位置伺服系統(tǒng)的自適應(yīng)積分滑?？刂蒲芯?/h1>
2012-04-26 02:59:12高遠(yuǎn)孔峰羅文廣譚光興
電氣傳動(dòng) 2012年5期
高遠(yuǎn)，孔峰，羅文廣，譚光興
（廣西工學(xué)院 電子信息與控制工程系，廣西 柳州 545006）
1 引言
伺服系統(tǒng)廣泛應(yīng)用于機(jī)器人裝置、數(shù)控機(jī)床等自動(dòng)化設(shè)備。伺服系統(tǒng)往往受到機(jī)械參數(shù)時(shí)變、外部擾動(dòng)或工作條件的不確定性影響?，F(xiàn)代伺服系統(tǒng)通常與計(jì)算機(jī)相結(jié)合，因此對(duì)于高性能的伺服系統(tǒng)，一般要求其具有精度高、無超調(diào)、響應(yīng)速度快且魯棒性好等特點(diǎn)。近年來，人們?yōu)樘岣咚欧到y(tǒng)的控制品質(zhì)，提出了一些有效的控制方法和技術(shù)［1－2］。
滑模變結(jié)構(gòu)控制是一種非線性魯棒控制器，具有算法簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)、魯棒性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，在伺服系統(tǒng)控制領(lǐng)域中具有良好的應(yīng)用前景。然而，由于滑?？刂葡到y(tǒng)存在切換開關(guān)非理想等因素的影響，會(huì)產(chǎn)生控制作用的抖振效應(yīng)。抖振效應(yīng)會(huì)增加機(jī)械磨損和能量消耗，甚至可能激發(fā)高頻未建模動(dòng)態(tài)等［3］。為提高滑模控制的性能品質(zhì)和降低控制抖振效應(yīng)，人們采用具有平滑特性的飽和函數(shù)或雙曲函數(shù)來代替具有開關(guān)特性的符號(hào)函數(shù)［4－5］，但單純的符號(hào)函數(shù)修正缺乏控制的自適應(yīng)性?；谧赃m應(yīng)律的滑模切換面、控制趨近律或與智能算法相結(jié)合的滑?？刂品椒ㄔ诤芏鄨?chǎng)合優(yōu)于傳統(tǒng)控制的效果，且具有較好的控制自適應(yīng)性［6－8］。
本文為提高滑動(dòng)模態(tài)中位置伺服系統(tǒng)的控制性能，研究采用比例積分微分滑模切換面，推導(dǎo)出滑?？刂破鞯牡刃Э刂破鞅磉_(dá)式，并提出一種具有自適應(yīng)律特性的切換控制器形式。理論上對(duì)滑模控制器的穩(wěn)定性及抖振效應(yīng)進(jìn)行了分析。采用英國(guó)Feedback公司生產(chǎn)的模塊化直流伺服系統(tǒng)MS－150開展實(shí)驗(yàn)研究。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：本文所提出的自適應(yīng)積分滑模控制器（adaptive integral sliding mode controller，ASMC＋I(xiàn)）相比傳統(tǒng)的滑?？刂破鳎╯liding mode controller，SMC）以及比例－積分－微分（PID）控制器而言，具有更好的控制性能，且較好地降低滑模控制所固有的抖振效應(yīng)。
2 直流伺服系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型
直流伺服系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示。通常其數(shù)學(xué)模型可表示為
式中：J為折算到電動(dòng)機(jī)軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；RM為電機(jī)阻尼系數(shù)；θ（t）為電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)角位置；TL為外部負(fù)載擾動(dòng)和非線性摩擦；TE為電機(jī)電磁轉(zhuǎn)矩。
當(dāng)輸入恰當(dāng)?shù)目刂齐娏鱥（t），電磁轉(zhuǎn)矩具有關(guān)系
式中：Kt為電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)矩系數(shù)。
將式（2）代入式（1）中并整理有
其中A＝－RM／JB＝Kt／J＞0C＝－1／J采用控制作用符號(hào)u（t）來表示電流i（t）。
圖1 直流伺服系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Block diagram of DC servo system
