劉德龍

摘要：應(yīng)用微分學(xué)的全微分、隱函數(shù)等相關(guān)理論，對(duì)經(jīng)濟(jì)比較靜態(tài)分析進(jìn)行了較為詳細(xì)的討論。分別利用對(duì)不同的經(jīng)濟(jì)理論模型的分析過(guò)程，展示了相關(guān)微分理論在非目標(biāo)均衡和目標(biāo)均衡比較靜態(tài)分析中的具體運(yùn)用。為將基本思想和基本方法移植到對(duì)其他模型分析的應(yīng)用提供了方便。

關(guān)鍵詞：微分相關(guān)理論；全微分；隱函數(shù)；比較靜態(tài)分析；非目標(biāo)靜態(tài)均衡；目標(biāo)靜態(tài)均衡

中圖分類號(hào)：F22文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)：1673-291X（2012）18-0004-07

微分理論在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用極為廣泛。在經(jīng)濟(jì)分析的眾多領(lǐng)域它都作為方便而重要的工具幫助我們解決實(shí)際問(wèn)題，詮釋和檢驗(yàn)經(jīng)濟(jì)模型。其在經(jīng)濟(jì)學(xué)比較靜態(tài)分析中的運(yùn)用即是明例。比較靜態(tài)分析是經(jīng)濟(jì)分析的一個(gè)重要區(qū)域。它涉及兩種與不同參數(shù)值和內(nèi)生變量相聯(lián)系的不同均衡狀態(tài)的比較，主要解決均衡移動(dòng)問(wèn)題。彌補(bǔ)由于調(diào)整較長(zhǎng)時(shí)間才能完成，若期間某些外生變量發(fā)生變化，在特定靜態(tài)分析框架中決定的靜態(tài)均衡在它最終達(dá)到之前就失去其實(shí)際意義的不足。本文將對(duì)微分相關(guān)理論在比較靜態(tài)分析中的應(yīng)用進(jìn)行粗淺的探討。

一、微分學(xué)的相關(guān)理論成果

（一）一元函數(shù)微分

設(shè)函數(shù)y=f（x），在數(shù)集X?哿R上有連續(xù)的n階導(dǎo)數(shù)，記為f?奐Cn。則

1. y=f（x）的微分記為dy，且dy=df=f′（x）dx dx≠0 （1）

其中，f′（x）=■■，Δy=f（x+Δx）-f（x）。

2. f′（x）的幾何意義是曲線y=f（x）在點(diǎn)（x，y）處切線的斜率。

3. y=f（x）可微?圳f′（x）存在?圳Δy=f′（x）Δx+o（Δx），其中■■■=0。

當(dāng)Δx很小時(shí)，Δy≈dy=f′（x）dx，dx≡ Δx（2）

4. 無(wú)論x是自變量或x=g（z）為z的可微函數(shù)，dy=f′（x）dx恒成立，此性質(zhì)稱為微分形式的不變性。

5. 若在區(qū)域（x1，x2）內(nèi)f′（x）>0，則y=f（x）為嚴(yán)格增函數(shù)，曲線上任意點(diǎn)的切線向右上方傾斜，可簡(jiǎn)記為■；若在區(qū)域（x1，x2）內(nèi)f′（x）<0，則y=f（x）為嚴(yán)格減函數(shù)，曲線上任意點(diǎn)的切線向右下方傾斜，可簡(jiǎn)記為■。

6. y=f（x）的n階導(dǎo)數(shù)（n∈N+），記為f（n ）（x）≡■。

其中f（n ）（x）≡■f（n-1 ）（x）（3）

（二）多元函數(shù)的微分

設(shè)y=（x1，x2，…，xn），（n∈N+）有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)。則：

1. dy=■■dxi （4）

稱（4）式為y=f（x1，x2，…，xn）的全微分，其中■為將xj（j≠i）視為常數(shù)時(shí)y對(duì)xi導(dǎo)數(shù)，稱為y對(duì)xi的一階偏導(dǎo)數(shù)。以下符號(hào)可通用■≡fi≡fxi≡■f。又稱■（■）=■為y的二階偏導(dǎo)數(shù)，記為fxixj≡fij。當(dāng)i=j時(shí)，稱為二階純偏導(dǎo)數(shù)，記為■，當(dāng)i≠j時(shí)，稱為二階混合偏導(dǎo)數(shù)。

