■安徽省六安二中 陶興紅

題目:已知橢圓C的方程為1,A是橢圓上的一點(diǎn),且A在第一象限內(nèi),過(guò)A且斜率等于-1 的直線(xiàn)與橢圓C交于另一點(diǎn)B,點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D。

(1)證明:直線(xiàn)BD的斜率為定值;

(2)求△ABD面積的最大值。

該題是圓錐曲線(xiàn)中的定值和最值問(wèn)題,圓錐曲線(xiàn)中的定值定點(diǎn)問(wèn)題是高考常考題型,也是近幾年高考考查圓錐曲線(xiàn)的重點(diǎn)和熱點(diǎn)。解析幾何中的定值問(wèn)題是指某些幾何量(線(xiàn)段的長(zhǎng)度、圖形的面積、角的度數(shù)、直線(xiàn)的斜率等)的大小或某些代數(shù)表達(dá)式的值等與題目中的參數(shù)無(wú)關(guān),不隨參數(shù)的變化而變化,而始終是一個(gè)確定的值。圓錐曲線(xiàn)中的最值問(wèn)題是高考中的一類(lèi)常見(jiàn)問(wèn)題,體現(xiàn)了圓錐曲線(xiàn)與三角、函數(shù)、不等式、方程、平面向量等代數(shù)知識(shí)之間的橫向聯(lián)系。通過(guò)探究,筆者發(fā)現(xiàn)該題的第(2)問(wèn)有下列兩種常見(jiàn)解法:

解析:(1)設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y=-x+m,A(x1,y1),B(x2,y2),則D(-x1,-y1)。聯(lián)立消去y,得3x2-4mx+2m2-4=0,由韋達(dá)定理得x1+x2=

因此直線(xiàn)BD的斜率為定值。

方法2:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則直線(xiàn)AB的方程為y-y1=-(x-x1),即x+y-x1-y1=0。

根據(jù)橢圓的參數(shù)方程,可設(shè)x1=2cosθ,

說(shuō)明:通過(guò)設(shè)動(dòng)直線(xiàn)AB的斜截式方程和動(dòng)點(diǎn)A,B,D的坐標(biāo),再聯(lián)立直線(xiàn)方程和橢圓方程,得到方程組,消元得到一元二次方程組,利用韋達(dá)定理,便知道動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系,最后利用兩點(diǎn)式斜率公式,將斜率式轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系,通過(guò)化簡(jiǎn)變形和消元,便得出動(dòng)直線(xiàn)BD的斜率,求面積最值就是選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)和求法將所求的面積表示為該參數(shù)的表達(dá)式,其中解法1 以動(dòng)直線(xiàn)的斜率為參數(shù),解法2以動(dòng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為參數(shù),將所求的面積先表示為該參數(shù)的表達(dá)式,再根據(jù)橢圓的參數(shù)方程,將面積表達(dá)式轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)式,最后求出此三角函數(shù)式的最值。

推廣1:已知橢圓C的方程為1(a＞b＞0),A是橢圓上的一點(diǎn),且A在第一象限內(nèi),過(guò)A且斜率等于k(k＜0)的直線(xiàn)與橢圓C交于另一點(diǎn)B,點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D。

(1)證明:直線(xiàn)BD的斜率為定值;

(2)求△ABD面積的最大值。

解析:(1)設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),則D(-x1,-y1)。

因此直線(xiàn)BD的斜率為定值。

點(diǎn)O到直線(xiàn)AB的距離則點(diǎn)D到直線(xiàn)AB的距離d2=2d1=

即△ABD面積的最大值為ab。

這里需要指出的是△ABD面積的最大值ab與直線(xiàn)AB的斜率k無(wú)關(guān)。

推廣2:已知圓O的方程為x2+y2=a2,A是圓上的一點(diǎn),且A在第一象限內(nèi),過(guò)A且斜率等于k(k＜0)的直線(xiàn)與圓O交于另一點(diǎn)B,點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D。

(1)證明:直線(xiàn)BD的斜率為定值;

(2)求△ABD面積的最大值。

推廣3:已知雙曲線(xiàn)C的方程為=1,A是雙曲線(xiàn)上的一點(diǎn),且A在第一象限內(nèi),過(guò)A且斜率等于k(k＜0)的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)C交于另一點(diǎn)B,點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D。

(1)證明:直線(xiàn)BD的斜率為定值;

(2)求△ABD面積的最大值。

推廣2和推廣3 留給讀者自行解決,方法類(lèi)似。

最后,在平時(shí)解題過(guò)程中我們要有探究意識(shí)、推廣意識(shí)和拓展意識(shí),比如,探究特殊的能否推廣為一般的,二維的能否推廣為三維的,兩個(gè)變量的問(wèn)題能否拓展為三個(gè)或三個(gè)以上變量的問(wèn)題,圓錐曲線(xiàn)是橢圓的問(wèn)題能否拓展為雙曲線(xiàn)的問(wèn)題或拋物線(xiàn)的問(wèn)題等。只要做到這一點(diǎn),我們就能收到做一道題,會(huì)一類(lèi)題,通一片題的效果。我們拿到一道題目后,會(huì)知道出題者的意圖,會(huì)發(fā)現(xiàn)出題者的陷阱。即便出題者粗心出現(xiàn)了一個(gè)錯(cuò)誤,我們也能夠很快地把它糾正出來(lái)。