考慮實(shí)際伺服系統(tǒng)存在著電機(jī)參數(shù)、外部負(fù)載的時(shí)變性，非線性摩擦以及模型中不可預(yù)測(cè)的不確定項(xiàng)，那么電機(jī)伺服系統(tǒng)的實(shí)際模型可表示為
式中：ΔA和ΔB為由系統(tǒng)系數(shù)J，RM和Kt引起的參數(shù)變化；UT為由非理想電流、暫態(tài)過程中磁場(chǎng)定向控制或?qū)嶋H控制中非建模動(dòng)態(tài)特性引起的非建模不確定性；N（t）為上述所有不確定性的總和。
即N（t）為
假設(shè)｜N（t）｜≤Nm＞0，Nm是不確定性因素總和的上界。
當(dāng)轉(zhuǎn)角位置θ（t）跟蹤某給定的期望位置信號(hào)θr（t），引入跟蹤誤差e（t）
則可根據(jù)式（4）得到誤差方程
當(dāng)設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)目刂破鱱（t），使得當(dāng)t→∞時(shí)，e（t）→0，那么伺服系統(tǒng)的控制目標(biāo)將得以實(shí)現(xiàn)。
3 自適應(yīng)積分滑?？刂破髟O(shè)計(jì)
3.1 積分滑模函數(shù)
傳統(tǒng)SMC的滑模函數(shù)S（t）依賴于跟蹤誤差e（t）及其變化，它常表示為［9］
式中：n為被控系統(tǒng)的階數(shù)；λ為常數(shù)λ∈R＋。
對(duì)于二階系統(tǒng)（n＝2），通過控制所獲得S（t）＝0的解是與式（8）相聯(lián)系的二維相平面里通過原點(diǎn)的一條確定性直線。然而，當(dāng)存在干擾作用，誤差e（t）將不再與滑模面相吻合。由于在伺服系統(tǒng)和其他工業(yè)應(yīng)用的控制問題中，零穩(wěn)態(tài)誤差往往很重要。為了提高在干擾情況下零穩(wěn)態(tài)誤差的控制性能，本文對(duì)式（8）引入積分環(huán)節(jié)，即［10］
式中：ki是積分增益，且ki∈R＋。
引入積分環(huán)節(jié)后，當(dāng)n＝2，通過控制所得到S（t）＝0的解將是與式（9）相聯(lián)系的三維空間中通過原點(diǎn)的平面。
3.2 控制器設(shè)計(jì)
滑?？刂破鱱（t）通常主要包括針對(duì)確定性系統(tǒng)在無干擾情況下的等效控制ueq（t）和用于抑制不確定性干擾因素作用的切換控制us（t）兩部分。即
針對(duì)上述伺服系統(tǒng)的控制問題，在忽略不確定性因素情況下N（t）＝0，且當(dāng)積分滑模函數(shù)滿足關(guān)系：
結(jié)合式（7）可以得到等效控制器
在無干擾情況下，ueq（t）的作用可保證系統(tǒng)跟蹤誤差e（t）從初始狀態(tài)趨向積分滑模面S（t）＝0。當(dāng)系統(tǒng)存在不確定性因素影響時(shí)，等效控制無法保證系統(tǒng)的控制穩(wěn)定性，因此需要切換控制us（t）來抑制干擾的作用。
傳統(tǒng)的切換控制器形式大都為
式中：ks為切換增益，ks∈R＋；sgn（·）是符號(hào)函數(shù)。
雖然傳統(tǒng)的滑模切換控制器能保證伺服系統(tǒng)的滑動(dòng)模態(tài)，并抑制外部干擾，但符號(hào)函數(shù)的非連續(xù)性所帶來控制的抖振效應(yīng)會(huì)造成系統(tǒng)機(jī)械損壞，甚至?xí)?dǎo)致控制系統(tǒng)失穩(wěn)。人們雖然采用具有平滑特性的飽和函數(shù)或雙曲函數(shù)來代替開關(guān)特性的符號(hào)函數(shù)，然而單純的符號(hào)函數(shù)修正缺乏控制的自適應(yīng)性，且消除抖振效應(yīng)的效果有限。本文在文獻(xiàn)［5］基礎(chǔ)上，采用雙曲函數(shù)tanh（·）代替?zhèn)鹘y(tǒng)的符號(hào)函數(shù)sgn（·），提出一種具有自適應(yīng)特性的切換控制器
式中：切換控制增益ks為大于零的常數(shù)；Ω∈R＋是正常數(shù)，它可視為影響控制穩(wěn)態(tài)精度和魯棒性的切換帶區(qū)域?qū)挾龋?］；ε為大于1的實(shí)數(shù)。
式（14）具有自適應(yīng)規(guī)律，能反映控制作用隨著｜S（t）｜大小進(jìn)行調(diào)節(jié)的關(guān)系。｜S（t）｜越大，表明偏離滑模面距離越遠(yuǎn)，則需增大控制作用us（t）；相反，｜S（t）｜越小，表明趨向滑模面距離越近，則需減小控制作用us（t）；當(dāng)｜S（t）｜＝0，則應(yīng)有us（t）＝0。因此基于這種自適應(yīng)關(guān)系，當(dāng)實(shí)現(xiàn)控制目標(biāo)時(shí)，切換控制的抖振效應(yīng)降低到最小。根據(jù)式（10），滑?？刂破骺杀硎緸?/p>
3.3 控制器穩(wěn)定性分析
定義系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)