2.當(dāng)xi=gi（x）且gi（x）可微時(shí)，有:

dy=■■dxi=■■■dx?圳■=■■■ （5）

稱■為y=f（x1，x2，…，xn）對(duì)x的全導(dǎo)數(shù)。

（三）隱函數(shù)的微分

1.n元函數(shù)集的雅可比行列式

設(shè)有具有n個(gè)變量的n個(gè)可微函數(shù)集：

yi=f i（x1，x2，…，xn）（i=1，2，…，n）（6）

其中f i表示第i個(gè)函數(shù)。則：

dyi=■dx1+■dx2+…+■dxn=■■dxj（7）

記■=y1y2■yn，J=■n×n，■=x1x2■xn則d■=dy1dy2■dyn，d■=dx1dx2■dxn

（7）式可表示成矩陣等式d■=Jd■ （8）

n階方陣J=■n×n≡■n×n≡f ijn×n（9）

稱為函數(shù)集（6）的雅可比矩陣。同時(shí)稱J的行列式|J|為函數(shù)集（6）的雅可比行列式。

2.隱函數(shù)定理

形如y=f（x1，x2，…，xn）的函數(shù)稱為顯函數(shù)；形如F（y；x1，x2，…，xn）=0的函數(shù)方程所確定的函數(shù)稱為隱函數(shù)。

定理1 （隱函數(shù)存在定理）：

設(shè)函數(shù)方程組Fi （x1，x2，…，xn；α1，α2，…，αm）=0 （i=1，2，…，n） （10）

其中n，m∈N+。若方程組（10）滿足：

（1）對(duì)所有的變量xj和變量αk，函數(shù)Fi均具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。j=1，2，…，nk=1，2，…，m。

（2）在某點(diǎn)（x10，x20，…，xn0；α10，α20，…，αm0）滿足方程組（10），且在該點(diǎn)的雅可比行列式■n×n≠0，則存在一個(gè)以（α10，α20，…，αm0）為心的鄰域∑，在此鄰域內(nèi)，變量x1，x2，…，xn是變量α1，α2，…，αm的函數(shù)。這些隱函數(shù)滿足：■ （11）

對(duì)鄰域∑中的每個(gè)m維數(shù)組α1，α2，…，αm，它們也滿足方程組（10）——因而在此鄰域中使得（10）成為一組恒等式。而且隱函數(shù)f 1，f 2，…，f n連續(xù)，且對(duì)所有的α1，α2，…，αm具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)[1]。

3. 矩陣■n×m的求解公式

在隱函數(shù)存在的前提下，對(duì)方程組（10）進(jìn)行全微分，得

■■dxj=-■■dαk■■dxj=-■■dαk …………………………■■dxj=-■■dαk（12）

顯然，（12）式等號(hào)左端可以寫成■n×nd■=Jd■ （13）

而（12）式等號(hào)右端可以寫成-■n×m d■=-Cd■（14）

其中C=■n×m d■=（dα1，dα2，…，dαm）T

再注意到

d■=dx1dx2■dxn=f 11 f 12 … f 1mf 21 f 22 … f2m……… …f n1 f n2 … f nmdα1dα2■dαm=Bd■ （15）

