秦天明

最值問(wèn)題是中考的熱點(diǎn)問(wèn)題，也是難點(diǎn)問(wèn)題。受思維定式的影響，不少同學(xué)看到最大值或最小值問(wèn)題，就會(huì)想到利用配方法或公式法確定其最大值或最小值。殊不知，這類(lèi)問(wèn)題也有多種類(lèi)型。在解決這類(lèi)問(wèn)題的過(guò)程中，只有認(rèn)真分析、周密思考，具體問(wèn)題具體分析，才能減少不必要的失誤，從而提高正確率。

一、利用不等式（組）求最值

若方程x2+x+a=0無(wú)實(shí)數(shù)根，則a的最小的正整數(shù)值為 （）。

分析：首先根據(jù)方程根的情況得到⊿=1-4a＜0，求出a的取值范圍，再求最小正整數(shù)值。

二、通過(guò)建立函數(shù)模型用二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求最值

1. 某公司經(jīng)銷(xiāo)一種綠茶，成本為50元／㎏。市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在一段時(shí)間內(nèi)，銷(xiāo)售量w(㎏)隨銷(xiāo)售單價(jià)x(元／㎏)的變化而變化，具體關(guān)系式為w＝-2x+240。設(shè)這種綠茶在該段時(shí)間內(nèi)的銷(xiāo)售利潤(rùn)為y（元），解答下列問(wèn)題。

（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式。

（2）當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)x(元／㎏)取何值時(shí)，銷(xiāo)售利潤(rùn)為y的值最大。

分析：

（1）由總利潤(rùn)=每千克的利潤(rùn)×千克數(shù)可得， y=(x-50)w=(x-50)(-2x+240)=-2x+340x-12000.

(2)當(dāng)x=-=85（元）， y=2450，當(dāng) x=85 元時(shí)，銷(xiāo)售利潤(rùn)y的值最大。

2. 某次數(shù)學(xué)變換游戲中，把整數(shù)0，1，2，…，100稱(chēng)為“舊數(shù)”，游戲的變換規(guī)則是：將舊數(shù)先平方，再除以100，所得到的數(shù)稱(chēng)為“新數(shù)”，按照上述規(guī)則變換后減小得最多的舊數(shù)是（ ）。

分析：本題可以設(shè)舊數(shù)為x，則“新數(shù)”為，設(shè)按規(guī)則變換后減少的數(shù)值為y，則y=x-，當(dāng)x=-=50時(shí)， y最大值=50-=25.

三、通過(guò)自變量取值范圍結(jié)合函數(shù)的增減性求最值

某飲料廠為開(kāi)發(fā)新產(chǎn)品，用A、B兩種果汁原料各19kg、17.2kg，試制甲、乙兩種新型飲料共50kg，下面是試驗(yàn)相關(guān)數(shù)據(jù)。

設(shè)甲種飲料每千克成本為4元，乙種飲料每千克成本為3元，甲種飲料需配制x kg，這兩種飲料的成本總額為y元。

分析：根據(jù)題意可列出不等式組：

０＜0.5x+0.2(50-x)≤190＜0.3x+0.4(50-x)≤17.2

解為 28≤x≤30，y=4x+(50-x)3 ，y=x+150 （28≤x≤30）。因?yàn)閥隨x的增大而增大，要使y最小，則x最小。當(dāng)x=28千克時(shí)，甲、乙兩種飲料的成本總額最少。

四、根據(jù)“垂線(xiàn)段最短”求最值

已知：直線(xiàn)y=-x+9與x軸、y軸相交于C、D兩點(diǎn)，直線(xiàn)y=-x-4 與x軸、y軸相交于A、B兩點(diǎn)，F(xiàn)(4，0)是x軸上一點(diǎn)，過(guò)C點(diǎn)的直線(xiàn)l垂直于x軸，N是直線(xiàn)l上一點(diǎn)(N點(diǎn)與C點(diǎn)不重合)，連接AN．

（1）求A、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）若P是AN的中點(diǎn)，PF=5，猜想∠APF的度數(shù)，并說(shuō)明理由；

（3）連接NF，求△AFN外接圓面積的最小值，并求△AFN外接圓面積的最小時(shí)，圓心G的坐標(biāo)．

分析：

（1）易得A（-6,0），D（0，9）.