當(dāng)S（t）≠0，V（t）＞0；僅當(dāng)S（t）＝0時(shí)，V（t）＝0。在控制作用下，結(jié)合式（7）、式（10）和式（15）有
由于｜tanh［S（t）／Ω］｜≤1，可將ε｜tanh［S（t）／Ω］｜按泰勒級(jí)數(shù)展開
取展開式前2項(xiàng)，并利用xtanh（x）≤xsgn（x）＝｜x｜，且當(dāng)ks＞Nm／（Blnε）＞0時(shí)，則有
所以采用式（15）形式的滑?？刂破鳎瑵M足Lyapunov控制穩(wěn)定性定理，即也滿足滑模面S（t）＝0的到達(dá)條件［3－4］。
4 實(shí)驗(yàn)研究
為驗(yàn)證控制方法的有效性及可實(shí)現(xiàn)性，本文借助模塊化直流伺服系統(tǒng)裝置MS－150開展實(shí)驗(yàn)研究。
4.1 模塊化直流伺服系統(tǒng)MS－150的簡(jiǎn)要介紹
英國(guó)Feedback公司生產(chǎn)的模塊化直流伺服平臺(tái)MS－150是一種適于控制理論教學(xué)和技術(shù)開發(fā)的實(shí)驗(yàn)設(shè)備。它與個(gè)人計(jì)算機(jī)（PC機(jī)）相結(jié)合所構(gòu)成的實(shí)驗(yàn)設(shè)置框圖如圖2所示。圖2中的被控對(duì)象位于虛線框內(nèi)，它由Feedback公司提供的電壓衰減裝置、前置運(yùn)放、伺服放大器、永磁直流電動(dòng)機(jī)、減速裝置、轉(zhuǎn)角位置轉(zhuǎn)換器（輸出電位計(jì)）和電磁制動(dòng)器等模塊化器件構(gòu)成。被控對(duì)象的實(shí)際轉(zhuǎn)角θ經(jīng)過軸轉(zhuǎn)位置傳感器OP150K后以電壓信號(hào)形式輸出，被控系統(tǒng)的控制輸入電壓u（t）通過計(jì)算機(jī)控制器得到。
圖2 實(shí)驗(yàn)設(shè)置框圖Fig.2 Block diagram of experiment setup
在實(shí)驗(yàn)平臺(tái)中，伺服放大器SA150D是1個(gè)雙端輸入和輸出的功率放大器，它須與1個(gè)單端輸入、雙端輸出的前置放大器PA15C相連接。前置放大器PA15C的輸入電壓范圍在－0.25～0.25
由式（17）可知相應(yīng)的系統(tǒng)參數(shù)A＝－10，B＝183。
4.2 實(shí)驗(yàn)方案設(shè)計(jì)
基于 MS－150實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，采用 Matlab／Simulink工具箱設(shè)計(jì)出的實(shí)時(shí)控制模型圖見圖3。由圖3可知，采集到的轉(zhuǎn)角信號(hào)通過PCI1711接口卡進(jìn)入PC機(jī)控制模塊，并通過角度轉(zhuǎn)換器把角度編碼變換為模擬轉(zhuǎn)角θ（t），θ（t）與期望θr（t）相比較得到轉(zhuǎn)角誤差e（t），e（t）通過微分器得到轉(zhuǎn)速誤差信號(hào)。為防止的高頻成份易造成響應(yīng)過程提前，導(dǎo)致系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性降低，實(shí)驗(yàn)中以通過一個(gè)二階低通濾波器的信號(hào)來代替理論的轉(zhuǎn)速誤差信號(hào)。對(duì)應(yīng)控制方法的控制器模塊產(chǎn)生的控制激勵(lì)u（t），它通過PCI1711接口卡作用于PC機(jī)外部的直流伺服電機(jī)系統(tǒng)。V，若輸入電壓超出該范圍，則前置放大器和伺服放大器將工作在飽和狀態(tài)。為提高容許電壓范圍，因此在前置放大器前端引入增益因子為0.1的衰減器AU150B，則被控系統(tǒng)輸入控制信號(hào)的最大電壓為2.5V。PC機(jī)承擔(dān)提供期望轉(zhuǎn)角位置、數(shù)據(jù)獲取、實(shí)時(shí)控制和系統(tǒng)監(jiān)控等任務(wù)，它通過接口卡PCI1711與外部硬件進(jìn)行連接通信。A／D轉(zhuǎn)換器、D／A轉(zhuǎn)換器以及測(cè)量標(biāo)定電路集成在轉(zhuǎn)換電路裝置33－301，通過該裝置可完成相應(yīng)信號(hào)類型的轉(zhuǎn)換。
對(duì)于MS－150與PC機(jī)相結(jié)合的計(jì)算機(jī)伺服控制系統(tǒng)，它的實(shí)時(shí)控制程序既可基于Matlab／Simulink環(huán)境建立，也可以基于C／C＋＋語(yǔ)言編程實(shí)現(xiàn)。本文利用Matlab／Simulink環(huán)境實(shí)現(xiàn)上述控制方法。在空載情況下，MS－150中被控伺服電機(jī)的數(shù)學(xué)模型G（s）可通過辨識(shí)得到［11］