其中f jk=■，B=f ikn×m。 于是有JBd■=-Cd■（16）

由隱函數(shù)存在定理的假設(shè)，雅可比行列式|J|≠0。故知雅可比矩陣J為可逆矩陣。對(duì)式（16）左乘J-1得：

Bd■=-J-1Cd■

由d■≠0的任意性，可知B=-J-1C

即■n×m =f ikn×m=-J-1■n×m [2]（17）

是我們所要尋求的隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)用矩陣表示的公式。

特別，當(dāng)n=1時(shí)，J=■。若■≠0，則：

■=-■■■■■（18）

當(dāng)n=1且m=1時(shí)，有■=-■ （19）

二、在非目標(biāo)均衡比較靜態(tài)分析中的應(yīng)用

非目標(biāo)均衡是指模型中的某些相反力量——譬如市場(chǎng)模型中的供給與需求以及國(guó)民收入模型中的注入與漏出——恰好處于彼此相等、相互平衡的狀態(tài)，因而排除了進(jìn)一步變化的趨勢(shì)。這種均衡的實(shí)現(xiàn)是這些力量非人為平衡的結(jié)果，不需要有關(guān)參與人有意識(shí)地努力以實(shí)現(xiàn)特定目標(biāo)。下面我們通過(guò)對(duì)較典型非目標(biāo)均衡模型的比較分析，展示微分相關(guān)理論的具體應(yīng)用。

（一）市場(chǎng)模型的靜態(tài)比較分析

1.線性模型的分析

考察單一商品市場(chǎng)中的線性供需均衡模型。該模型由以下三個(gè)方程描述：

需求方程Qd=α-βP（α>0，β>0）

供給方程QS=-γ+δP （γ>0，δ>0） （1）

均衡方程Qd=QS（市場(chǎng)出清）

由均衡方程Qd=QS=Q，得到方程組

F1（Q，P；α，β，γ，δ）=Q-α+βP=0F2（Q，P；α，β，γ，δ）=Q+γ-δP=0（2）

其中Q，P為內(nèi)生變量。這是一個(gè)以Q，P為未知量的線性方程組：

Q+βP=αQ-δP=-γ?圯1 β1 -δ QP=α-γ

|J|=F1Q F1PF2Q F2P=1 β1 -δ=-（β+δ）<0

|J|=1 β1 -δ J-1=■J*=■-δ -β-1 1

?圯P*Q*=■-δ -β-1 1α-γ=■βγ-αδ-（α+γ）

?圯Q*=■（αδ-βγ>0才有經(jīng)濟(jì)意義）P*=■

（Q*，P*）為平衡點(diǎn)，這里Q*，P*為α，β，γ，δ的顯性函數(shù)，可以直接求得比較靜態(tài)的八個(gè)偏導(dǎo)數(shù)：

以上偏導(dǎo)數(shù)大于零，指明兩者正相關(guān)；偏導(dǎo)數(shù)小于零，則告訴我們兩者負(fù)相關(guān)。

現(xiàn)在運(yùn)用隱函數(shù)定理解這個(gè)n=2，m=4的隱函數(shù)方程組的比較靜態(tài)導(dǎo)數(shù)矩陣。F1，F(xiàn)2有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)顯然。在均衡分析中一般總是假設(shè)初始均衡點(diǎn)存在（否則無(wú)比較意義）。因此，驗(yàn)證隱函數(shù)存在條件的主要工作是驗(yàn)證雅可比行列式|J|≠0。

前面已經(jīng)計(jì)算過(guò)|J|=-（β+δ）<0，而且知道J-1=■-δ -β-1 1，現(xiàn)對(duì)方程組（2）在初始均衡點(diǎn)（Q*，P*）進(jìn)行全微分，得到：

dF1=F1Q*dQ*+F1P*dP*=-（F1αdα+F1βdβ+F1γdγ+F1δdδ）dF2=F2Q*dQ*+F2P*dP*=-（F2αdα+F2βdβ+F2γdγ+F2δdδ）

?圯1 β1 -δdQ*dP*=--1 P* 0 0 00 1 P*dαdβdγdδ?圯JdQ*dP*=-Cdαdβdγdδ，

關(guān)于所求到的偏導(dǎo)數(shù)矩陣元素的符號(hào)可用如下方法表示：

現(xiàn)在得到的結(jié)果與前面用顯函數(shù)直接求得的完全一致。但需要指出：首先，此方法即使在Q*，P*無(wú)法解出的情況下，仍可由P*>0判定各偏導(dǎo)數(shù)的符號(hào)；其次，當(dāng)外生變量較多時(shí)，運(yùn)用隱函數(shù)定理可以方便地利用矩陣運(yùn)算得出以比較靜態(tài)導(dǎo)數(shù)為元素的矩陣，從而使運(yùn)算變得有效率且結(jié)果表達(dá)相對(duì)簡(jiǎn)潔。

