2011年全國(guó)新課標(biāo)卷第21題為：已知函數(shù)f（x）=+，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程x+2y-3=0。

（1）求a，b的值；（2）如果當(dāng)x>0且x≠1時(shí)，f（x）>+，求k的取值范圍。

對(duì)于第（2）問，高考命題組提供的標(biāo)準(zhǔn)答案為：（2）由（1）知f（x）=+，所以

f（x）-（+）=（2lnx+）。

構(gòu)造函數(shù)h（x）=2lnx+（x>0），則h′（x）=。

（?。┰O(shè)k≤0，由h′（x）=知，當(dāng)x≠1時(shí)，h′（x）<0。而h（1）=0，故當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，

h（x）>0，可得h（x）>0；當(dāng)x∈（1，∞）時(shí)，h（x）<0，可得h（x）>0，從而當(dāng)x>０且x≠1時(shí)，f（x）>+。

（ⅱ）設(shè)00，故h′（x）>0，而h（1）=0，故當(dāng)x∈（1，）時(shí)，h（x）>0，可得h（x）<0，與題設(shè)矛盾。

（ⅲ）設(shè)k≥1，此時(shí)h′（x）>0，而h（1）=0，故當(dāng)x∈（1，∞）時(shí)，h（x）>0，可得h（x）<0，與題設(shè)矛盾。綜合得，k的取值范圍為（-∞，0]。

解法評(píng)析：本題對(duì)k進(jìn)行分類討論，逐段篩選出符合條件k的的范圍。篩選的辦法是通過對(duì)函數(shù)（或所構(gòu)造的函數(shù)）求導(dǎo)，然后篩選出使導(dǎo)數(shù)能明顯判斷正負(fù)k的范圍，說明函數(shù)單調(diào)性，驗(yàn)證不等式恒成立；再對(duì)導(dǎo)數(shù)可正可負(fù)的k的范圍進(jìn)行討論，用類似舉反例的方法說明不等式不恒成立，即不符合題意；最終由以上兩部分的篩選得到所求k的范圍。這種解法既考查對(duì)不等式恒成立條件正面的探究過程，又考查不等式不恒成立的否定過程，對(duì)應(yīng)試者能力要求高，一般作為高考?jí)狠S題的首選題型，活躍在近年來的高考試題中。其實(shí)這種方法的考查從2006年全國(guó)高考試題中首次出現(xiàn)以后，幾乎每年都有。相同類型高考題目有：

2006（全國(guó)Ⅱ）理第20題：設(shè)函數(shù)

f（x）=（x+1）ln（x+1）若對(duì)所有的x≥0，都有f（x）≥ax成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

2007（全國(guó)Ⅰ）理第20題：設(shè)函數(shù)f（x）=ex-e-x（1）證明：f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）≥2；（2）若對(duì)所有x≥0都有f（x）≥ax，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

2008（全國(guó)Ⅱ）設(shè)函數(shù)f（x）=（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）如果對(duì)任何x≥0，都有f（x）≤ax，求a的取值范圍。

2010（全國(guó)Ⅱ）已知函數(shù)f（x）=1-e-x（1）。證明：當(dāng)x>-1時(shí)，f（x）≥；（2）設(shè)當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≤，求a的取值范圍。

同一類型問題能連續(xù)五年作為高考?jí)狠S題目出現(xiàn)，一方面說明這類問題具有較好的區(qū)分度，另一方面也說明中學(xué)教學(xué)對(duì)此類問題研究不夠。這類問題一般也可以利用參變分離的方法轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來處理，以2011年全國(guó)新課標(biāo)卷第21題（2）為例，解法如下：

（2）由（1）知，當(dāng)f（x）=+時(shí)，當(dāng)x>0，x≠1，f（x）>+即k<+1在（0，1）∪（1，+∞）上恒成立，令g（x）=+1，x∈（0，1）∪（1，+∞），

則g′（x）==

#8226;[lnx+]

再令h（x）=lnx+，x∈（0，+∞），

h′（x）=≥0，即h（x）在（0，+∞）上遞增，而h（1）=0，故當(dāng)01時(shí)，h（x）>0，則g′（x）>0，所以g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增。

又（1-+1）=(+1）=0，所以k≤0，即k的取值范圍是（-∞，0]。

這種解法雖然可避免分類討論，但往往要用到高階導(dǎo)數(shù)，甚至于要用到洛必達(dá)（L'Hospital）法則才能求出極限，這些都要涉及高等數(shù)學(xué)知識(shí)，所以這種做法一般不會(huì)作為高考命題組提供的參考答案，也不應(yīng)該是考生的首選方法。除以上兩種方法外，有時(shí)也可以考慮數(shù)形結(jié)合法，解法如下：由（1）知f（x）=+，當(dāng)x>０且x≠1時(shí)，f（x）>+恒成立。

1.當(dāng)x>1時(shí)，由f（x）>+

得（k-1）（x2-1）<-2xlnx在（1，+∞)上恒成立，令g（x）=（k-1）（x2-1），h（x）=-2xlnx，畫出h（x）圖像，過(1，0），且h（x）=0，要使（k-1）（x2-1）<-2xlnx在（1，+∞）上恒成立，只需當(dāng)x>1時(shí)g（x）圖像在h（x）圖像下方，由圖像k>1知時(shí)不成立，∴k≤1，故g（x）開口向下，過

（±1，0）點(diǎn)，當(dāng)x>1時(shí)由圖像斜率變化知g″（x）≤h″（x）在（1，+∞）上恒成立，即k-1≤-在（1，+∞）上恒成立，所以k≤0。

2.當(dāng)0+

得（k-1）（x2-1）<-2xlnx在（0，1)上恒成立，令

g（x）=（k-1）（x2-1），h（x）=-2xlnx，畫出h（x）圖像，要使（k-1）（x2-1）>-2xlnx在（0，1）上恒成立，只需g（x）圖像在h（x）圖像上方，當(dāng)0

|g″（x）|≥|h″（x）|在（0，1）上恒成立，即k-1≥在（0，1）上恒成立，所以k≤0。

綜上所述，k≤0，即k的取值范圍是（-∞，0]。這種解法雖然更直觀，但數(shù)形結(jié)合法的缺點(diǎn)是一般難以精確作圖，所以數(shù)形結(jié)合法容易出錯(cuò)且嚴(yán)謹(jǐn)性不夠，因此數(shù)形結(jié)合法一般也要慎用。

綜上，函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)范圍問題一般仍然要以逐段篩選法為主，輔之以構(gòu)造函數(shù)、分離參變等策略，盡量避免過分依賴高等數(shù)學(xué)有關(guān)結(jié)論，用高中所學(xué)知識(shí)創(chuàng)造性地解決問題，這也是命題者的意圖所在。同時(shí)教師在高三復(fù)習(xí)教學(xué)中要善于總結(jié)逐段篩選法的一般思維方式，認(rèn)真研究全國(guó)卷函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)范圍問題的解法特征，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)這一思想方法的認(rèn)識(shí)。

（責(zé)任編輯 劉永慶） (本文編輯：郎威)

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