真正的學習是不能在主體間直接“傳遞”的,換句話說，學習不是“我一說你就會”的，教師永遠無法代替學生去學習。在教學現(xiàn)場，我們從學生的學習方式和生存狀態(tài)的視角觀察教師的教學現(xiàn)狀，發(fā)現(xiàn)不少人習慣于教師成人思維方式的“直接傳遞”，忽視學生的個體學習經(jīng)驗。那么學生究竟是以什么樣的方式內(nèi)化知識?教學如何遵循學生認知規(guī)律和個體學習經(jīng)驗？我們需要在教和學的過程中架構(gòu)一條學習通道，引發(fā)學生形成具有自身學習方式和學習經(jīng)驗參與的內(nèi)在轉(zhuǎn)化，從而獲得對數(shù)學知識本質(zhì)的理解和運用。筆者以為，其中一個重要的途徑就是讓數(shù)學學習圖式始終伴隨著兒童學習數(shù)學的過程，使教和學產(chǎn)生建立在不同數(shù)學知識意義上的融通。

一、數(shù)學學習是幫助學生把數(shù)學知識圖式化、經(jīng)驗化的重要過程

為什么說學生的數(shù)學學習是圖式化和經(jīng)驗化的過程？兒童究竟以什么樣的方式進行學習？知識是以什么樣的形式存在于兒童的經(jīng)驗世界中？

圖式是“潛藏在人類心靈深處”的一種技術，一種技巧（康德）。作為潛藏在人類心靈深處的技術和技巧顯然具有個體獨特的內(nèi)在學習方式，是一種帶有個體印記的經(jīng)驗化的過程。魯墨哈特認為圖式是對于知識的特有的表征方式。皮亞杰認為圖式是“一個有組織的、可重復的行為或思維模式”，兒童在與外部環(huán)境“同化”與“順應”相互作用的過程中，建構(gòu)起具有自身認知結(jié)構(gòu)的知識。同化是吸收外部信息并整合到已有的認知結(jié)構(gòu)(也稱“圖式”)中；順應是原有認知結(jié)構(gòu)無法同化新信息時所引起的認知結(jié)構(gòu)發(fā)生重組與改造的過程?？梢?，同化是認知結(jié)構(gòu)數(shù)量的擴充(圖式擴充)，而順應則是認知結(jié)構(gòu)性質(zhì)的改變(圖式改變)。兒童就是通過同化與順應這兩種形式來達到與周圍環(huán)境的平衡。因此，我們把學生的數(shù)學學習過程看作是一個圖式化與經(jīng)驗化的過程，是學生個體的內(nèi)在知識，通過教師外化的教學方式及教學情感的介入，促使學生內(nèi)化從而形成知識的儲存、理解、提取、運用等的方式。劉秀梅在《論數(shù)學圖式的類型、特點及功能》一文中認為：數(shù)學圖式從數(shù)學知識的呈現(xiàn)的形式來看，可以分為概念圖式和原理圖式；從知識的類型來看，可以將圖式分為陳述性知識圖式、程序性知識圖式和策略性知識圖式；從解決數(shù)學問題的角度看，可以將圖式分為論證圖式和計算圖式。從對數(shù)學問題認識的角度看，可以將圖式分為情境圖式和反思圖式。從認知數(shù)學的程度看，可以將數(shù)學圖式分為表象圖式、符號圖式和言語圖式。

學習過程常常是圖式化的過程。首先，知識可以被濃縮成框架，突出重點。其次，知識可以被提煉成記憶線索和“組塊”，減少閱讀時間，增大儲存和學習空間。最后，知識可以被重新組合成網(wǎng)絡。當圖式不能適應課文信息時，就要對原有圖式進行調(diào)整、改造、補充和修正，使之適應新的需要，順應新的圖式。

1.從知識的本身看，數(shù)學知識是符號化的結(jié)果，圖式對符號化過程起到半抽象的作用

數(shù)學知識在形成的過程中經(jīng)過了眾多數(shù)學家的研究推定和符號建構(gòu)，而符號化可以把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，建立數(shù)學模型，也就是將實際問題中的數(shù)量關系及變化規(guī)律用符號表達出來。符號化超越了實際問題的具體情境，揭示和指明了存在于某一類問題中的共性和普遍性，把認識和推理提到一個更高的水平，這是數(shù)學活動和數(shù)學思考最本質(zhì)的東西。符號可分為推理符號和表象符號，語言屬推理符號，其它更多地屬于表象符號。學生在數(shù)學符號化的過程中，需要濃縮和解釋概念、術語，形成自己的語言圖式；或通過圖表圖式記取、運用的方式發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律，學會數(shù)學應用。比如，認識數(shù)“5”，觀察5個蘋果，5支鉛筆，5個人……它們都可以用數(shù)字“5”來表示，當學生看到數(shù)字5，就會和數(shù)量是5的具體實物聯(lián)系起來，聯(lián)想到5所表示的不同含意。在這個過程中，符號幫助學生建立了數(shù)學圖式。