2.需求與收入相關(guān)的模型分析

繼續(xù)考察單一商品市場(chǎng)，更接近真實(shí)世界的情形是：需求量Qd不僅是價(jià)格P，而且是外生確定的收入（記為Y0）的函數(shù)，但供給量QS則僅是價(jià)格的函數(shù)；另外，行為方程Qd與QS也未必一定是線性函數(shù)。如果這些函數(shù)并未以具體形式給出，則模型可以用下列方程描述：

需求方程Qd=D（P，Y0）（ ■<0；■>0）

供給方程QS=S（P）（■>0）

平衡方程Qd=QS （3）

假設(shè)函數(shù)D和S均擁有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)；而且，為了保證其經(jīng)濟(jì)意義，對(duì)導(dǎo)數(shù)符號(hào)施加明確的限制。如■>0——收入增加引起需求增加（研究的商品是正常商品）。為觀察分析外生變量Y0的變化對(duì)內(nèi)生變量Q，P在初始均衡點(diǎn)（Q*，P*）的影響，需要求解偏導(dǎo)數(shù)■和■?，F(xiàn)在，利用隱函數(shù)方程組來(lái)解決所面臨的問(wèn)題：

首先，令方程組（3）中的Qd=QS=Q*，并重新排列，可將模型表示成方程組：

F1（Q*，P*；Y0）=D（P*；Y0）-Q*=0F2（Q*，P*；Y0）=S（P*）-Q*=0 （4）

其雅可比行列式：

|J|=F1Q* F1P*F2Q* F2P*=-1 ■-1 ■=-■+■<0

存在隱函數(shù)Q*=Q*（Y0）P*=P*（Y0）（5）

這是方程組（10）當(dāng)n=2，m=1的情況。經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單運(yùn)算得到

雅可比矩陣J=-1 ■-1 ■ J的伴隨矩陣J*=■-■-1 -1

雅可比矩陣的逆矩陣J-1=■J*=■■-■1 -1

欲求偏導(dǎo)數(shù)矩陣B=■■≡■■ （因?yàn)閙=1的緣故）

隱函數(shù)方程組對(duì)F1，F(xiàn)2外生變量組的偏導(dǎo)數(shù)矩陣：C=F1Y0F2Y0=■ 0

由計(jì)算公式（17）

矩陣B的元素符號(hào)簡(jiǎn)單表示為：Q*=Q* ■ P*=P* ■。這里的結(jié)果告訴我們，收入的提高（下降）將會(huì)導(dǎo)致正常商品市場(chǎng)出清的商品數(shù)量和價(jià)格提高（下降）。

（二）國(guó)民收入模型（IS—LM）的靜態(tài)比較分析

隱函數(shù)定理的典型應(yīng)用是在一般形式的IS—LM模型中。這一宏觀經(jīng)濟(jì)模型中的均衡由同時(shí)導(dǎo)致商品市場(chǎng)和貨幣市場(chǎng)均衡的收入水平和利率來(lái)刻畫。下面先對(duì)其封閉的一般模型比較靜態(tài)分析進(jìn)行討論。

1. 商品市場(chǎng)的IS曲線

（1） 商品市場(chǎng)模型的方程描述

均衡方程Y=C+I+G（6）

消費(fèi)函數(shù)C=C（Y-T）；政府支出外生G=G0；

投資函數(shù)I=I（r） ■<0；

稅收函數(shù)T=T（Y），■∈（0，1），因?yàn)門′（Y）為邊際稅率；

可支配收入函數(shù)Yd=Y-T?圯C=C（Yd），■=C′（Yd）∈（0，1），

因?yàn)椤?C′（Yd）（Yd）′=C′（Yd），C′（Yd）為消費(fèi)者傾向。

將函數(shù)C，I，T分別代入均衡方程（6），得到

Y=C[Y-T（Y）]+I（r）+G0（IS曲線） （7）

方程（7）是關(guān)于兩個(gè)內(nèi)生變量Y和r的方程。此方程給出了所有能導(dǎo)致商品市場(chǎng)均衡的Y與r的組合，從而隱含地定義了IS曲線。

