王榮芹

數(shù)學(xué)課的基本課型有：概念課、習(xí)題課、復(fù)習(xí)課、試卷講評(píng)課.概念課是認(rèn)知定義、定理、法則構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)與基本原理的過程；習(xí)題課是檢驗(yàn)知識(shí)與原理的記憶、理解的過程，是深化完善知識(shí)與原理的過程，是應(yīng)用知識(shí)與原理解決問題的過程，是發(fā)現(xiàn)規(guī)律總結(jié)方法的過程；復(fù)習(xí)課是構(gòu)建知識(shí)體系的過程，是鞏固提升知識(shí)與原理的過程，是能有效提取知識(shí)與原理解決問題的過程，是多角度、多途徑分析問題的過程，是綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問題的過程，是能力得到進(jìn)一步提升的過程.

因此數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程是伴隨問題解決的過程，如何在課堂教學(xué)中設(shè)計(jì)問題使學(xué)生在問題中發(fā)現(xiàn)、問題中理解、問題中感悟、問題中成長(zhǎng)是教學(xué)設(shè)計(jì)中非常重要的一項(xiàng).下面就例題的功效談?wù)劚救说目捶ㄅc同行交流.

1.例題有利于對(duì)知識(shí)與原理即理論的深化理解

我們常有這樣的感覺，所學(xué)的理論記住了、理解了，但問題做錯(cuò)了.究其原因發(fā)現(xiàn)：對(duì)理論的理解膚淺，不到位，或有偏差.

例1 函數(shù)y=-x3+x2+tx+t在［-1,1］上是增函數(shù)，則t的取值范圍為（）.

獳.(5,+∞) B.［5,+∞)

C.(-∞,5)D.(-∞,5］

此題易選答案獳，y′=-3x2+2x+t，由已知在［-1,1］上-3x2+2x+t>0恒成立，

錯(cuò)誤理解y′>0是函數(shù)y=-x3+x2+tx+t在［-1,1］上是增函數(shù)的充要條件.

因此例題、訓(xùn)練題的設(shè)計(jì)，要有檢驗(yàn)學(xué)生是否基礎(chǔ)知識(shí)過關(guān)，使學(xué)生達(dá)到對(duì)理論的正確深化理解、補(bǔ)充完善的功效.

2.例題有利于學(xué)會(huì)對(duì)基本問題的規(guī)律性求解方法

通過例題的一題多解、一題多變的研究，學(xué)會(huì)對(duì)一類基本問題的規(guī)律性求解方法.

例2 在研究一元二次不等式解法時(shí)選擇了這樣一個(gè)例題:

解不等式x2-3x+2>0.

通過此問題設(shè)計(jì)，得到一元二次不等式解法：

（1）因式分解轉(zhuǎn)化為一元一次不等式組.

（2）配方，開方轉(zhuǎn)化為含絕對(duì)值不等式|ax+b|<(>)c.

（3）利用函數(shù)圖像.

例3 在研究含參數(shù)一元二次不等式由解集求參數(shù)取值范圍時(shí)選擇了這樣一個(gè)例題:

已知不等式x2-2x+k>0.

（1）若不等式解集是{x|x<-2或x>4}，求k值.

（2）若不等式解集是R，求k值.

通過此問題設(shè)計(jì)，得到含參數(shù)一元二次不等式由解集求參數(shù)取值范圍的方法：

（1）韋達(dá)定理.（2）判別式Δ.（3）分離變量.

3.例題有利于多題歸一挖掘共性

通過將幾個(gè)例題進(jìn)行求解后比較，或由一個(gè)背景相同的問題演變?yōu)椴煌Y(jié)論幾個(gè)問題解后反思的研究，找到不變的本質(zhì)特征，挖掘共性，多題歸一，提高學(xué)生應(yīng)對(duì)問題的能力.

例4 在函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與最值學(xué)習(xí)時(shí)選擇了這樣的例題:

問題1：已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-2[]3與x=1時(shí)都取得極值.若對(duì)x∈［-1,2］，不等式f(x)

問題2：已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-2[]3與x=1時(shí)都取得極值.若對(duì)x∈［-1,2］，不等式f(x)<2x+3恒成立，求c的取值范圍.

問題3：已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-2[]3與x=1時(shí)都取得極值.若對(duì)任意的x1,x2∈［-1,2］，求證:﹟f(x1)-猣(x2)|≤7[]2.

問題4：求證：玡瑇≥1+x.

通過題后反思，四個(gè)問題都可以化歸為求函數(shù)的最值.

例5

問題1：求函數(shù)y=玸in玿+玞os玿的最值.

問題2：a為何值時(shí)，方程玸in玿+玞os玿=a有解或無解？

問題3：a為何值時(shí)，集合{(x,y)|x+y=a}∩{(x,y)|x2+y2=1}≠В開

以上問題也可化歸為同一問題1.

4.例題有利于一題多思，培養(yǎng)思維策略，提高應(yīng)對(duì)能力

中學(xué)數(shù)學(xué)常用的思維策略有：化歸與轉(zhuǎn)化、分類討論、類比、聯(lián)想、數(shù)形結(jié)合等.通過例題的選擇注重思維策略的滲透，并適時(shí)進(jìn)行歸納、總結(jié)，或進(jìn)行討論與訓(xùn)練，這對(duì)提高學(xué)生的解題能力、拓寬思路十分有益.

例6 已知f(x)=1+x2，a,b為相異實(shí)數(shù)，求證：﹟f(a)-猣(b)|<|a-b|.

思1：平方去絕對(duì)值，作差，配方.

思2：作商，分子有理化，放縮.

思3：三角代換,令x=玹anα.

思4：構(gòu)造向量的模a=（1，x)，利用向量模的三角不等式.

思5：兩點(diǎn)間距離公式.

思6：y=1+x2表示雙曲線y2-x2=1的上支，f(a)-f(b)[]a-b

是雙曲線上兩點(diǎn)(a,f(a)),(b,f(b))連線斜率的絕對(duì)值，又雙曲線y2-x2=1的漸近線斜率為±1，于是得證.

思7：構(gòu)造函數(shù)y=1+x2，轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=1+x2的圖像上任意兩點(diǎn)連線的斜率的范圍，就是曲線上任一點(diǎn)切線斜率的范圍，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=1+x2的導(dǎo)數(shù)的值域.

綜上，例題的功效就決定了例題的選擇要有針對(duì)性、可行性、典型性、可研究性.

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