毛 昕， 楊靜林， 馬明旭

（東北大學(xué)機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng) 110004）

曲面片的可展切曲面及其映射分析

毛 昕， 楊靜林， 馬明旭

（東北大學(xué)機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng) 110004）

論文以微分幾何可展曲面理論為基礎(chǔ)，提出了過(guò)曲面曲線構(gòu)造其可展切曲面的方法，得出了可展切曲面的表達(dá)形式，對(duì)可展切曲面進(jìn)行了分類，通過(guò)建立兩曲面間的映射關(guān)系，實(shí)現(xiàn)了它們間整體與局部的映射分析，較準(zhǔn)確地把握曲面的變形情況，并通過(guò)實(shí)例對(duì)方法進(jìn)行了驗(yàn)證。曲面片可展切曲面的方法可以應(yīng)用于曲面設(shè)計(jì)、曲面近似展開和紋理映射等方面。

幾何計(jì)算；可展切曲面；曲面映射；變形分析

可展曲面在工程中有著廣泛的應(yīng)用，可展曲面的構(gòu)造與逼近近年來(lái)得到廣泛和深入的研究[1~6]。在曲面結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，經(jīng)常遇到過(guò)曲面上一條曲線設(shè)計(jì)與該曲面相切曲面的情況，若相切曲面為可展曲面，會(huì)給加工制造帶來(lái)方便。在不可展曲面近似展開時(shí)，往往用可展曲面對(duì)其進(jìn)行局部置換，若可展曲面與不可展曲面有很好的接近程度，便會(huì)提高近似展開的精度。另外在近似展開的誤差分析、紋理映射的變形控制等場(chǎng)合，還需要建立兩塊曲面間的映射分析，掌握變形情況。文獻(xiàn)[7-9]在回轉(zhuǎn)曲面近似展開的誤差分析中，利用回轉(zhuǎn)曲面的可展切柱面進(jìn)行展開并分析展開誤差。在此基礎(chǔ)上，本文提出了過(guò)曲面上曲線構(gòu)造其可展切曲面的一般性方法，得出了可展切曲面的表達(dá)形式，并通過(guò)建立兩曲面間的映射關(guān)系，實(shí)現(xiàn)了它們間的映射分析。

1 可展切曲面的構(gòu)造

1.1 過(guò)曲面曲線的可展切曲面

如圖1所示，曲面Σ的方程為：r =r( u,v)，Σ上的任意曲線Γ對(duì)應(yīng)參數(shù) u = u(t),v =v(t)，其方程為 r =r (u (t),v(t) ) =r( t )。在Γ曲線上任意點(diǎn)t處，Σ有確定的切平面 St；隨參數(shù)t的變化，沿曲線Γ形成一個(gè)切平面族

圖1 曲面片及其可展切曲面

式中： n( t)為Σ在t處的單位法矢，R為Σ在t處的切平面矢量， p(t)為原點(diǎn)到該切平面的距離。一般地，{St}非平行面族和共軸面族，于是{St}存在一個(gè)包絡(luò)曲面 Σ1。因?yàn)?Σ1上的點(diǎn)同時(shí)必為{St}中某個(gè)平面上的點(diǎn)，即 Σ1上的點(diǎn)均滿足式（1）。對(duì)式（1）取微分有(R ?n′(t) ?p′(t)) dt+ n( t)? d( R) =0，因?yàn)?n(t)? d (R) = 0, dt ≠0，所以(R ?n′ (t) ? p′(t)) =0，于是 Σ1上的點(diǎn)應(yīng)同時(shí)滿足

從式（2）中消去參數(shù) t，即得曲面 Σ1。下面證明 Σ1為直紋可展曲面。

在{St}中取平面 St:n(t) ? R ? p(t) =0和St+Δt:n (t +Δt ) ? R ? p(t +Δt )=0，兩平面相交于一條直線，顯然這條直線也在平面上。當(dāng) Δ t→ 0，平面 St′′→ St′ : n ′(t)?R?p′(t) = 0，這時(shí)，相交直線趨向它的極限位置Lt， Lt稱為{St}在 St上的特征線。因?yàn)?Lt滿足式（2），所以 Lt? Σ1；又因?yàn)?Lt在 St上，所以St沿 Lt與 Σ1相切。由連續(xù)性可知，Σ1是單參數(shù)特征線族{Lt}的集合，即 Σ1是直紋曲面， Lt是Σ1的直素線。

