【摘要】本文采用滬深300日間隔為5分鐘的高頻數(shù)據(jù)，構(gòu)建了日間收益序列和日已實(shí)現(xiàn)極差波動（RRV）序列，然后分別建立R-GARCH模型與HAR模型，并采用M-Z回歸及損失函數(shù)作為判別準(zhǔn)則對兩類模型的波動預(yù)測能力進(jìn)行了測度。結(jié)果表明，無論從M-Z回歸結(jié)果還是損失函數(shù)值來看，R-GARCH模型都要優(yōu)于HAR模型。

【關(guān)鍵詞】已實(shí)現(xiàn)GARCH模型 異質(zhì)自回歸模型 RRVM-Z回歸 損失函數(shù)

一、引言

GARCH模型由Bollerslev（1986）提出，它作為低頻數(shù)據(jù)波動刻畫的經(jīng)典模型至今已得到了廣泛的應(yīng)用。隨著金融高頻數(shù)據(jù)的出現(xiàn)， Andersen和Bollerslev（1998）提出了已實(shí)現(xiàn)波動方法，因其無模型，計(jì)算簡單而被廣泛接受。Corsi（2004）提出了基于已實(shí)現(xiàn)波動的異質(zhì)自回歸（HAR）模型，從而提出了基于高頻數(shù)據(jù)的波動預(yù)測模型。Martens和Dijk（2007）提出的已實(shí)現(xiàn)極差波動（RRV）及其修正量是比已實(shí)現(xiàn)波動（RV）更為精確的波動估計(jì)量。Hansen等（2011）提出了將已實(shí)現(xiàn)波動方法作為條件波動解釋變量的已實(shí)現(xiàn)GARCH（R-GARCH）模型。本文擬通過對滬深300建立RRV-GARCH模型與HAR-RRV模型并給出滾動樣本外一步預(yù)測值，然后采用M-Z回歸以及損失函數(shù)作為判別準(zhǔn)則對其預(yù)測能力進(jìn)行比較。

二、相關(guān)理論介紹

（一）RRV及其修正量

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其中，表示第日區(qū)間該抽樣區(qū)間的最大對數(shù)價(jià)格，表示第日區(qū)間該抽樣區(qū)間的最小對數(shù)價(jià)格，表示日抽樣次數(shù)。表示第t-i期的日內(nèi)極差。根據(jù)Martens和Dijk（2007）的建議，選取。

（二）R-GARCH模型

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…（4）

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其中，，，且與相互獨(dú)立。為日對數(shù)收益，為期對數(shù)收益的函數(shù)。為日高頻數(shù)據(jù)的已實(shí)現(xiàn)波動方法（如RV、RRV等），為測度杠桿效應(yīng)的杠桿函數(shù)，通常取簡單的正交形式：

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對于R-GARCH模型的參數(shù)估計(jì)，通常采用準(zhǔn)極大似然估計(jì)（QMLE）的方法。

（三） HAR模型

………………（7）

其中，為日高頻數(shù)據(jù)的已實(shí)現(xiàn)波動方法（如RV、RRV等），為隨機(jī)誤差項(xiàng)。

（四）M-Z回歸

M-Z回歸是Mincer和Zarnowitz（1969）提出的用來衡量波動模型的預(yù)測能力的方法，是目前比較流行的方法之一，它對真實(shí)波動率與預(yù)測波動率建立一個一元的線性回歸模型：

………………………………………………（8）

其中，為真實(shí)波動率，為預(yù)測波動率，為隨機(jī)誤差項(xiàng)。通常真實(shí)波動率是無法度量的，常常選用高頻數(shù)據(jù)的已實(shí)現(xiàn)波動方法或者其調(diào)整量來替代。實(shí)踐中常常用回歸方程的擬合優(yōu)度（R2）來測度波動模型的預(yù)測效果。

（五）損失函數(shù)

損失函數(shù)則是一種波動模型預(yù)測能力的評價(jià)指標(biāo)體系，通常損失函數(shù)的值越小，表明波動預(yù)測的誤差就越小，那么模型的預(yù)測精度就越高。目前使用較多的損失函數(shù)主要有MAE、RMSE、MAPE、HRSME和HMAE等。