（2）IS曲線的斜率（將Y視為橫軸，r視為縱軸）

IS曲線本質(zhì)上是一個(gè)恒等式，將其重寫為：

Y-C（Yd）-I（r）-G0≡0（8）

將式（8）對(duì)Y和r求全微分，得

dY-C′（Yd）[1-T′（Y）dY-I′（r）dr=0]，其中dYd=d（Y-T）=[1-T′（Y）]dY。

重新排列含有dY和dr的各項(xiàng)，得到IS曲線斜率（■）的表達(dá)式

■=■（9）

由C′（Yd）∈（0，1），[1-T′（Y）]∈（0，1）?圯1-C′（Yd）[1-T′（Y）]∈（0，1），I′（r）<0?圯■<0，即IS曲線向右下方傾斜。

2. 貨幣市場(chǎng)的LM曲線

（1）貨幣市場(chǎng)模型的方程描述

貨幣需求函數(shù)Md=L（Y，r），LY=■>0，Lr=■<0

貨幣供給函數(shù)MS=MS0，貨幣供給由中央貨幣當(dāng)局外生地決定。

均衡方程Md=MS（10）

將前兩個(gè)方程代入均衡方程（10），得到隱含定義的LM曲線的下面表達(dá)式，它在本質(zhì)上也是一個(gè)恒等式

L（Y，r）≡MS0 （11）

（2）LM曲線的斜率

將方程（11）重寫為L(zhǎng)（Y，r）-MS0≡0 （12）

將方程（12）對(duì)Y和r進(jìn)行全微分，得

LYdY+Lrdr=0?圯■=-■ （13）

由LY>0且Lr<0，知道■>0，即LM曲線向右上方傾斜。

3. IS—LM模型的比較靜態(tài)分析

由方程（8）和（12）得到如下方程組

F1（Y，r；G0，MS0）=Y-C（Yd）-I（r）-G0=0F2（Y，r；G0，MS0）=L（Y，r）-MS0=0 （14）

為了保證隱函數(shù)的存在，檢驗(yàn)在初始均衡點(diǎn)（Y*，r*）處的雅可比行列式

|J|=F1Y* F1r*F2Y* F2r*=1-C′（Yd）[1-T′（Y*）] -I′（r*） LY* Lr*

={1-C′（Yd）[1-T′（Y*）]}Lr*+LY*I′（r*）

由于1-C′（Yd）[1-T′（Y*）]∈（0，1），Lr*<0，LY*>0,I′（r*）<0，

可知|J|<0

故存在隱函數(shù)Y*=Y*（G0，MS0）r*=r*（G0，MS0） （15）

且Y*，r*具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)。

這是隱函數(shù)方程組（10）當(dāng)n=m=2的情形。經(jīng)過(guò)運(yùn)算可以得到：

J-1=■Lr* I′（r*）-LY*1-C′（Yd）[1-T′（Y*）]，B=■■■■

C=F1G0 F1■F2G0 F2■-1 00-1

又由計(jì)算公式（17） ，B=-J-1C立即得到：

B=■■■■=■Lr* I′（r*）-LY*1-C′（Yd）[1-T′（Y*）]

符號(hào)指示為：■■

由符號(hào)指示可以看出，G0與Y正相關(guān)，MS0與Y也正相關(guān)，說(shuō)明加大政府支出或采取寬松貨幣政策是刺激經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的有效措施。而G0與r正相關(guān)，MS0與r負(fù)相關(guān)，可以解釋為增加政府開(kāi)支會(huì)提高利率，進(jìn)而壓制投資、抑制經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)，抵消直接刺激經(jīng)濟(jì)的積極影響；寬松的貨幣政策則會(huì)降低利率，拉動(dòng)投資，促進(jìn)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)。這正是我們要追尋的理論結(jié)果。

（三）開(kāi)放型模型的比較靜態(tài)分析

對(duì)一個(gè)經(jīng)濟(jì)模型所要求的特性之一是穩(wěn)健性，即這個(gè)模型能夠在不同背景下的應(yīng)用程度。現(xiàn)將（二）中的IS—LM模型擴(kuò)展到開(kāi)放的背景下，它包含外國(guó)部門的情況。

