華義平 李小新

摘要： 高等代數(shù)與解析幾何是數(shù)學(xué)專業(yè)兩門非常重要的基礎(chǔ)課，聯(lián)系非常緊密，幾何為代數(shù)提供直觀背景，代數(shù)為幾何提供研究方法。為了更好地融合高等代數(shù)與解析幾何的知識(shí)，使教學(xué)內(nèi)容達(dá)到最有效的合理配置，目前數(shù)學(xué)界在教學(xué)上已有將兩者融為一體的思路與做法。本文結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，淺議這種合并的必要性，并列舉它們相互滲透的一些實(shí)例。

關(guān)鍵詞： 高等代數(shù)解析幾何合并教學(xué)

高等代數(shù)與解析幾何是數(shù)學(xué)專業(yè)兩門非常重要的基礎(chǔ)課，1997年以前，大多數(shù)學(xué)校分開(kāi)設(shè)課，隨著高等教育教學(xué)改革的不斷深入，近年來(lái)部分學(xué)校在教學(xué)上已有將兩者融為一體的思路與做法。我們結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，淺議這種合并的必要性，并列舉它們相互滲透的一些實(shí)例。

1.高等代數(shù)與解析幾何合并授課的必要性

高等代數(shù)與解析幾何是數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生必修的兩門基礎(chǔ)課，按照教學(xué)計(jì)劃的要求，一般院校都在大一的第一學(xué)期與數(shù)學(xué)分析一起同時(shí)開(kāi)設(shè)，由于這兩門課程都體系完備，授課教師在教學(xué)時(shí)經(jīng)常是各自用各自的方法，很少想到互用，因而這兩門課程往往被學(xué)生理解為數(shù)學(xué)的兩個(gè)不同分支。實(shí)際上，高等代數(shù)中很多概念和方法都來(lái)源于二、三維幾何空間，而解析幾何研究的就是二維和三維空間中的幾何問(wèn)題，處理問(wèn)題的工具就是代數(shù)方法，因此這兩門課程之間有著密切的聯(lián)系。它們之間的關(guān)系可歸納為“代數(shù)為幾何提供研究方法，幾何為代數(shù)提供直觀背景”［１］。

高等代數(shù)與解析幾何分開(kāi)授課，首先由于兩門課程中有許多交叉和重疊的內(nèi)容，單獨(dú)授課必然會(huì)出現(xiàn)有些內(nèi)容重復(fù)上的情況，這樣就浪費(fèi)了寶貴的課時(shí)；其次，在講授高等代數(shù)的某些抽象理論時(shí)，由于幾何背景的缺乏，學(xué)生往往感到高度抽象，從而產(chǎn)生懼怕心理，不利于教學(xué)的正常開(kāi)展；最后，在解析幾何的教學(xué)中經(jīng)常要用到高等代數(shù)中的一些知識(shí)，但由于高等代數(shù)教學(xué)進(jìn)度的滯后性，迫使在解析幾何課程中要花大量的時(shí)間來(lái)講授以后在高等代數(shù)中要講授的內(nèi)容，從而影響解析幾何教學(xué)任務(wù)的完成。將兩門課程合并教學(xué)，不僅可以精簡(jiǎn)教學(xué)內(nèi)容，節(jié)省很多寶貴的課時(shí)，而且一方面在講授高等代數(shù)的一些抽象理論時(shí)，可以通過(guò)引入幾何背景來(lái)幫助消除高等代數(shù)的抽象性，使得所學(xué)知識(shí)便于接受。另一方面應(yīng)用高等代數(shù)知識(shí)來(lái)解決解析幾何問(wèn)題，可以讓學(xué)生體會(huì)高等代數(shù)應(yīng)用的廣泛性，從而激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)習(xí)效率。

2.在教學(xué)中實(shí)現(xiàn)兩者融合的實(shí)踐

雖然我校目前還沒(méi)有將高等代數(shù)與解析幾何兩門課程合并授課，但在具體的教學(xué)中，我們已經(jīng)開(kāi)始注重它們之間的相互作用，充分重視這種“數(shù)”、“形”之間的相輔相成和相互交融。下面以實(shí)例說(shuō)明它們之間的密切聯(lián)系。

2.1幾何為代數(shù)提供直觀背景

2.1.1行列式的幾何意義

行列式是高等代數(shù)中接觸到的第一個(gè)抽象性概念，初學(xué)者往往對(duì)繁雜的計(jì)算公式產(chǎn)生了恐懼，對(duì)學(xué)好高等代數(shù)缺乏信心，不利于課程教學(xué)的開(kāi)展。為彌補(bǔ)這些不足，在教學(xué)中給出行列式的幾何背景將大有裨益。

