曹雅玲 曾怡嘉

【摘要】本文主要是分析國小學(xué)童四邊形學(xué)習(xí)的迷思概念，作者針對(duì)國小學(xué)童在學(xué)習(xí)四邊形概念發(fā)展過程中易產(chǎn)生迷思概念加以討論.

【關(guān)鍵詞】四邊形；Van Hiele幾何思考理論

美國數(shù)學(xué)教師協(xié)會(huì)（NCTM，1991）提出，幾何乃研究空間中的形狀和空間關(guān)系，幾何可幫助人們用有條理的方式表現(xiàn)和描述生活的世界.幾何是一門探討空間關(guān)系與邏輯推理的數(shù)學(xué)，幾何概念與表征是數(shù)學(xué)與真實(shí)世界溝通的重要方式，且與數(shù)學(xué)其他領(lǐng)域緊密連接.幾何是提供我們?nèi)绾稳リU釋與反映外在物理環(huán)境的一種方法，并且可作為學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)和科學(xué)題材的工具，加強(qiáng)幾何的空間思考，有助于高層次的數(shù)學(xué)創(chuàng)造思考.美國數(shù)學(xué)教師協(xié)會(huì)（NCTM， 2000）指出數(shù)學(xué)教育的主要目標(biāo)是要發(fā)展兒童的數(shù)學(xué)推理及思考能力，使其能夠應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能來解決在實(shí)際的生活中所遭遇的問題情境.而其中幾何教學(xué)的目的是要協(xié)助學(xué)生學(xué)習(xí)了解以及運(yùn)用幾何的性質(zhì)和關(guān)系.我國國小學(xué)童在學(xué)習(xí)的過程中，可透過荷蘭數(shù)學(xué)教育家Van Hiele （1957）夫婦幾何思考的模式發(fā)展的五個(gè)層次來了解兒童的幾何概念發(fā)展階段.每一個(gè)層次都有其發(fā)展的特征，分別為：視覺期（Visualization）、分析期（Analysis）、關(guān)系期（Relation）或非形式演繹期（Informal Deduction）、形式演繹期（Formal Deduction）、嚴(yán)密性（Rigor）或公理性（Axiomatic）.Van Hiele （1986）也積極主張學(xué)習(xí)者思考層次的提升是經(jīng)由教導(dǎo)，而非經(jīng)由個(gè)體年齡的成長而發(fā)展，因此幾何概念的教學(xué)活動(dòng)扮演著相當(dāng)重要的角色.

國小階段學(xué)童的幾何思考層次僅發(fā)展到Van Hiele夫婦所提出的前二或前三層次.從Van Hiele幾何思考理論觀點(diǎn)，層次一的重點(diǎn)在于以視覺認(rèn)識(shí)圖形，層次二重點(diǎn)在分析圖形的構(gòu)成要素與其間關(guān)系，層次三的重點(diǎn)在于圖形的定義及其間關(guān)系的推理，前三層次是屬國小、國中的學(xué)習(xí)內(nèi)容.層次四則是幾何概念的演繹推理，層次五的重點(diǎn)在了解抽象推理幾何，此兩個(gè)層次應(yīng)屬于高中、大學(xué)以上或?qū)＜业膶W(xué)習(xí)內(nèi)容.

根據(jù)臺(tái)灣九年一貫綱要數(shù)學(xué)領(lǐng)域“圖形與空間”的主題能力指針，其第一階段所要達(dá)成的能力大致與Van Hiele的層次一相符合，教材的設(shè)計(jì)以觀察、操作具體物來認(rèn)識(shí)形狀；第二階段所要達(dá)成的能力與Van Hiele的層次二也大致相符合，強(qiáng)調(diào)透過實(shí)測和制作的活動(dòng)探討各種幾何圖形的構(gòu)成要素及其關(guān)系；第三和第四階段所要達(dá)成的能力與Van Hiele的層次三亦極相近，教材強(qiáng)調(diào)透過操作與觀察，進(jìn)一步探討圖形間的包含關(guān)系，而且能做應(yīng)用.四、五年級(jí)學(xué)童所學(xué)之四邊形概念與Van Hiele幾何概念發(fā)展層次相互對(duì)照，如表1表示.