1. 外國(guó)部門的方程描述

出口X=X（E），X′（E）>0，E為匯率（用外幣的本國(guó)價(jià)格來(lái)測(cè)量）

進(jìn)口M=M（Y，E），MY>0，ME<0

資本凈流動(dòng)K=K（r，rw），Kr>0，Krw<0。r為本國(guó)利率，rw為世界利率。

國(guó)際收支平衡[X（E）-M（Y，E）]+K（r，rw）=0（16）

2. 開(kāi)放經(jīng)濟(jì)均衡模型方程組

在開(kāi)放經(jīng)濟(jì)模型中，均衡有三個(gè)條件：總收入等于總支出；貨幣需求等于貨幣供給；國(guó)際收支余額等于零。在IS—LM模型中加上外國(guó)部分得到下面由三個(gè)方程構(gòu)成的方程組：

F1（Y，r，E；G0，MS0，rw）=Y-C（Yd）-I（r）-G0-X（E）+M（Y，E）=0F2（Y，r，E；G0，MS0，rw）=L（Y，r）-MS0=0F3（Y，r，E；G0，MS0，rw）=X（E）-M（Y，E）+K（r，rw）=0（17）

由此均衡方程組得到在初始均衡點(diǎn)（Y*，r*，E*）處的雅可比行列式（為了簡(jiǎn)潔，下面省略“*”號(hào)，但應(yīng)記住以下計(jì)算均在該點(diǎn)計(jì)值，以免導(dǎo)致混淆）：

|J|=F1Y F1r F1EF2Y F2r F2EF3Y F3r F3E=1-C′（Yd）[1-T′（Y）]+MY -I′（r）ME-X′（E） LYLr 0-MY KrX′（E）-ME

按第三列拉普拉斯展開(kāi)，則：

|J|=[ME-X′（E）]LY Lr-MYKr+[X′（E）-ME]1-C′（Yd）[1-T′（Y）]+MY -I′Lr（r）LY

=[ME-X′（E）]（LYKr+LrMY-LYI′（r）-Lr{1-C′（Yd）[1-T′（Y）]}-LrMY）

=[ME-X′（E）]{（LYKr-LYI′（r）-Lr[1-C′（1-T′）]}<0

存在隱函數(shù)Y*=Y*（G0，MS0，rw），r*=r*（G0，MS0，rw），E*=E*（G0，MS0，rw）

且Y*，r*，E*具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)。

此例為隱函數(shù)方程組（10）n=3，m=3的情況。經(jīng)過(guò)整理計(jì)算得到：

雅可比矩陣J=1-C′（Yd）[1-T′（Y）]+MY -I′（r） ME-X′（E） LY Lr0 -MYKrX′（E）-ME

雅可比伴隨矩陣J*（為簡(jiǎn)潔計(jì)，將{1-C′（Yd）[1-T′（Y）]}>0記為α；X′（E）-MY>0記為β;{I′（r）-Kr}<0記為γ）為：

J*=Lrβγβ Lrβ-LYβ αβ-LYβLYKr+LrMY-Krα+MYγ Lrα+LrMY+LYI′（r）

雅可比矩陣的逆矩陣為：J-1=■J*

要求取的偏導(dǎo)數(shù)矩陣為：B=Y*G0Y*■Y*rwr*G0 r*■ r*rwE*G0E*■E*rw

外生變量偏導(dǎo)數(shù)矩陣為：C=F1G0F1■F1rwF2G0F2■F2rwF3G0F3■F3rw=-1 000 - 1 000 ■

B=-J-1C=■Lrββγ -■Lrβ-LYβαβ■LYβKrLY+LrMY-Krα+MYγ-■[Lrα+LrMY+LYI′（r）]

經(jīng)過(guò)分析易知B的各元素符號(hào)用矩陣示意如下：++++-+?++，其中問(wèn)號(hào)表示符號(hào)不確定。

現(xiàn)僅對(duì)第三列的符號(hào)作如下解釋：直觀上，世界利率的上升能夠增加資本的外流，使本國(guó)貨幣貶值。這反過(guò)來(lái)導(dǎo)致凈出口和收入增加。國(guó)內(nèi)收入的增加會(huì)增加貨幣的需求，對(duì)于國(guó)內(nèi)利率產(chǎn)生上升壓力。