2.從學習的角度看，知識不能單純地復制粘貼，圖式可以促進主體對知識的有效理解

無論是什么知識，無論通過什么方式向?qū)W生傳遞，都需要學生個體的內(nèi)在認知理解和主動建構(gòu)。圖式是兼有個性認識的特殊的經(jīng)驗技巧，是個體經(jīng)驗化的印記過程，當靜態(tài)的數(shù)學知識成為每個學習個體的知識時，圖式幫助我們濃縮冗長的數(shù)學概念語言而留下簡潔的數(shù)學語言。比如：由三角形的頂點向?qū)吽鞯拇怪本€段的長度，叫三角形的高。語言圖式可以幫助我們簡潔地理解三角形的高就是“頂點到垂足的線段”。圖式也幫助我們推導數(shù)學圖式，理解數(shù)學公式。比如：三角形的面積計算公式是：三角形的面積＝底×高÷2，學生知道了兩個完全一樣的三角形可以拼成一個平行四邊形（底和高分別相等），平行四邊形的面積＝底×高，所以三角形的面積要多個“÷2”。在學生的頭腦中，有了數(shù)學公式的圖式，有了“兩個完全一樣的三角形可以拼成平行四邊形”的拼圖，自然就能理解和推導出三角形的面積計算公式，建立了用字母圖式表示三角形的面積計算方法的圖式，對計算中容易丟失的“÷2”的問題也就可以大大減少了，促進了對數(shù)學的理解。

3.從教學的角度看，知識不能簡單地傳遞灌輸，圖式促進主體產(chǎn)生有意義的經(jīng)驗建構(gòu)

波蘭尼有一個非常著名的認識論命題：“我們所認識的多于我們所能告訴的?！睆慕虒W的角度看，無論什么樣的教學方式都不能繞過知識這個核心，都需要通過學生個體建構(gòu)內(nèi)在的學習圖式，某種意義上來說，學生的學習圖式類似于緘默知識隱藏在冰山底部。不論什么知識，都以一個個的單位儲存在我們的記憶中，認知科學家稱每一個知識的儲存單位為一個圖式。簡單地說，圖式是信息處理所依據(jù)的最基本單位，一個圖式表征一個概念及其所相關的知識。數(shù)學知識是前人的研究成果，不可避免地帶有經(jīng)驗的色彩，后人學習的過程，是對靜態(tài)的數(shù)學知識的個性化理解，因而教學是動態(tài)的數(shù)學圖式的建構(gòu)，可以促進學生對靜態(tài)知識的經(jīng)驗理解和有意義的建構(gòu)。

二、數(shù)學圖式是促進學生把數(shù)學知識抽象化、系統(tǒng)化的核心手段

1.數(shù)學圖式的符號化、抽象性特點有利于幫助學生理解數(shù)學問題，尋找解題規(guī)律

現(xiàn)代認知學習理論認為：知識不能簡單地由教師或其他人傳授給學生，應該由每個學生依據(jù)自身已有的知識和經(jīng)驗主動地建構(gòu)，并通過師生所組成的學習共同體共同完成。“意義學習”即“圖式學習”,學習者正確圖式的建構(gòu)對數(shù)學知識的掌握具有十分重要的意義。

當面臨一個具體情境時，學生能通過自己的語言進行描述和最終運用符號，將這個關系的規(guī)律表達出來。比如人教版四年級下冊“數(shù)學廣角”的一道練習題，一張餐桌上坐6個人，兩張餐桌并起來坐14個人……照這樣，10張桌子并成一排可以坐多少人？如果一共有38個人，需要多少張桌子才能坐下？這是一道探索規(guī)律的問題，學生在解決這個問題的過程中，經(jīng)歷了由特殊到一般的歸納方法。可以先畫圖幫助自己理解：求2張餐桌，3張餐桌可坐多少人？但是餐桌多的時候，就無法再用畫圖來計算了，這就需要動腦筋去思考其中的規(guī)律。只有發(fā)現(xiàn)了這一規(guī)律，并用符號圖式表示出來，才能很快計算出擺放任意張餐桌可坐幾個人。在解題的過程中，學生運用符號圖式和言語圖式理解數(shù)學問題，把具體的問題情境抽象化，尋找到了解題的規(guī)律。