從幾何觀點(diǎn)來(lái)看，二階行列式aaaa是平面上以向量α=aa，α=aa為鄰邊的平行四邊形的有向面積：當(dāng)這個(gè)平行四邊形是由α逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到α得到時(shí)，面積為正；當(dāng)這個(gè)平行四邊形是由α順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到α得到時(shí)，面積為負(fù)。類似的，三階行列式的值就是三個(gè)向量在三維空間中張成的平行六面體的有向體積：當(dāng)α，α，α構(gòu)成右手系時(shí)，體積為正；當(dāng)α，α，α構(gòu)成左手系時(shí)，體積為負(fù)。這樣學(xué)生就能感覺(jué)到行列式是一個(gè)看得見(jiàn)、摸得著的數(shù)。同時(shí)啟發(fā)學(xué)生：我們可以把n階行列式定義為n個(gè)n維向量張成的平行多面體的有向體積。借助這個(gè)直觀的定義，對(duì)行列式7條性質(zhì)的理解也就容易得多。

2.1.2Schmidt正交化過(guò)程的幾何解釋

Schmidt正交化過(guò)程是歐式空間中求標(biāo)準(zhǔn)正交基的一種常規(guī)方法，公式非常復(fù)雜，不易掌握。下面結(jié)合二、三維空間中的幾何直觀，給出Schmidt正交化產(chǎn)生的思維過(guò)程。

這一過(guò)程在R中的體現(xiàn)是：由兩個(gè)不共線的向量（線性無(wú)關(guān)）α，α得到兩個(gè)相互垂直（正交）的向量β，β，下面通過(guò)直觀圖（圖1）來(lái)展示正交化的過(guò)程：

β=α，β==α-=α-Prjαα.而Prjαα=，從而β=α-α=α-β.

R空間中Schmidt正交化過(guò)程是：由三個(gè)不共面的向量組（線性無(wú)關(guān)）α，α，α得到三個(gè)兩兩相互正交（垂直）的向量組β，β，β，如圖2所示，α=，α=，α=，則

β=α=，β==-=α-α=α-β，

是在L（β，β）面上的正交投影，則=β+β，從而

β==-=α-β-β.

以此類推，可以推導(dǎo)出n維歐式空間中的Schmidt正交化公式，而不需要機(jī)械地去記憶。

2.2代數(shù)為幾何提供研究方法

解析幾何是利用高等代數(shù)為基本工具來(lái)研究平面、直線、曲面及曲線的圖形和性質(zhì)為主的一門數(shù)學(xué)課程。平面、直線、曲面、曲線方程的建立與求解，點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的處理，二次曲面的分類等都是用代數(shù)方法來(lái)研究的。下面以二次曲面的分類問(wèn)題為例進(jìn)行說(shuō)明。

例:化3x+4xy+2z=1為標(biāo)準(zhǔn)方程，并指出它是何種曲面［５］。

解:設(shè)方程左邊二次型對(duì)應(yīng)的對(duì)稱陣為A，顯然，A=320200002，

它的特征值為λ=4，λ=2，λ=1，由二次型的標(biāo)準(zhǔn)形就可得出標(biāo)準(zhǔn)方程為+-=1.

因此，該曲面為單葉雙曲面。

3.結(jié)語(yǔ)

高等代數(shù)與解析幾何兩門課程合并授課，并不是對(duì)它們進(jìn)行簡(jiǎn)單的知識(shí)合并，而是要將它們的靈魂進(jìn)行結(jié)合，使得代數(shù)之中有幾何的背景，幾何之中有代數(shù)的思想，兩者成為一個(gè)完美的結(jié)合體。這項(xiàng)教學(xué)改革剛剛開(kāi)始，還有很多問(wèn)題有待解決，這就需要我們廣大數(shù)學(xué)工作者集思廣益，共同努力來(lái)搭建這兩者之間的橋梁。

參考文獻(xiàn)：

［1］陳志杰.高等代數(shù)與解析幾何［M］.北京:高等教育出版社，2001.

［2］楊德貴.高等代數(shù)與解析幾何一體化教學(xué)改革的探索［J］.貴州師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2005，23，（4）:97-101.

［3］郭昀.高等代數(shù)與解析幾何課程合并的可行性分析［J］.曲靖師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2003，（11）:57-58.

［4］張敏.《高等代數(shù)》與《解析幾何》合并設(shè)課的教學(xué)改革［J］.吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2003，（4）:117-118.

［5］趙連昌，劉曉東.線性代數(shù)與幾何［M］.北京:高等教育出版社，2001.

基金項(xiàng)目：池州學(xué)院教學(xué)研究項(xiàng)目2010jy013；池州學(xué)院教學(xué)研究項(xiàng)目2010jy045；池州學(xué)院《高等代數(shù)》優(yōu)質(zhì)課程建設(shè)。