圖3 基于MS－150的實(shí)時(shí)控制模型圖Fig.3 Real－time control model based on MS－150
4.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析
為驗(yàn)證本文所提出ASMC＋I(xiàn)控制方法的優(yōu)越性，實(shí)驗(yàn)中將其分別與PID控制、傳統(tǒng)的SMC控制進(jìn)行比較研究。對(duì)于式（17）的被控模型，其PID控制器形式為［11］
采用式（9）和式（13），并選擇閾值為±1的飽和函數(shù)代替式（13）的符號(hào)函數(shù)設(shè)計(jì)出傳統(tǒng)的滑?？刂破鳎⊿MC），該控制器取滑模函數(shù)的參數(shù)λ＝20，ki＝0，切換控制器的增益參數(shù)為ks＝250。對(duì)于式（15）的ASMC＋I(xiàn)控制，積分滑模函數(shù)中λ＝20，ki＝0.6；切換控制器的增益參數(shù)為ks＝250，滑模帶厚度Ω＝30，ε＝100。實(shí)驗(yàn)選擇采樣頻率1kHz，并分別采用單位階躍信號(hào)和頻率為0.5 rad／s，幅度為1的正弦信號(hào)作為轉(zhuǎn)角期望位置。當(dāng)實(shí)驗(yàn)采用單位階躍信號(hào)作為期望位置時(shí)，單位階躍信號(hào)的導(dǎo)數(shù)被認(rèn)為是零。
分別采用PID，SMC和ASMC＋I(xiàn)控制方法，伺服系統(tǒng)對(duì)階躍信號(hào)的響應(yīng)曲線圖見圖4。由圖4可見：對(duì)于PID控制的階躍響應(yīng)，其超調(diào)量較大，穩(wěn)態(tài)收斂時(shí)間較長(zhǎng)，控制精度稍遜；對(duì)于SMC控制，控制雖無超調(diào)，但上升時(shí)間幾乎與PID控制相同；對(duì)于ASMC＋I(xiàn)控制，控制性能最好。
圖4 不同控制方法的階躍響應(yīng)曲線圖Fig.4 Step response curves for different control methods
選擇期望位置為正弦信號(hào)θr（t）＝sin（0.5t），讓PID控制器，SMC，ASMC＋I(xiàn)分別應(yīng)用于實(shí)驗(yàn)設(shè)備。為驗(yàn)證各控制器的控制魯棒性，伺服系統(tǒng)的控制輸入加入幅度為1mV、均值為零、均勻分布的噪聲以作為外界干擾對(duì)控制的影響。各控制實(shí)驗(yàn)結(jié)果分別如圖5、圖6和圖7所示。由圖5～圖7比較看出，PID控制雖然能保證穩(wěn)態(tài)誤差在允許的范圍內(nèi)（e（t）≤5%），但控制精度遜于滑?？刂?，且控制器輸出電壓幅度較大；傳統(tǒng)的SMC控制的控制精度有所提高，但輸出控制電壓抖振效應(yīng)明顯；ASMC＋I(xiàn)控制不僅可得到較為理想的跟蹤性能，且能較好地削弱控制的抖振現(xiàn)象，使輸出電壓相對(duì)光滑。
圖5 PID控制的實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.5 Experimental results of PID control
圖6 SMC控制的實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.6 Experimental results of SMC control
圖7 ASMC＋I(xiàn)控制的實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.7 Experimental results of ASMC＋I(xiàn) control
5 結(jié)論
本文提出位置伺服系統(tǒng)的一種自適應(yīng)積分滑模控制方法，并理論證明其控制穩(wěn)定性，并借助模塊化伺服系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，開展控制實(shí)驗(yàn)研究。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：相比傳統(tǒng)的PID控制和滑?？刂贫?，該自適應(yīng)積分滑?？刂品椒ň哂衅鹂乜臁⒕雀?、魯棒性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，且較好地削弱傳統(tǒng)滑?？刂破魉逃械亩墩裥?yīng)。
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修改稿日期：2011－12－25