三、在目標(biāo)均衡模型比較靜態(tài)分析中的應(yīng)用

所謂目標(biāo)均衡是指給定經(jīng)濟(jì)單位，而且這些單位主動(dòng)謀求均衡的實(shí)現(xiàn)。擇優(yōu)過(guò)程就是尋求目標(biāo)均衡的過(guò)程。最優(yōu)化作為一種特殊類型的比較靜態(tài)分析，自然也可以用于研究比較靜態(tài)方面的問(wèn)題。其基本思想仍然是求出任意參數(shù)（模型中的外生變量）的變化將如何影響模型的均衡狀態(tài)。只不過(guò)在這里模型的均衡狀態(tài)是指選擇變量的最優(yōu)值（以及目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值）。下面以一個(gè)在完全競(jìng)爭(zhēng)環(huán)境中的單產(chǎn)品廠商行為模型為例，說(shuō)明微分理論如何幫助我們?cè)谀繕?biāo)均衡時(shí)進(jìn)行比較靜態(tài)分析。

1.一般模型的分析

假設(shè)一個(gè)廠商運(yùn)用投入x1和x2生產(chǎn)單一產(chǎn)品Q，投入的價(jià)格p1，p2及其產(chǎn)出品的價(jià)格p不能為該廠商所控制?？梢詷?gòu)建如下模型：

生產(chǎn)函數(shù)Q=Q（x1，x2） Q（x1，x2）?奐C2，Q1>0，Q2>0

?圯總收益函數(shù)R=pQ（x1，x2）

總成本函數(shù)C=p1x1+p2x2

?圯利潤(rùn)函數(shù)π=R-C=pQ（x1，x2）-p1x1-p2x2（1）

其中，x1，x2為選擇變量；p，p1，p2為外生變量。

均衡條件π1≡■=0，π2≡■=0（擇優(yōu)一階必要條件）

即π1=pQ1-p1=0π2=pQ2-p2=0（2）

假定最大化的二階充分條件滿足（否則無(wú)從比較）。即海賽矩陣：

H=π11π12π21π22=π11π12π12π22=pQ11Q12Q12Q22

為負(fù)定矩陣。滿足：一階順序主子式|H1|=π11<0；二階順序主子式|H2|=|H|=π11π12π12π22=pQ11pQ12pQ12pQ22=p2（Q11Q22-Q212）>0

?圳Q11Q22-Q212>0

因?yàn)镼（x1，x2）?奐C2，所以π（x1，x2）?奐C2?圯Q21=Q12?圳π21=π12;另外，上面最后結(jié)果中暗含Q22<0。

令F1（x1，x2，p，p1，p2）=pQ1-p1=0F2（x1，x2，p，p1，p2）=pQ2-p2=0（3）

其雅可比行列式為

|J|=F1x1 F1x2F2x1 F2x2=p2Q11 Q12Q12 Q11=|H|>0 （4）

故存在隱函數(shù)x*1=x*1（x1，x2，p，p1，p2）x*2=x*2（x1，x2，p，p1，p2），且函數(shù)x*1，x*2具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。

