摘要：本文首先證明了Black-Scholes微分方程只是含貼現(xiàn)的費(fèi)曼-卡茨定理的一個(gè)特殊形式，含貼現(xiàn)的費(fèi)曼-卡茨定理是Black-Scholes微分方程的必要條件。然后從含貼現(xiàn)的費(fèi)曼-卡茨定理出發(fā)來研究Black-Scholes微分方程的基本假設(shè)條件。

【關(guān)鍵詞】Black-Scholes微分方程基本假設(shè)條件 含貼現(xiàn)的費(fèi)曼-卡茨定理

1973年，Black和Scholes基于以下基本假設(shè)推導(dǎo)出了基于不支付紅利的股票的歐式看漲期權(quán)價(jià)格所遵循的偏微分方程：1、股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，且期望收益率和波動(dòng)率為常數(shù)；2、允許使用全部所得賣空衍生證券；3、沒有交易費(fèi)用和稅收，所有證券都是高度可分的；4、在衍生證券的有效期內(nèi)沒有紅利支付；5、不存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)；6、證券交易是連續(xù)的；7、無風(fēng)險(xiǎn)利率為常數(shù)且對(duì)所有到期日都相同。

（1）

在分析Black-Scholes微分方程假設(shè)條件之前，我們可以先看下含貼現(xiàn)的費(fèi)曼-卡茨定理。

含貼現(xiàn)的費(fèi)曼-卡茨定理：考慮隨機(jī)微分方程

（2）

設(shè)是博雷爾可測函數(shù)，利率是常數(shù)，給定，定義函數(shù)

（我們假定對(duì)于所有的t和x ）

則滿足偏微分方程

（3）

通過比較（1）和（3），我們發(fā)現(xiàn)在偏微分方程的表現(xiàn)形式上，差別僅僅在于（1）中，衍生證券價(jià)格對(duì)基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格的偏導(dǎo)數(shù)系數(shù)為無風(fēng)險(xiǎn)利率，而（3）中衍生證券價(jià)格相對(duì)于基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格的偏導(dǎo)數(shù)系數(shù)為基礎(chǔ)資產(chǎn)的收益率。造成這種差別的原因在于：在（1）中，衍生資產(chǎn)價(jià)格所服從的隨機(jī)過程并不是一個(gè)鞅過程，而（3）中衍生證券價(jià)格所服從的隨機(jī)過程是一個(gè)鞅過程。對(duì)股票這種需要支付一定成本的基礎(chǔ)資產(chǎn)來說，現(xiàn)實(shí)世界中的收益率不管為多少，在風(fēng)險(xiǎn)中性世界里收益率均為無風(fēng)險(xiǎn)收益率。

我們可以通過拉東-尼可迪姆導(dǎo)數(shù)來改變這個(gè)隨機(jī)過程的概率分布函數(shù)，在轉(zhuǎn)換的過程中，波動(dòng)率并不發(fā)生變化，而將收益率由變化為無風(fēng)險(xiǎn)利率，則基礎(chǔ)資產(chǎn)在風(fēng)險(xiǎn)中性世界里所服從的隨機(jī)過程就為：

下面，我們以含貼現(xiàn)的費(fèi)曼-卡茨定理假設(shè)出發(fā)，來分析Black-Scholes偏微分方程的基本假設(shè)條件。

假設(shè)1中，我們假定股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，也就是說對(duì)股票價(jià)格取對(duì)數(shù)差分后得到的收益率服從正態(tài)分布。這里面蘊(yùn)含的意義包括：1、如果假定股票價(jià)格服從正態(tài)分布，則該正態(tài)分布的期望為0，也即從理論上說股票價(jià)格可以取負(fù)值，根據(jù)股票這個(gè)經(jīng)濟(jì)變量的經(jīng)濟(jì)意義，這很顯然是不可能的；2、根據(jù)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)，股票價(jià)格序列很顯然是一個(gè)非平穩(wěn)的時(shí)間序列。而對(duì)于一個(gè)非平穩(wěn)的時(shí)間序列來說，我們所估計(jì)出的分布參數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)上并無實(shí)際意義。3、收益率服從正態(tài)分布，這顯然是出于簡化問題的考慮。因?yàn)橛?jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)也證明了股票的收益率序列并不服從于正態(tài)分布。4、考慮幾何布朗運(yùn)動(dòng)，即我們采用的是幾何收益率。幾何收益率對(duì)應(yīng)于金融中的復(fù)利，這既符合經(jīng)濟(jì)本質(zhì)，也在較長的期限內(nèi)比算術(shù)收益率更穩(wěn)定。