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高遠(yuǎn)，孔峰，羅文廣，譚光興
（廣西工學(xué)院 電子信息與控制工程系，廣西 柳州 545006）
1 引言
伺服系統(tǒng)廣泛應(yīng)用于機(jī)器人裝置、數(shù)控機(jī)床等自動(dòng)化設(shè)備。伺服系統(tǒng)往往受到機(jī)械參數(shù)時(shí)變、外部擾動(dòng)或工作條件的不確定性影響?，F(xiàn)代伺服系統(tǒng)通常與計(jì)算機(jī)相結(jié)合，因此對(duì)于高性能的伺服系統(tǒng)，一般要求其具有精度高、無超調(diào)、響應(yīng)速度快且魯棒性好等特點(diǎn)。近年來，人們?yōu)樘岣咚欧到y(tǒng)的控制品質(zhì)，提出了一些有效的控制方法和技術(shù)［1－2］。
滑模變結(jié)構(gòu)控制是一種非線性魯棒控制器，具有算法簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)、魯棒性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，在伺服系統(tǒng)控制領(lǐng)域中具有良好的應(yīng)用前景。然而，由于滑?？刂葡到y(tǒng)存在切換開關(guān)非理想等因素的影響，會(huì)產(chǎn)生控制作用的抖振效應(yīng)。抖振效應(yīng)會(huì)增加機(jī)械磨損和能量消耗，甚至可能激發(fā)高頻未建模動(dòng)態(tài)等［3］。為提高滑模控制的性能品質(zhì)和降低控制抖振效應(yīng)，人們采用具有平滑特性的飽和函數(shù)或雙曲函數(shù)來代替具有開關(guān)特性的符號(hào)函數(shù)［4－5］，但單純的符號(hào)函數(shù)修正缺乏控制的自適應(yīng)性?；谧赃m應(yīng)律的滑模切換面、控制趨近律或與智能算法相結(jié)合的滑?？刂品椒ㄔ诤芏鄨?chǎng)合優(yōu)于傳統(tǒng)控制的效果，且具有較好的控制自適應(yīng)性［6－8］。
本文為提高滑動(dòng)模態(tài)中位置伺服系統(tǒng)的控制性能，研究采用比例積分微分滑模切換面，推導(dǎo)出滑?？刂破鞯牡刃Э刂破鞅磉_(dá)式，并提出一種具有自適應(yīng)律特性的切換控制器形式。理論上對(duì)滑模控制器的穩(wěn)定性及抖振效應(yīng)進(jìn)行了分析。采用英國(guó)Feedback公司生產(chǎn)的模塊化直流伺服系統(tǒng)MS－150開展實(shí)驗(yàn)研究。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：本文所提出的自適應(yīng)積分滑模控制器（adaptive integral sliding mode controller，ASMC＋I(xiàn)）相比傳統(tǒng)的滑?？刂破鳎╯liding mode controller，SMC）以及比例－積分－微分（PID）控制器而言，具有更好的控制性能，且較好地降低滑模控制所固有的抖振效應(yīng)。
2 直流伺服系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型
直流伺服系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示。通常其數(shù)學(xué)模型可表示為
式中：J為折算到電動(dòng)機(jī)軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；RM為電機(jī)阻尼系數(shù)；θ（t）為電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)角位置；TL為外部負(fù)載擾動(dòng)和非線性摩擦；TE為電機(jī)電磁轉(zhuǎn)矩。
當(dāng)輸入恰當(dāng)?shù)目刂齐娏鱥（t），電磁轉(zhuǎn)矩具有關(guān)系
式中：Kt為電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)矩系數(shù)。
將式（2）代入式（1）中并整理有
其中A＝－RM／JB＝Kt／J＞0C＝－1／J采用控制作用符號(hào)u（t）來表示電流i（t）。
圖1 直流伺服系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Block diagram of DC servo system
考慮實(shí)際伺服系統(tǒng)存在著電機(jī)參數(shù)、外部負(fù)載的時(shí)變性，非線性摩擦以及模型中不可預(yù)測(cè)的不確定項(xiàng)，那么電機(jī)伺服系統(tǒng)的實(shí)際模型可表示為