本文主要是討論國小學(xué)童四邊形學(xué)習(xí)的迷思概念，作者歸納出學(xué)童對(duì)四邊形概念學(xué)習(xí)是先經(jīng)由視覺來辨認(rèn)圖形，慢慢才了解圖形的組成要素及性質(zhì)，基于此理由作者將本文分為圖形辨認(rèn)、形體組成要素、圖形分類及基本性質(zhì)四部分分別探討如下：

圖形辨認(rèn)

在圖形辨認(rèn)方面，幾何能力較低的學(xué)童大部分是以圖形整體輪廓的觀察為主，偏向視覺的觀點(diǎn)來判別圖形；幾何能力較高之學(xué)童則是偏向型體組成要素的觀點(diǎn)來判別圖形.圖形辨認(rèn)中學(xué)童較常出現(xiàn)的迷思概念，從文獻(xiàn)中匯整如表2.

作者發(fā)現(xiàn)許多學(xué)者的研究中顯示，在形體組成要素方面，邊和角的性質(zhì)上發(fā)現(xiàn)：四年級(jí)至六年級(jí)對(duì)于四邊形的基本性質(zhì)“四個(gè)邊都一樣長”“兩組對(duì)邊互相平行”“兩組對(duì)邊相等”的性質(zhì)仍不太清楚，顯示對(duì)于菱形的性質(zhì)不太了解.此外四年級(jí)至六年級(jí)對(duì)于“兩組對(duì)邊互相平行的四邊形”之通過率大部分都優(yōu)于“兩組對(duì)邊相等的四邊形”之通過率，學(xué)童可能對(duì)于“兩組對(duì)邊相等”之意義不了解.形體組成要素中學(xué)童較常出現(xiàn)的迷思概念，從文獻(xiàn)中匯整如表3.

圖形分類

許多學(xué)者的研究中顯示，在圖形分類方面，低年級(jí)的學(xué)童會(huì)因?yàn)橐曈X的影響，而較能注意到圖形部分的特征.如張英杰（2001）兒童幾何形體概念之初步探究中發(fā)現(xiàn)，兒童在做基本圖形分類時(shí)，由于只是受到兩個(gè)圖形部分特征是否相同之影響而錯(cuò)誤分類；或是單憑兩個(gè)圖形的大小在感覺上之異同而分類.沈佩芳（2002）國小高年級(jí)學(xué)童平面幾何圖形概念之探究中發(fā)現(xiàn)，學(xué)童在做圖形卡分類時(shí)，會(huì)優(yōu)先以“有無直角”為分類的準(zhǔn)則.

基本性質(zhì)

許多學(xué)者的研究中顯示，在基本性質(zhì)方面，國小高年級(jí)學(xué)童平面幾何圖形概念之探究中發(fā)現(xiàn)，有接近四分之一的學(xué)童不認(rèn)為“兩雙相對(duì)的邊互相平行”是正方形、長方形、菱形、平行四邊形的基本性質(zhì)，也有學(xué)童誤認(rèn)“兩雙相對(duì)的邊互相平行”是箏形、梯形的基本性質(zhì).在箏形上面，會(huì)認(rèn)為箏形就是菱形，所以四個(gè)邊一樣長，且兩組對(duì)邊等長互相平行，對(duì)于箏形“有一條對(duì)角線對(duì)折后能使兩邊迭合，而另一條對(duì)角線對(duì)折后不能使兩邊迭合”的基本性質(zhì)并不清楚.四邊形基本性質(zhì)中學(xué)童較常出現(xiàn)的迷思概念，從文獻(xiàn)中匯整如表4.