關(guān)于假設(shè)2，允許使用全部所得賣空衍生證券，這個(gè)假設(shè)是為了保證在構(gòu)造一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)的組合時(shí)，不必使用外幣融資，通過自融資策略即可實(shí)施。以無風(fēng)險(xiǎn)利率對(duì)投資組合的價(jià)值進(jìn)行貼現(xiàn)，得到的必然是一個(gè)鞅過程。這也使得基于不支付紅利的股票的歐式看漲期權(quán)與亞式期權(quán)等路徑依賴性的期權(quán)相區(qū)別，因?yàn)槁窂揭蕾囆缘钠跈?quán)要么沒有解析解，要么解析解的形式非常復(fù)雜。

關(guān)于假設(shè)3，沒有交易費(fèi)用和稅收是為了消除市場摩擦對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響。根據(jù)分離定理，最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)證券組合的確定與投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好、效用函數(shù)或無差異曲線無關(guān)，投資者的投資決策與融資決策無關(guān)。

關(guān)于假設(shè)4，在衍生證券的有效期內(nèi)沒有紅利支付。根據(jù)含貼現(xiàn)的費(fèi)曼-卡茨定理，此假設(shè)并無必要。默頓也指出，只要假定在有效期內(nèi)紅利是連續(xù)支付的，那么可以得到一個(gè)連續(xù)紅利率。

關(guān)于假設(shè)5，不存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)，即不存在不承受風(fēng)險(xiǎn)就獲利這樣的投資機(jī)會(huì)，這也意味著投資者如果期望獲得較高的收益，就必須承擔(dān)更大的風(fēng)險(xiǎn)。這就排除了基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格存在風(fēng)險(xiǎn)但不能進(jìn)行動(dòng)態(tài)套期保值活動(dòng)的可能性。

關(guān)于假設(shè)6，證券交易是連續(xù)的，這個(gè)假設(shè)是有意義的，但根據(jù)含貼現(xiàn)的費(fèi)曼-卡茨定理，這個(gè)假設(shè)并非必須。證券交易是連續(xù)的，那么證券價(jià)格所服從的隨機(jī)過程更加漸進(jìn)服從于幾何正態(tài)分布，我們也可以更方便應(yīng)用動(dòng)態(tài)套期保值，使投資組合在一個(gè)極短的時(shí)間段內(nèi)處于無風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)，從而可以應(yīng)用風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)理論，而風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)就意味著此時(shí)的貼現(xiàn)過程是一個(gè)鞅過程。

關(guān)于假設(shè)7，無風(fēng)險(xiǎn)利率為常數(shù)且對(duì)所有到期日都相同，根據(jù)含貼現(xiàn)的費(fèi)曼-卡茨定理，此假設(shè)也非必須。無風(fēng)險(xiǎn)利率可以不為常數(shù)，甚至可以是一個(gè)隨機(jī)過程，無風(fēng)險(xiǎn)利率對(duì)所有到期日都相同在實(shí)際中也很難做到。只要滿足以無風(fēng)險(xiǎn)利率對(duì)期權(quán)價(jià)格進(jìn)行貼現(xiàn)后的隨機(jī)過程是一個(gè)鞅過程的條件就可以了。

綜上所述，推導(dǎo)Black-Scholes微分方程必須滿足的條件：必須能保證一個(gè)由基礎(chǔ)資產(chǎn)和基于該基礎(chǔ)資產(chǎn)的期權(quán)組成的自融資投資組合，在進(jìn)行動(dòng)態(tài)套期保值后幾乎時(shí)時(shí)處于無風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)，處于風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)時(shí)具有零勒貝格測度，從而保證期權(quán)價(jià)格以合適的貼現(xiàn)率貼現(xiàn)后所服從的隨機(jī)過程必須為一個(gè)鞅。

參考文獻(xiàn)

[1]約翰·赫爾.期權(quán)、期貨和其他衍生工具（第三版）[M] .北京：清華大學(xué)出版社.

[2]史蒂文·E·施里夫.金融隨機(jī)分析（第二卷）[M] .上海：上海財(cái)經(jīng)大學(xué)出版社，2008.

[3]邵宇.微觀金融學(xué)及其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)[M] .北京：清華大學(xué)出版社，2003.

作者簡介：李國勇（1978-），男，河南省西峽縣人，任職于西藏大學(xué)財(cái)經(jīng)學(xué)院，研究方向：資產(chǎn)定價(jià)。

（責(zé)任編輯：劉晶晶）