設(shè)沿特征線 Lt方向的單位矢量為 l( t)（見圖2），這時(shí)， Σ1的方程可寫為

圖2 可展切曲面的表達(dá)

即 Σ1為可展曲面[10]。

由前面可知 Σ1的法矢為 n (t,w ) =(r′(t)+ wl′ (t) )× l( t)，且其方向不隨w的值而改變。又由于(r ′ (t) ,l( t) ,l′ (t )) =0，所以 l′ (t)、 r′(t)和l( t)三矢量共面且均在切平面 St內(nèi)，因此在Γ曲線上任意參數(shù)t處，曲面Σ和 Σ1的法矢共線，即具有公共的切平面，因而Σ和 Σ1兩曲面沿Γ曲線相切。

于是，對(duì)于曲面Σ，沿其上任意曲線Γ:r = r (u(t),v(t) ) =r( t)，存在一可展曲面 Σ1沿曲線Γ與Σ相切，稱 Σ1為Σ的可展切曲面。

1.2 可展切曲面的表達(dá)與分類

對(duì)于曲面 r =r( u,v)，沿其上曲線Γ（ u = u(t),v = v(t) ,r =r( t)），可展切曲面 Σ1可直接用式（3）來(lái)求取，式中

即

曲面 Σ1的種類可用直素線方向的單位矢量 l( t)的情況來(lái)劃分。當(dāng) lt為常矢量時(shí)，Σ1一般為柱面，特殊地，若 r( t)為平面曲線，且 lt在曲線平面內(nèi)，或 r( t)為直線， lt不與 r( t)同向，這時(shí) Σ1為平面；若 r( t)為直線，且 lt與 r( t)同向，這時(shí)，{St}為過(guò) r( t)的面束，Σ1退化為與 r( t)共線的直線。當(dāng) lt不是常矢量時(shí)，若 lt交于一點(diǎn)，總存在過(guò)該點(diǎn)的常矢量 r，使 r1(t,w)= r +wl( t)，這時(shí)， Σ1為錐面；若 lt不交于一點(diǎn)，則存在數(shù)量函數(shù) λ( t)，使 l( t) =λ (t)r′(t)，即 lt為 r( t)在t處的切矢，這時(shí)，Σ1為切線曲面，r(t)即為切線曲面的脊線。

2 可展切曲面與原曲面間的映射與分析

2.1 曲面間的映射

應(yīng)用中有時(shí)要建立可展切曲面1Σ 與原曲面Σ間的映射關(guān)系并分析兩曲面間的變形情況。圖3中，Σ上的點(diǎn)A對(duì)應(yīng)1Σ 上的點(diǎn)A1，如果這種對(duì)應(yīng)是一一的和連續(xù)的，便確定了相應(yīng)的映射關(guān)系。為便于分析，可以通過(guò)參數(shù)變換使兩曲面定義在相同的參數(shù)域上，得到曲面對(duì) (,)uvr 和1(,)uvr 或 (,)twr 和1(,)twr 。參數(shù)間的函數(shù)關(guān)系一般要根據(jù)映射點(diǎn)間的幾何關(guān)系求得，曲面采用不同的參數(shù)域會(huì)有不同的參數(shù)曲線。

圖3 曲面片與其可展切曲面間的映射

2.2 映射分析

2.2.1 整體映射分析

整體映射分析從整體上度量?jī)汕骈g幾何要素的相對(duì)變化情況。

1） 相對(duì)參數(shù)曲線長(zhǎng)度變化

式中，L和1L分別為曲面Σ和1Σ 上對(duì)應(yīng)參數(shù)曲線的長(zhǎng)度。

2） 相對(duì)面積變化

式中，S和1S分別為曲面Σ和1Σ 上對(duì)應(yīng)區(qū)域的面積。

3） 相對(duì)參數(shù)曲線交角變化

式中，A和1A分別為曲面Σ和1Σ 上對(duì)應(yīng)參數(shù)曲線的交角。

2.2.2 局部映射分析

局部映射分析通過(guò)度量一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在對(duì)應(yīng)方向上微分長(zhǎng)度的變化，來(lái)更深入地揭示兩曲面間的變形情況。首先引入長(zhǎng)度比的概念

