯.北京：商務(wù)印書館，1998.

（作者單位：福建省石獅市銀江華僑學(xué)校）

（責(zé)任編輯：林靜）