梁雅峰

知識(shí)要點(diǎn)：

1. 對(duì)數(shù)的概念

（1）對(duì)數(shù)的定義。

如果ax=N（a＞0，a≠1），那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x=logaN，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)。

（2）幾種常見對(duì)數(shù)（見圖1）。

2. 對(duì)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則

（1）對(duì)數(shù)的性質(zhì)。

①負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù)，即對(duì)數(shù)的真數(shù)N＞0，底數(shù)大于0且不等于1；

②1的對(duì)數(shù)為零，即loga1=0；

③底的對(duì)數(shù)等于1，即logaa=1；

④alogaN =N；

⑤ logaaN=N（a＞0，a≠1）。

（2）對(duì)數(shù)的重要公式。

①換底公式：logbN=（a＞0，a≠1，b＞0，b≠1）。

②logb?logba=1，推廣log?logbc?logcd=logad。

（3）對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則。

如果a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，那么：

①loga（MN）=logaM+logaN；

② loga=logaM-logaN；

③logaMn=nlogaM（n∈R）；

④ logamMn =logaM。

常用結(jié)論：lg2+lg5=1，loga=-1，logaM=loganMn , loganM=logaM.

3. 對(duì)數(shù)函數(shù)的定義、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

（1）對(duì)數(shù)函數(shù)的定義。

一般地，函數(shù)y=logax（a＞0，a≠1，x＞0）叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量。

（2）對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)（見圖2）。

如何確定圖中（見圖3）各函數(shù)的底數(shù)a、b、c、d 與1的大小關(guān)系？

作一直線y=1，該直線與四個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為它們相應(yīng)的底數(shù)，∴0＜c＜d＜1＜a＜b。

4. 反函數(shù)

指數(shù)函數(shù)y=ax 與對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax互為反函數(shù)，它們的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱。

指數(shù)函數(shù)y=ax （a＞0，a≠1）的定義域?yàn)镽，值域?yàn)?0，+∞），對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax（a＞0，a≠1）的定義域?yàn)椋?，+∞）， 值域?yàn)镽。

題型一 對(duì)數(shù)的化簡(jiǎn)與求值

例1 （1）化簡(jiǎn)：（lg2）2+lg2?lg50+lg25； （2）化簡(jiǎn)：23+ log 4； （3）已知loga2=m，loga3=n，求a2m+n的值。

分析：（1）、（2）為化簡(jiǎn)題目，可由原式聯(lián)想指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則、公式的結(jié)構(gòu)形式來尋找解題思路；（3）可先求出2m+n的值，再用公式來求a2m+n的值。

解：（1）原式＝（lg2）2+（1+lg5）lg2+lg52=（lg2+lg5+1）lg2+2lg5=（1+1）lg2+2lg5=2（lg2+lg5）=2。

（2）23+ log 4 =23×2log 4=8×2log 4=8×2-log4=8×2log=8×=2。

（3）方法一：∵loga2=m，∴am=2，∵loga3=n，∴an=3，

故 a2m+n=（am）2?an=4×3=12。

方法二：∵loga2=m，loga3=n，∴a2m+n=a2log 2+log 3=alog12=12。

點(diǎn)評(píng)：（1）在對(duì)數(shù)運(yùn)算中，先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡(jiǎn)，然后再運(yùn)用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)合并，在運(yùn)算中要注意化同底和指數(shù)與對(duì)數(shù)互化。（2）熟練地運(yùn)用對(duì)數(shù)的三個(gè)運(yùn)算性質(zhì)并配以代數(shù)式的恒等變形是對(duì)數(shù)計(jì)算、化簡(jiǎn)、證明常用的技巧。

題型二 比較大小

例2 比較下列各組數(shù)的大小。

（1）log3與log5；

（2）log2π，log2，log3

（3）log1.10.7，log1.20.7。

分析： （1）引入中間量如“1”或“0”比較。（2）利用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像及單調(diào)性。

解：（1）∵log3＜log31=0，log5＞log51=0，

∴l(xiāng)og3＜log5。

（2）方法一：∵0＜0.7＜1，1.1＜1.2，

∴0＞log0.71.1＞log0.71.2，

∴＜，

即由換底公式可得 log1.10.7＜log1.20.7。

方法二：作出y=log1.1x與y=log1.2x的圖像。

如圖4所示。兩圖像與x=0.7相交可知 log1.10.7＜log1.20.7。

點(diǎn)評(píng)： 比較對(duì)數(shù)式的大小或證明等式問題是對(duì)數(shù)中常見的題型，解決此類問題的方法很多。

（1）當(dāng)?shù)讛?shù)相同時(shí)，可直接利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較。

（2）若底數(shù)不同，真數(shù)相同，可轉(zhuǎn)化為同底（利用換底公式），或利用對(duì)數(shù)函數(shù)圖像，數(shù)形結(jié)合解得。

（3）若不同底，不同真數(shù)，則可利用中間量進(jìn)行比較。

題型三 對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)