式中，ds和1ds分別為曲面Σ和1Σ 在對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的微分弧長(zhǎng)，E、F、G和E1、F1、G1分別為兩曲面的第1基本量，由上式可見，長(zhǎng)度比是曲面上點(diǎn)(u, v)和切方向d/dv u的函數(shù)，它的值反映了該點(diǎn)、該方向上微分長(zhǎng)度的變化。

1） 極值變換曲線 指曲面映射中長(zhǎng)度變化取極值的曲線，該曲線上任意點(diǎn)的切矢方向是該點(diǎn)處長(zhǎng)度比取極值的方向。

這是關(guān)于極值切方向d/dv u的一元二次方程，解之有

上式即為極值變換曲線的微分方程式，兩族解分別對(duì)應(yīng)最大和最小變形曲線。

2） 等距變換曲線 指曲面映射中長(zhǎng)度沒(méi)有變化的曲線，該曲線上任意點(diǎn)的切矢方向是該點(diǎn)處長(zhǎng)度比等于1的方向。在式（8）中令 1μ=并整理有

這是關(guān)于等距方向d/dv u的一元二次方程，解之有

上式即為等距變換曲線的微分方程式，兩族解分別對(duì)應(yīng)兩族等長(zhǎng)變換曲線。下面以雙曲拋物面為例說(shuō)明其可展切曲面的構(gòu)造及映射分析。

3 應(yīng)用舉例

3.1 雙曲拋物面的可展切曲面

雙曲拋物面的方程

取 Γ 曲線為 y= 0的截線，這時(shí)有b(u ? v) = 0,即 u = v，令 u = t,v = t，并代入雙曲拋物面的方程，可得該截線的方程：r(t) ={2 at, 0,2t2}，該截線為在xoz平面內(nèi)且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的拋物線。將 u = t,v = t代入法矢公式有

由于 l( t)為常矢量（y方向的單位矢量），所以，可展切曲面為過(guò)拋物線 r (t) ={2 at, 0,2t2}，且母線與y軸平行的拋物柱面，具體地

3.2 雙曲拋物面與其可展切曲面間的映射分析

3.2.1 建立映射關(guān)系

映射時(shí)，設(shè)雙曲拋物面上的點(diǎn)A沿z軸方向映射到拋物柱面上點(diǎn)A1， A和A1具有相同的x和 y坐標(biāo)，根據(jù)式（11）和式（12）有a(u + v) = 2 at,b(u - v) = w ，從中可解出將其代入式（11），得到以 ,tw為參數(shù)的雙曲拋物面方程

由式（12），可得拋物柱面的第1基本量r1t={2 a,0,4 t } ,r1w={0,1,0}

3.2.2 映射分析

1） t曲線長(zhǎng)度的相對(duì)變化

對(duì)于t曲線有

可見，t曲線相對(duì)長(zhǎng)度的變化為零，即兩曲面對(duì)應(yīng)的t曲線具有相同的長(zhǎng)度。

2） w曲線長(zhǎng)度的相對(duì)變化

對(duì)于w曲線有

式（15）為w曲線相對(duì)長(zhǎng)度變化的表達(dá)式，圖 4為相對(duì)長(zhǎng)度變化曲線（ a = 3,b = 2，w1= 0,w2= w ）。由圖4可見，隨著w的增加，w曲線的相對(duì)長(zhǎng)度變化迅速增大。

圖4 w參數(shù)曲線相對(duì)長(zhǎng)度變化

3） 對(duì)應(yīng)區(qū)域面積的相對(duì)變化

式（16）是對(duì)應(yīng)區(qū)域面積相對(duì)變化的表達(dá)式，圖 5是對(duì)于區(qū)域 t1= 0,t2= t;w1= 0,w2=w的面積相對(duì)變化情況（ a = 3,b = 2），由圖5可見，參數(shù)t對(duì)相對(duì)面積變化影響較小，而參數(shù)w則影響較大。