2.數(shù)學圖式的網(wǎng)點化、結(jié)構(gòu)化特點有利于幫助學生溝通數(shù)學聯(lián)系，形成系統(tǒng)知識

由于數(shù)學知識是高度結(jié)構(gòu)化的，因此，選用數(shù)學圖式把握和分析數(shù)學知識，有利于形成數(shù)學學科結(jié)構(gòu)、單元或主題結(jié)構(gòu)，讓學生“見樹木，更見森林”，“見森林，才見樹木”。

數(shù)學圖式把數(shù)學知識串點成線，織線成網(wǎng)、溝通知識間的聯(lián)系，突出數(shù)學知識的系統(tǒng)性，彰顯重點難點，梳理邏輯順序。從這點上來說，數(shù)學圖式無疑為學生科學地學習數(shù)學知識提供了一條有效的路徑。通過建構(gòu)自己的數(shù)學圖式，學生可以得到簡約的、結(jié)構(gòu)化的數(shù)學知識。因而數(shù)學圖式的建構(gòu)有利于學生系統(tǒng)掌握知識，有利于學生把知識加工成有聯(lián)系的網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)，從而促進學生頭腦中的數(shù)學圖式的形成和發(fā)展，培養(yǎng)學生思維的整體性和敏捷性，列表法、圖解法（符號化）、綱帶目法、樹型圖、集合圖等等都有利于形成學生系統(tǒng)的數(shù)學學習圖式。

3.數(shù)學圖式的形式化、層級化特點有利于幫助學生建立數(shù)學概念，理解數(shù)學規(guī)律

小學數(shù)學很多是具有形式規(guī)則的，并經(jīng)常以公式的形式來表達，如a+b=b+a，s=ah等。理解數(shù)學形式，有利于理解數(shù)學內(nèi)容，是提升數(shù)學理解的有效途徑。

斯法德（sfard）曾強調(diào)：數(shù)學概念與實體的結(jié)構(gòu)和運算間的互補性具有極強的教育價值。對數(shù)學概念結(jié)構(gòu)的理解是有效運用數(shù)學概念進行運算的前提條件，低水平的具體化與高水平的內(nèi)化是互為前提的，在數(shù)學學習過程中，有些學生將代數(shù)術語僅視為符號。如(a+b)×c=a×c+b×c，很多學生在運用乘法分配律進行運算時，并沒有對這種數(shù)學形式實現(xiàn)內(nèi)容的具體化。數(shù)學結(jié)構(gòu)比數(shù)學運算更難以理解，需要通過恰當?shù)臄?shù)學活動來實現(xiàn)具體化，表象圖式就是實現(xiàn)具體化的有效途徑。要發(fā)展學生對數(shù)學形式的理解，為符號感的培養(yǎng)提供契機，就要讓學生掌握數(shù)學形式的運算和結(jié)構(gòu)。

數(shù)學知識由多個知識點構(gòu)成，一般以解決問題的形式被學生體驗和領悟。反映每一個知識點的相應問題，稱為知識點的基本題型，涉及多個知識的問題構(gòu)成了綜合題。圖式復習，可以將每個知識點的復習按四個項目進行整理，第一項是“知識點”（可以是一課、一章節(jié)、一個專項等的知識）；第二項是“基本題型”（與知識點相應的典型例題）；第三項是典型綜合題（和知識點有關的綜合題）；第四項是易錯題（相應知識點題目中的典型錯誤）。

數(shù)學圖式的層級化集中表現(xiàn)在動作圖式、表象圖式、思維圖式等方面。動作圖式依靠動作表征數(shù)量關系及語義；表象圖式是動作圖式內(nèi)化的結(jié)果；思維圖式是利用符號理解語義、進行解題的。教師應該視學習為一個圖式獲得和完善的過程，關注圖式建構(gòu)的策略。學生有時可能只選擇經(jīng)驗或課堂所學的一小部分加以識記，也可能會曲解所識記的知識，教師應該有針對性地干預。當學生能夠?qū)⑿轮R納入已有的圖式，或通過對已有圖式的修改創(chuàng)建新的圖式時，學習才是有意義的。

（王乃濤，淮安市實驗小學，223002）