（2）易連接PC，易證△PCF∽△ACP，PC2=CF·CA=5×15=75=AP2，PF2=25，AF2=100，∴PA2+PF2=AF2， ∴∠APF=90°

（3）求△AFN外接圓面積的最小值。因?yàn)椤鰽FN中AF已確定，故圓心G在AF的垂直平分線(xiàn)上，又⊙G過(guò)N，所以GN為半徑。而G為x=-1上一點(diǎn)，故GN為點(diǎn)N到直線(xiàn)x=-1上某一點(diǎn)的距離。要使圓最小，必須GN最短，根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)上一點(diǎn)的線(xiàn)段中，垂線(xiàn)段最短可知GN=MC=10,S最小=100?仔 ，再求出圓心G的坐標(biāo)為（-1，5）、（-1，-5）.

五、用“兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短”求最值

1. 如圖1，已知矩形ABCD的邊長(zhǎng)AB=2，BC=3，點(diǎn)P是AD邊上的一動(dòng)點(diǎn)（P異于A、D），Q是BC邊上的任意一點(diǎn)，連AQ、DQ，過(guò)P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F.

（1）求證：△APE∽△ADQ；

（2）設(shè)AP的長(zhǎng)為x，試求△PEF的面積S△PEF關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)P在何處時(shí)，S△PEF取得最大值？最大值為多少？

（3）當(dāng)Q在何處時(shí)，△ADQ的周長(zhǎng)最??？并求出最小值。（須給出確定Q在何處的過(guò)程或方法，不必給出證明）

運(yùn)用這種方法一般可求兩條線(xiàn)段或三條線(xiàn)段之和最短或兩條線(xiàn)段之差最大等問(wèn)題。

2. 如圖2所示，圣誕老人的帽子是圓錐形，該圓錐的底面半徑為15cm，母線(xiàn)長(zhǎng)60cm，要用一根彩帶饒帽子一圈，結(jié)點(diǎn)在底邊上。作為帽子的裝飾，請(qǐng)問(wèn)這根帶子至少需要多長(zhǎng)（精確到0.1cm，不計(jì)接頭重合部分）？

立體圖形中的最短距離問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化為平面圖形，再根據(jù)“兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短”求最值。本題首先根據(jù)圓錐與其側(cè)面展開(kāi)圖的關(guān)系求出側(cè)面展開(kāi)圖——扇形的圓心角為90° ，再求弦長(zhǎng)BB'。

六、通過(guò)數(shù)形結(jié)合求最值

如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，已知四邊形ABCD是等腰梯形，A、B在x軸上，D在y軸上，AB∥CD，AD＝BC＝ ，AB＝5，CD＝3，拋物線(xiàn)y=-x2+bx+c 過(guò)A、B兩點(diǎn).

（1）求b、c；

（2）設(shè)M是x軸上方拋物線(xiàn)上的一動(dòng)點(diǎn)，它到x軸與y軸的距離之和為d，求d的最大值。

（1）易得b=3c=4

（2）設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為(a,-a2+3a+4) ,d=a-a2+3a+4. ①當(dāng)-1

七、利用“a+b≥2”求最值

閱讀理解：對(duì)于任意正實(shí)數(shù)a、b，∵(-)2 ≥0，∴a-2+b≥0，∴a+b≥2，只有當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立。

結(jié)論：在a+b≥2 （a、b均為正實(shí)數(shù)）中，若ab為定值p，則a+b≥2 ，只有當(dāng)a＝b時(shí)，a+b有最小值2．

根據(jù)上述內(nèi)容，回答下列問(wèn)題：若m＞0，只有當(dāng)m＝

（ ）時(shí)， m+有最小值（）。

探索應(yīng)用：如圖4，已知A(－3，0)，B(0，－4)，P為雙曲線(xiàn)y= （x＞0）上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)C，PD⊥y軸于點(diǎn)D．求四邊形ABCD面積的最小值，并說(shuō)明此時(shí)四邊形ABCD的形狀。

（1）m=1，最小值為2；

（2）設(shè)P(x,) ,則C(x,0),D(0,)，∴CA=x+3,DB=+4,∴S四邊形ABCD=CA×DB=(x+3)×(+4)，化簡(jiǎn)得：S=2(x+)+12.

∵ x＞0,＞0，∴x+≥2=6，只有當(dāng)x=，即x=3時(shí)，等號(hào)成立。

∴S≥2×6＋12＝24

∴S四邊形ABCD有最小值24.

此時(shí)，P(3,4),C(3,0),D(0,4),AB=BC=CD=DA=5，∴四邊形ABCD是菱形。

（泰興市南沙初中）