教師在四邊形教學(xué)時(shí)應(yīng)該呈現(xiàn)多元的圖例，如特例、非例，都應(yīng)該在教學(xué)中呈現(xiàn)，如此學(xué)生才不會(huì)受直觀的影響.有些老師在教學(xué)時(shí)可能只舉一些圖例來教學(xué)生辨認(rèn)圖形，例如：正方形都是正正的，平行四邊形都是水平擺設(shè)的，都是有水平垂直的邊等，而未舉出不同方位或不同邊長、角度的圖，日后學(xué)生心中可能只有一些特定圖形的心像，而容易受限制于某個(gè)圖形一定是什么形狀，這些圖例可能就會(huì)變成一種“原型”（prototype），所以當(dāng)圖形大小、方位或邊長比例改變時(shí)，就無法辨識(shí)圖形.

所以教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)包含各種圖例，多提供一些不同方位、邊長或大小等的例子，不要局限于狹隘的圖例，使得兒童只會(huì)辨識(shí)典型的范例.建議老師在四邊形教學(xué)時(shí)，應(yīng)多讓學(xué)童透過具體的操作活動(dòng)去學(xué)習(xí)，如折紙、在釘狀方格紙?jiān)靾D等，去驗(yàn)證各種圖形基本性質(zhì).

教師在教學(xué)時(shí)，應(yīng)多聆聽學(xué)生對(duì)圖形的想法和所提出的例子，從學(xué)生的回答中可知道學(xué)生對(duì)于哪些圖形感到困惑，或是已有哪些圖形概念，是否有迷思的概念等.教師對(duì) 學(xué)生的學(xué)習(xí)情況若有進(jìn)一步深層的了解，可助于擬定合宜的教學(xué)步驟及策略，幫助修正學(xué)生的錯(cuò)誤概念，因此學(xué)生和教師之間的互動(dòng)是很重要的.另外， 充分發(fā)揮現(xiàn)代教學(xué)多媒體組合的優(yōu)勢(shì)，通過形象生動(dòng)的教學(xué)吸引學(xué)生的注意力，把靜態(tài)的課本材料變成動(dòng)態(tài)的教學(xué)內(nèi)容.例如： GSP（The geometer餾 sketchpad）動(dòng)態(tài)幾何系統(tǒng)是近年來幾何教學(xué)常使用的教學(xué)軟件，它擁有在圖形變換及圖形改換時(shí)，顯示長度、角度、比例、面積等度量的功能.GSP非常適合在四邊形教學(xué)或其他幾何教學(xué)上使用，并且可對(duì)結(jié)構(gòu)性作圖做宏建構(gòu)、文字說明，形成簡易操作鈕，提供使用者幾何學(xué)習(xí)的良好環(huán)境.除了學(xué)童認(rèn)為GSP的動(dòng)態(tài)仿真很新奇、很有興趣學(xué)習(xí)外，學(xué)童在操作過程中會(huì)發(fā)現(xiàn)一種圖形會(huì)有大小、方位不同等多元的方式出現(xiàn)， 從而進(jìn)一步調(diào)動(dòng)他們的學(xué)習(xí)興趣，努力做到教法、學(xué)法的最優(yōu)結(jié)合，使全體學(xué)生都能參與探索新知的過程.

【參考文獻(xiàn)】

[1]張英杰（2001）.兒童幾何形體概念之初步探究.國立臺(tái)北師范學(xué)院學(xué)報(bào)，14，491-528.

[2]沈佩芳（2002）.國小高年級(jí)學(xué)童的平面幾何形的概念之探討.國立臺(tái)北師范學(xué)院數(shù)理教育研究所碩士論文.

[3]National Council of Teachers of Mathematics （1991）.Professional standards for teaching mathematics. Reston， VA： Author.

[4]National Council of Teachers of Mathematics （2000）. Principles and standards for school mathematics.Reston. VA： National Council of Teachers of Mathematics， Inc.

[5]Van Hiele-Geldof， D. （1957）. De didaktick van de Meetkunde in deerste klass van het V.H.M.O. Summary of unpublished doctoral dissertation with English summary，University of Utrecht， Netherlands.

[6]Van Hiele， P. M. （1986）. Structure and Insight： A theory of Mathematics Education.Orlando： Academic Press.