例3 已知函數(shù)f（x）=logax（a＞0，a≠1）， 如果對(duì)于任意x∈[3，+∞） 都有f（x）≥1成立，試求a的取值范圍。

分析：當(dāng)x∈[3，+∞） 時(shí)，必有f（x）≥1成立，可以理解為函數(shù)f（x）在區(qū)間[3，+∞） 上的最小值不小于1。

解： 當(dāng)a＞1時(shí)，對(duì)于任意x∈[3，+∞），都有f（x）＞0。

所以，f（x）=f（x），而f（x）=logax 在[3，+∞）上為增函數(shù)，

∴對(duì)于任意x∈[3，+∞） ，有f（x）≥loga3。

因此，要使f（x）≥1對(duì)于任意x∈[3，+∞）都成立，

只要loga3≥1=logaa 即可，∴1＜a≤3。

當(dāng)0＜a＜1時(shí)，對(duì)于x∈[3，+∞），有f（x）＜0，

∴f（x）=-f（x）。

∵ f（x）=logax在[3，+∞）上為減函數(shù)，

∴-f（x）在[3，+∞） 上為增函數(shù)。

∴對(duì)于任意x∈[3，+∞） 都有f（x）=-f（x）≥-loga3。

因此，要使f（x）≥1 對(duì)于任意x∈[3，+∞） 都成立，

只要-loga3≥1成立即可。

綜上，使f（x）≥1對(duì)任意x∈[3，+∞）都成立的a的取值范圍是（1，3]∪[，1） 。

點(diǎn)評(píng)：本題屬于函數(shù)恒成立問題，即在x∈[3，+∞）時(shí)，函數(shù)

f（x）的絕對(duì)值恒大于等于1。恒成立問題一般有兩種思路：一是利用圖像轉(zhuǎn)化為最值問題；二是利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化為最值問題。這里函數(shù)的底數(shù)為字母a，因此需對(duì)參數(shù)a分類討論。

題型四 與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的綜合問題

例4 已知函數(shù)f（x）=loga（a＞0，a≠1，b＞0）。

（1）求函數(shù)f（x）的定義域；

（2）討論函數(shù)f（x）的奇偶性；

（3）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性。

分析：由真數(shù)大于0，求定義域，按奇偶性的定義判斷其奇偶性，單調(diào)性可按復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的規(guī)律判斷。

解：（1）令＞0，解得函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，-b）∪（b，+∞）。

（2）函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f（-x）=loga=loga=-f（x）， 故函數(shù)f（x）是奇函數(shù)。

（3）令u（x）==1+，則u（x）在（-∞，-b）和（b，+∞）上是減函數(shù)，所以當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）在（-∞， -b）和（b，+∞）上是增函數(shù)。

當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）在（-∞，-b）和（b，+∞）上是減函數(shù)。

例5 對(duì)于函數(shù)f（x）=log（x2-2ax+3）。

（1）若函數(shù)的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）若函數(shù)的值域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（3）若函數(shù)在[-1，+∞） 上有意義，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（4）若函數(shù)的值域?yàn)椋?∞，-1]，求實(shí)數(shù)a的所有取值；

（5）若函數(shù)在（-∞，1]上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

分析：此題共有5個(gè)小題，最后所求均是a的范圍，而已知又是常見的關(guān)于定義域、值域及函數(shù)的性質(zhì)的條件，概念性很強(qiáng)，需要熟練運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)求解，解答本題需要非常準(zhǔn)確地理解與掌握函數(shù)中的每個(gè)概念。

解：設(shè)u=g（x）=x2-2ax+3=（x-a）2+3-a2。

（1） ∵u＞0，對(duì)x∈R恒成立，∴umin=3-a2＞0。

故a的取值范圍為（-，）。

（2） logu的值域?yàn)镽?圳u=g（x），能取遍（0，+∞）的一切值，因此umin=3-a2≤0。

a的取值范圍為（-∞，]∪[，+∞）。

（3）函數(shù)f（x）在[-1，+∞）上有意義，

?圳u=g（x）>0對(duì)x∈[-1，+∞） 恒成立，

因此按g（x）的對(duì)稱軸x=a分類，則得：

a＜-1g(-1)>0 或a≥-1?駐=4a2-12＜0，

故a的取值范圍為（-2，)。

（4）∵函數(shù)f(x)的值域?yàn)椋?∞,-1］，

∴g（x）的值域是［2,+∞），

因此要求g（x）能取遍［2,+∞）的一切值(而且不能多取)。

由于g（x）是連續(xù)函數(shù)，

所以命題等價(jià)于［g（x）］min=3-a2=2，故a=± 1。

（5）函數(shù)在（-∞，1］上是增函數(shù)?圳g（x）在（-∞，1］上是減函數(shù)，且g（x）>0對(duì)x∈（-∞，1］ 恒成立，

?圳a≥1g（1）>0，故a的取值范圍為[1，2）。

點(diǎn)評(píng)：（1）此題用同一個(gè)函數(shù)考查了常見的既是重要的基本問題，又是容易混淆的難點(diǎn)問題。做完后，應(yīng)注意比較與總結(jié)。如函數(shù)在某區(qū)間上有意義與其定義域是某區(qū)間兩者之間是有本質(zhì)區(qū)別的。函數(shù)在某區(qū)間上有意義說明此區(qū)間是它的定義域的一個(gè)子集，而不一定與定義域相同。（2）第（1）問與第（2）問也容易混淆。定義域?yàn)镽是指函數(shù)式對(duì)任意x∈R都有意義；值域?yàn)镽，定義域不一定為R。這要通過分析所給函數(shù)的性質(zhì)來解決，如y=lgx，x的取值范圍只要包含（0,+∞），y便可取到全體實(shí)數(shù)。

（西南大學(xué)附屬中學(xué)）