式中：ΔA和ΔB為由系統(tǒng)系數(shù)J，RM和Kt引起的參數(shù)變化；UT為由非理想電流、暫態(tài)過程中磁場(chǎng)定向控制或?qū)嶋H控制中非建模動(dòng)態(tài)特性引起的非建模不確定性；N（t）為上述所有不確定性的總和。
即N（t）為
假設(shè)｜N（t）｜≤Nm＞0，Nm是不確定性因素總和的上界。
當(dāng)轉(zhuǎn)角位置θ（t）跟蹤某給定的期望位置信號(hào)θr（t），引入跟蹤誤差e（t）
則可根據(jù)式（4）得到誤差方程
當(dāng)設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)目刂破鱱（t），使得當(dāng)t→∞時(shí)，e（t）→0，那么伺服系統(tǒng)的控制目標(biāo)將得以實(shí)現(xiàn)。
3 自適應(yīng)積分滑?？刂破髟O(shè)計(jì)
3.1 積分滑模函數(shù)
傳統(tǒng)SMC的滑模函數(shù)S（t）依賴于跟蹤誤差e（t）及其變化，它常表示為［9］
式中：n為被控系統(tǒng)的階數(shù)；λ為常數(shù)λ∈R＋。
對(duì)于二階系統(tǒng)（n＝2），通過控制所獲得S（t）＝0的解是與式（8）相聯(lián)系的二維相平面里通過原點(diǎn)的一條確定性直線。然而，當(dāng)存在干擾作用，誤差e（t）將不再與滑模面相吻合。由于在伺服系統(tǒng)和其他工業(yè)應(yīng)用的控制問題中，零穩(wěn)態(tài)誤差往往很重要。為了提高在干擾情況下零穩(wěn)態(tài)誤差的控制性能，本文對(duì)式（8）引入積分環(huán)節(jié)，即［10］
式中：ki是積分增益，且ki∈R＋。
引入積分環(huán)節(jié)后，當(dāng)n＝2，通過控制所得到S（t）＝0的解將是與式（9）相聯(lián)系的三維空間中通過原點(diǎn)的平面。
3.2 控制器設(shè)計(jì)
滑?？刂破鱱（t）通常主要包括針對(duì)確定性系統(tǒng)在無干擾情況下的等效控制ueq（t）和用于抑制不確定性干擾因素作用的切換控制us（t）兩部分。即
針對(duì)上述伺服系統(tǒng)的控制問題，在忽略不確定性因素情況下N（t）＝0，且當(dāng)積分滑模函數(shù)滿足關(guān)系：
結(jié)合式（7）可以得到等效控制器
在無干擾情況下，ueq（t）的作用可保證系統(tǒng)跟蹤誤差e（t）從初始狀態(tài)趨向積分滑模面S（t）＝0。當(dāng)系統(tǒng)存在不確定性因素影響時(shí)，等效控制無法保證系統(tǒng)的控制穩(wěn)定性，因此需要切換控制us（t）來抑制干擾的作用。
傳統(tǒng)的切換控制器形式大都為
式中：ks為切換增益，ks∈R＋；sgn（·）是符號(hào)函數(shù)。
雖然傳統(tǒng)的滑模切換控制器能保證伺服系統(tǒng)的滑動(dòng)模態(tài)，并抑制外部干擾，但符號(hào)函數(shù)的非連續(xù)性所帶來控制的抖振效應(yīng)會(huì)造成系統(tǒng)機(jī)械損壞，甚至?xí)?dǎo)致控制系統(tǒng)失穩(wěn)。人們雖然采用具有平滑特性的飽和函數(shù)或雙曲函數(shù)來代替開關(guān)特性的符號(hào)函數(shù)，然而單純的符號(hào)函數(shù)修正缺乏控制的自適應(yīng)性，且消除抖振效應(yīng)的效果有限。本文在文獻(xiàn)［5］基礎(chǔ)上，采用雙曲函數(shù)tanh（·）代替?zhèn)鹘y(tǒng)的符號(hào)函數(shù)sgn（·），提出一種具有自適應(yīng)特性的切換控制器
式中：切換控制增益ks為大于零的常數(shù)；Ω∈R＋是正常數(shù)，它可視為影響控制穩(wěn)態(tài)精度和魯棒性的切換帶區(qū)域?qū)挾龋?］；ε為大于1的實(shí)數(shù)。
式（14）具有自適應(yīng)規(guī)律，能反映控制作用隨著｜S（t）｜大小進(jìn)行調(diào)節(jié)的關(guān)系。｜S（t）｜越大，表明偏離滑模面距離越遠(yuǎn)，則需增大控制作用us（t）；相反，｜S（t）｜越小，表明趨向滑模面距離越近，則需減小控制作用us（t）；當(dāng)｜S（t）｜＝0，則應(yīng)有us（t）＝0。因此基于這種自適應(yīng)關(guān)系，當(dāng)實(shí)現(xiàn)控制目標(biāo)時(shí)，切換控制的抖振效應(yīng)降低到最小。根據(jù)式（10），滑?？刂破骺杀硎緸?/p>
3.3 控制器穩(wěn)定性分析
定義系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)