圖5 對(duì)應(yīng)區(qū)域面積的相對(duì)變化

4） 參數(shù)曲線交角的相對(duì)變化

對(duì)于拋物柱面，因?yàn)?0F= ，所以1/2 A π=對(duì)于雙曲拋物面有

式（17）是參數(shù)曲線交角相對(duì)變化的表達(dá)式，顯然，對(duì)于Γ曲線：因 為w =0, 所以有δA= 0。圖 6是參數(shù)曲線交角的相對(duì)變化曲線（ a = 3,b = 2），圖6中顯示，參數(shù)曲線交點(diǎn)離原點(diǎn)越遠(yuǎn)，交角相對(duì)變化越大，且變化值相對(duì)于曲面原點(diǎn)呈中心對(duì)稱分布。

5） 極值變換曲線

由式（9）有

圖6 參數(shù)曲線交角的相對(duì)變化

解此微分方程，可得兩族極值變換曲線。圖7是過(guò)點(diǎn) t= 0.5， w=?5 ,?4 ,… ,5的極值變換曲線，其中一條變形取最大值，另一條取最小值。圖8是極值變換曲線在雙曲拋物面上的映射結(jié)果。

圖7 極值變換曲線

圖8 雙曲拋物面上的極值變換曲線

6） 等距變換曲線

由式（10）有

解此微分方程可得另一族等距變換曲線。圖9是過(guò)點(diǎn) t= 0.5，w =? 5,? 4.75,? 4.5…諸點(diǎn)的等距變換曲線，圖 10為其在雙曲拋物面上的映射結(jié)果。

7） 綜合分析

在雙曲拋物面與其可展切柱面的映射中，因t曲線長(zhǎng)度沒(méi)有變化，所以兩曲面在t參數(shù)方向上有著很好的接近程度；而在w參數(shù)方向上，隨著參數(shù)的增大，w曲線的長(zhǎng)度以近平方速度迅速增大，這也導(dǎo)致對(duì)應(yīng)區(qū)域面積變化以相同趨勢(shì)迅速增大和兩曲面的迅速離開；參數(shù)曲線交角變化隨著兩參數(shù)的增加約呈線性趨勢(shì)增加。過(guò)曲面上任意對(duì)應(yīng)點(diǎn)，隨著切方向變化，長(zhǎng)度比分別兩次取極值和零值，對(duì)應(yīng)著過(guò)該點(diǎn)的兩條極值和兩條等距變換曲線。在雙曲拋物面近似展開和平面與雙曲拋物面的紋理映射時(shí)，t參數(shù)方向可取較大范圍，而w參數(shù)方向上應(yīng)取較小范圍以控制誤差；紋理中主要幾何要素若取在等距變換曲線上，能有效控制映射中的變形。

圖9 等距變換曲線

圖10 雙曲拋物面上的等距變換曲線

4 結(jié) 束 語(yǔ)

本文提出了構(gòu)造曲面片的可展切曲面及它們間映射分析的方法，并給出了應(yīng)用舉例。曲面片的可展切曲面可以應(yīng)用于曲面結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、不可展曲面的近似展開、平面與曲面間的紋理映射等場(chǎng)合，有利于提高曲面成形及曲面映射的精度；曲面片與其可展切曲面間的映射分析便于較準(zhǔn)確地把握曲面的變形情況，可用于曲面近似展開的精度分析與誤差校正、紋理映射時(shí)的變形控制等場(chǎng)合。

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The developable tangent curved surface of a surface patch and mapping analysis between them

Mao Xin, Yang Jinglin, Ma Mingxu
( Mechanical Engineering and Automation School, Northeast University, Shenyang Liaoning 110004, China )

Based on the developable curved surface theory of differential geometry, the method to construct the developable tangent curved surface passed a curve on a curved surface is put forward, the expression form and type division of the developable tangent curved surface is given, the overall and partial mapping analysis between two surfaces is realized through establishing the mapping relationship of them and the deformation of surface is grasped accurately. The method is validated by example and can be applied to the design and approximate development of curved surface and surface texture mapping.

geometry calculation; developable tangent curved surface; mapping between surfaces; deformation analysis

TB 21

A

2095-302X (2012)06-0031-07

2011-04-17；定稿日期：2011-06-07

毛 昕（1954-），男，吉林長(zhǎng)春人，教授，碩士，主要研究方向?yàn)橛?jì)算機(jī)圖形學(xué)及輔助設(shè)計(jì)、理論與應(yīng)用圖學(xué)。E-mail：ddmx54@sina.com