………………………………………（9）

…………………………………（10）

…………………………………（11）

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其中，為真實(shí)波動率，為預(yù)測波動率。

三、實(shí)證分析

（一）數(shù)據(jù)介紹

本文將采用滬深300指數(shù)08/04/2005到31/01/2011的抽樣間隔為5分鐘的共1415天數(shù)據(jù)，其中樣本內(nèi)數(shù)據(jù)1114個，樣本預(yù)測外數(shù)據(jù)300個。

相關(guān)研究表明，日間收益并不存在高階自相關(guān)，因而均值方程可選擇如下的函數(shù)形式： ，其中，為對數(shù)收益在前期信息下的第期條件期望收益。日間收益殘差存在異方差性，因而可以對其建立已實(shí)現(xiàn)GARCH模型。日間收益殘差存在一定的厚尾特性，因而可假定服從廣義誤差分布（GED），而通常假定服從正態(tài)分布。且已實(shí)現(xiàn)極差波動具有嚴(yán)重的自相關(guān)性，因而可以對其建立HAR模型。

（二）RRV-GARCH模型與HAR-RRV模型的波動預(yù)測能力比較

為了簡便起見，分別對和時(shí)的RRV建立R-GARCH（1，1）模型與HAR模型，并用已實(shí)現(xiàn)極差波動的修正量來作為日間真實(shí)波動的替代量，因而可得表1中結(jié)果。

表1RRV-GARCH模型與HAR-RRV模型的預(yù)測能力測度

R2 a b MAE RMSE MAPE HRMSE HMAE

R-G（1） 0.271 4.08E-05 1.369 2.24E-04 3.82E-04 0.999588 1.03743 0.62033

R-G（4ln2） 0.271 4.29E-05 1.369 2.24E-04 3.82E-04 0.999589 1.04539 0.62535

HAR（1） 0.238 7.19E-05 1.633 2.66E-04 4.30E-04 0.999636 1.51068 0.95417

HAR（4ln2） 0.237 7.13E-05 4.532 4.22E-04 5.65E-04 0.999781 5.42852 4.24557

從表1可以看出，R-GARCH模型的擬合優(yōu)度要高于HAR模型，且R-GARCH模型的回歸系數(shù)比HAR模型的回歸系數(shù)更接近于1，因而從M-Z回歸判別準(zhǔn)則來講，R-GARCH模型在對滬深300波動的刻畫要優(yōu)于HAR模型。其次，R-GARCH模型的5個常用損失函數(shù)值皆相應(yīng)小于HAR模型的損失函數(shù)值，因而從損失函數(shù)的角度亦可以得到R-GARCH模型在對滬深300波動的刻畫要優(yōu)于HAR模型。

四、小結(jié)

從上面的實(shí)證分析結(jié)果來看，盡管作為混頻數(shù)據(jù)波動模型代表的R-GARCH模型要優(yōu)于作為高頻數(shù)據(jù)波動模型代表的HAR模型，但是對已實(shí)現(xiàn)波動方法建立ARFIMA模型也是目前高頻數(shù)據(jù)波動模型的常規(guī)做法，而該模型與R-GARCH模型的波動預(yù)測能力如何，尚屬未知，因而有待進(jìn)一步比較研究。

參考文獻(xiàn)

[1] Fulvio Corsi.A simple long memory model of realized volatility [R].Working Papers， 2004.

[2] Martens M， Dijk D. Measuring volatility with the realized range [J]. Journal of Econometrics， 2007， （138）：181-207.

[3] Peter Reinhard Hansen， Zhuo Huang， Howard Howan Shek. Realized GARCH： A Joint Model for Returns and Realized Measures of Volatility [J]. Journal of Applied Econometrics， 2011.

作者簡介：袁周波（1987-），男，重慶人，西安財(cái)經(jīng)學(xué)院2010級碩士研究生，研究方向：金融統(tǒng)計(jì)。

（責(zé)任編輯：陳岑）