當(dāng)S（t）≠0，V（t）＞0；僅當(dāng)S（t）＝0時(shí)，V（t）＝0。在控制作用下，結(jié)合式（7）、式（10）和式（15）有
由于｜tanh［S（t）／Ω］｜≤1，可將ε｜tanh［S（t）／Ω］｜按泰勒級(jí)數(shù)展開
取展開式前2項(xiàng)，并利用xtanh（x）≤xsgn（x）＝｜x｜，且當(dāng)ks＞Nm／（Blnε）＞0時(shí)，則有
所以采用式（15）形式的滑?？刂破鳎瑵M足Lyapunov控制穩(wěn)定性定理，即也滿足滑模面S（t）＝0的到達(dá)條件［3－4］。
4 實(shí)驗(yàn)研究
為驗(yàn)證控制方法的有效性及可實(shí)現(xiàn)性，本文借助模塊化直流伺服系統(tǒng)裝置MS－150開展實(shí)驗(yàn)研究。
4.1 模塊化直流伺服系統(tǒng)MS－150的簡(jiǎn)要介紹
英國(guó)Feedback公司生產(chǎn)的模塊化直流伺服平臺(tái)MS－150是一種適于控制理論教學(xué)和技術(shù)開發(fā)的實(shí)驗(yàn)設(shè)備。它與個(gè)人計(jì)算機(jī)（PC機(jī)）相結(jié)合所構(gòu)成的實(shí)驗(yàn)設(shè)置框圖如圖2所示。圖2中的被控對(duì)象位于虛線框內(nèi)，它由Feedback公司提供的電壓衰減裝置、前置運(yùn)放、伺服放大器、永磁直流電動(dòng)機(jī)、減速裝置、轉(zhuǎn)角位置轉(zhuǎn)換器（輸出電位計(jì)）和電磁制動(dòng)器等模塊化器件構(gòu)成。被控對(duì)象的實(shí)際轉(zhuǎn)角θ經(jīng)過軸轉(zhuǎn)位置傳感器OP150K后以電壓信號(hào)形式輸出，被控系統(tǒng)的控制輸入電壓u（t）通過計(jì)算機(jī)控制器得到。
圖2 實(shí)驗(yàn)設(shè)置框圖Fig.2 Block diagram of experiment setup
在實(shí)驗(yàn)平臺(tái)中，伺服放大器SA150D是1個(gè)雙端輸入和輸出的功率放大器，它須與1個(gè)單端輸入、雙端輸出的前置放大器PA15C相連接。前置放大器PA15C的輸入電壓范圍在－0.25～0.25
由式（17）可知相應(yīng)的系統(tǒng)參數(shù)A＝－10，B＝183。
4.2 實(shí)驗(yàn)方案設(shè)計(jì)
基于 MS－150實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，采用 Matlab／Simulink工具箱設(shè)計(jì)出的實(shí)時(shí)控制模型圖見圖3。由圖3可知，采集到的轉(zhuǎn)角信號(hào)通過PCI1711接口卡進(jìn)入PC機(jī)控制模塊，并通過角度轉(zhuǎn)換器把角度編碼變換為模擬轉(zhuǎn)角θ（t），θ（t）與期望θr（t）相比較得到轉(zhuǎn)角誤差e（t），e（t）通過微分器得到轉(zhuǎn)速誤差信號(hào)。為防止的高頻成份易造成響應(yīng)過程提前，導(dǎo)致系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性降低，實(shí)驗(yàn)中以通過一個(gè)二階低通濾波器的信號(hào)來代替理論的轉(zhuǎn)速誤差信號(hào)。對(duì)應(yīng)控制方法的控制器模塊產(chǎn)生的控制激勵(lì)u（t），它通過PCI1711接口卡作用于PC機(jī)外部的直流伺服電機(jī)系統(tǒng)。V，若輸入電壓超出該范圍，則前置放大器和伺服放大器將工作在飽和狀態(tài)。為提高容許電壓范圍，因此在前置放大器前端引入增益因子為0.1的衰減器AU150B，則被控系統(tǒng)輸入控制信號(hào)的最大電壓為2.5V。PC機(jī)承擔(dān)提供期望轉(zhuǎn)角位置、數(shù)據(jù)獲取、實(shí)時(shí)控制和系統(tǒng)監(jiān)控等任務(wù)，它通過接口卡PCI1711與外部硬件進(jìn)行連接通信。A／D轉(zhuǎn)換器、D／A轉(zhuǎn)換器以及測(cè)量標(biāo)定電路集成在轉(zhuǎn)換電路裝置33－301，通過該裝置可完成相應(yīng)信號(hào)類型的轉(zhuǎn)換。
對(duì)于MS－150與PC機(jī)相結(jié)合的計(jì)算機(jī)伺服控制系統(tǒng)，它的實(shí)時(shí)控制程序既可基于Matlab／Simulink環(huán)境建立，也可以基于C／C＋＋語(yǔ)言編程實(shí)現(xiàn)。本文利用Matlab／Simulink環(huán)境實(shí)現(xiàn)上述控制方法。在空載情況下，MS－150中被控伺服電機(jī)的數(shù)學(xué)模型G（s）可通過辨識(shí)得到［11］