方程組（3）是方程組（10）當(dāng)n=2，m=3的情況。在均衡點(diǎn)（x*1，x*2）有：

J=pQ11Q12Q12Q22?圯j-1=■J*=■Q22-Q12-Q12Q11

B=■■■■■■，C=F1pF1p1F1p2F2pF2p1F2p2=Q1-1 0Q20-1

由B=-J-1C

?圯■■■■■■=-■Q22-Q12-Q12Q11Q1-1 0Q20-1

=-■Q2Q12-Q1Q22Q22 -Q12 Q1Q12-Q2Q11-Q12Q11

顯然，B的元素的符號(hào)可以根據(jù)Q12的符號(hào)確定，即：

Q12>0，B的元素符號(hào)矩陣示意為：+--+-- （5）

Q12<0，B的元素符號(hào)矩陣示意為：?-+?+-

2. 一個(gè)具體函數(shù)的分析

為使上述模型的分析結(jié)論更直觀，下面對(duì)一個(gè)生產(chǎn)函數(shù)Q（x1，x2）為具體形式的例子

進(jìn)行分析。假定廠商具有如下的生產(chǎn)函數(shù)：

Q（x1，x2）=xα1xβ2（α>0，β>0；α+β<1）（6）

則利潤(rùn)函數(shù)（1）的具體形式為：

π=pxα1xβ2-p1x1-p2x2 （7）

為求取π的最大值點(diǎn)，需要依次計(jì)算

（1） 一階必要條件（也是比較靜態(tài)分析的均衡條件）

計(jì)算利潤(rùn)函數(shù)π的一階偏導(dǎo)數(shù)，并令其為零（隱含經(jīng)濟(jì)學(xué)原理“邊際收益等于邊際成本”）。

得π1≡■=pαxα-11xβ2-p1=0π2≡■=pβxα1xβ-12-p2=0（8）

（2） 二階充分條件

計(jì)算利潤(rùn)函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，構(gòu)建海賽矩陣H。并計(jì)算各階順序主子式，檢驗(yàn)海賽矩陣是否負(fù)定。

π11≡■=pα（α-1）xα-21xβ2<0π12≡■=pαβxα-11xβ-12>0

π21≡■=pαβxα-11xβ-12>0π22≡■=pβ（β-1）xα1xβ-22<0

顯然π12＝π21

得到海賽矩陣H=π11π12π21π22=p（α-1）xα-21xβ2 αβxα-11xβ-12αβxα-11xβ-12 β（β-1）xα1xβ-22

（9）

一階順序主子式|H1|=π11<0

二階順序主子式|H2|=|H|=p（α-1）xα-21xβ2 αβxα-11xβ-12αβxα-11xβ-12 β（β-1）xα1xβ-22=

p2αβ（α-1）xα-21xβ2 βxα-11xβ-12αxα-11xβ-12（β-1）xα1xβ-22=p2αβ[（α-1）（β-1）x2α-21x2β-22-αβx2α-21x2β-22]=p2αβx2α-21x2β-22[1-（α+β）]>0 （因?yàn)棣?β<1）

因此，H為負(fù)定矩陣，由均衡方程組（8）所確定的（x*1，x*2）的確為利潤(rùn)函數(shù)π的最大值點(diǎn)。

令方程組F1（x1，x2，p，p1，p2）=[≡π1]=pαxα-11xβ2-p1=0F2（x1，x2，p，p1，p2）=[≡π2]=pβxα1 xβ-12-p2=0（10）

考察其雅可比行列式：

|J|=F1x1 F1x2F2x1 F2x2=π11π12π21π22=|H|>0

存在連續(xù)可微隱函數(shù)x*1=x*1（p，p1，p2）x*2=x*2（p，p1，p2）

這是方程組（10）中n=2，m=3的情形。由于已知Q12=Q21>0，可以直接使用（5）的結(jié)論。得到所求矩陣B的元素符號(hào)表示矩陣+--+--。

四、結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，可以看到微分理論在非目標(biāo)均衡和目標(biāo)均衡模型比較靜態(tài)分析中其中不可替代的重要作用。當(dāng)然，微分理論在比較靜態(tài)分析中的應(yīng)用遠(yuǎn)不限于本文中所涉及的模型。但是，在這些模型分析中所運(yùn)用的基本思路和基本方法卻有一定的通用性，移植應(yīng)用到其他模型上并不困難。對(duì)將微分理論運(yùn)用到更多的經(jīng)濟(jì)均衡模型的比較靜態(tài)分析中有積極意義。相信微分學(xué)的理論之花會(huì)在經(jīng)濟(jì)比較靜態(tài)分析應(yīng)用的沃土上結(jié)出更多的碩果。

參考文獻(xiàn)：

[1][前蘇聯(lián)]格·馬·菲赫金格爾茨.數(shù)學(xué)分析原理:第2卷(第一分冊(cè))[M].丁壽田，譯.北京:人民教育出版社，1962:191.

[2][美]安吉爾·德·拉·弗恩特.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)方法與模型[M].朱保華，錢曉明，譯.上海:上海財(cái)經(jīng)大學(xué)出版社，2003:182.

[責(zé)任編輯 劉嬌嬌]