圖3 基于MS－150的實(shí)時(shí)控制模型圖Fig.3 Real－time control model based on MS－150
4.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析
為驗(yàn)證本文所提出ASMC＋I(xiàn)控制方法的優(yōu)越性，實(shí)驗(yàn)中將其分別與PID控制、傳統(tǒng)的SMC控制進(jìn)行比較研究。對(duì)于式（17）的被控模型，其PID控制器形式為［11］
采用式（9）和式（13），并選擇閾值為±1的飽和函數(shù)代替式（13）的符號(hào)函數(shù)設(shè)計(jì)出傳統(tǒng)的滑?？刂破鳎⊿MC），該控制器取滑模函數(shù)的參數(shù)λ＝20，ki＝0，切換控制器的增益參數(shù)為ks＝250。對(duì)于式（15）的ASMC＋I(xiàn)控制，積分滑模函數(shù)中λ＝20，ki＝0.6；切換控制器的增益參數(shù)為ks＝250，滑模帶厚度Ω＝30，ε＝100。實(shí)驗(yàn)選擇采樣頻率1kHz，并分別采用單位階躍信號(hào)和頻率為0.5 rad／s，幅度為1的正弦信號(hào)作為轉(zhuǎn)角期望位置。當(dāng)實(shí)驗(yàn)采用單位階躍信號(hào)作為期望位置時(shí)，單位階躍信號(hào)的導(dǎo)數(shù)被認(rèn)為是零。
分別采用PID，SMC和ASMC＋I(xiàn)控制方法，伺服系統(tǒng)對(duì)階躍信號(hào)的響應(yīng)曲線圖見圖4。由圖4可見：對(duì)于PID控制的階躍響應(yīng)，其超調(diào)量較大，穩(wěn)態(tài)收斂時(shí)間較長(zhǎng)，控制精度稍遜；對(duì)于SMC控制，控制雖無超調(diào)，但上升時(shí)間幾乎與PID控制相同；對(duì)于ASMC＋I(xiàn)控制，控制性能最好。
圖4 不同控制方法的階躍響應(yīng)曲線圖Fig.4 Step response curves for different control methods
選擇期望位置為正弦信號(hào)θr（t）＝sin（0.5t），讓PID控制器，SMC，ASMC＋I(xiàn)分別應(yīng)用于實(shí)驗(yàn)設(shè)備。為驗(yàn)證各控制器的控制魯棒性，伺服系統(tǒng)的控制輸入加入幅度為1mV、均值為零、均勻分布的噪聲以作為外界干擾對(duì)控制的影響。各控制實(shí)驗(yàn)結(jié)果分別如圖5、圖6和圖7所示。由圖5～圖7比較看出，PID控制雖然能保證穩(wěn)態(tài)誤差在允許的范圍內(nèi)（e（t）≤5%），但控制精度遜于滑?？刂?，且控制器輸出電壓幅度較大；傳統(tǒng)的SMC控制的控制精度有所提高，但輸出控制電壓抖振效應(yīng)明顯；ASMC＋I(xiàn)控制不僅可得到較為理想的跟蹤性能，且能較好地削弱控制的抖振現(xiàn)象，使輸出電壓相對(duì)光滑。
圖5 PID控制的實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.5 Experimental results of PID control
圖6 SMC控制的實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.6 Experimental results of SMC control
圖7 ASMC＋I(xiàn)控制的實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.7 Experimental results of ASMC＋I(xiàn) control
5 結(jié)論
本文提出位置伺服系統(tǒng)的一種自適應(yīng)積分滑模控制方法，并理論證明其控制穩(wěn)定性，并借助模塊化伺服系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，開展控制實(shí)驗(yàn)研究。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：相比傳統(tǒng)的PID控制和滑?？刂贫?，該自適應(yīng)積分滑?？刂品椒ň哂衅鹂乜臁⒕雀?、魯棒性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，且較好地削弱傳統(tǒng)滑?？刂破魉逃械亩墩裥?yīng)。
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修改稿日期：2011－12－25
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