摘要：從小對于數(shù)學的熱愛，無論在做什么工作，都不放棄對數(shù)學的學習研究。以下介紹了幾個數(shù)學看法，簡單闡述了驗證過程，歡迎大家給予批評斧正。

關(guān)鍵詞：余整數(shù)列表達式；積差，和等公式；無限循環(huán)小數(shù)

一、余整數(shù)列表達式或萬能剩余公式

中國剩余定理在《小學數(shù)學辭典》《初中生數(shù)學辭?！肪杏涊d。經(jīng)研究演算，進一步地解算更多更大數(shù)字的剩余問題，可以來回算另一種剩余問題，同時形成余整數(shù)列，每個數(shù)列也都能由這個公式所表示，可以找到數(shù)列中的每個數(shù)字，所以也叫做余整數(shù)列表達式或萬能剩余公式。

一個數(shù)（被除數(shù)）用g來表示，除以一個數(shù)（除數(shù)）用v1來表示，所余的數(shù)（余數(shù)）用k1來表示；被除數(shù)g除以另一個數(shù)用v2來表示，所余的數(shù)用k2來表示；被除數(shù)g除以一個數(shù)用v3來表示，余數(shù)用k3來表示。被除數(shù)g分別除以除數(shù)vw余kw，v1，v2，v3，vw（不能整除的除數(shù)）的最小公倍數(shù)簡稱為余，為了好記就用“余”這個字來表示。被除數(shù)g除以一個數(shù)j1整除，被除數(shù)g除以另一個除數(shù)j2整除，被除數(shù)g除以jn整除，j1，j2，jn（這些能整除的除數(shù)）的最小公倍數(shù)簡稱為整，為了好記就用“整”這個字來表示。余和整的最大公約數(shù)用b來表示。

則：g=（余÷b×a+x）×整=[余÷b×（a+1）-y]×整

注意：a為正整數(shù)，包括“零”。a叫做門數(shù)，好像是門牌號，是從“零”開始的門牌號。a+1個是這個數(shù)列中從小到大的數(shù)的個數(shù)。a表示在數(shù)列中小于g的數(shù)的個數(shù)。x+y=余÷b

在小于“余÷b”的自然數(shù)中，可確定x和y的有或無，有x就有y。

x就叫這個數(shù)列的根，也叫解。y就是增根，因為x+y=余÷b

按一個數(shù)除以一個數(shù)或多個數(shù)，整除都整除，余幾都余幾的關(guān)系形成余整數(shù)列，完全能把這個數(shù)列表達清楚的數(shù)字式叫做這個數(shù)列的數(shù)列表達式。由這個數(shù)列的表達式可以清楚地找到每個數(shù)字。數(shù)g除以v余k叫做除以v余k的數(shù)列，數(shù)列中的數(shù)除以v的約數(shù)余幾都余幾，整除都整除。數(shù)g除以j整除，叫做j的整除數(shù)列，數(shù)列中的數(shù)除以j的約數(shù)都整除。數(shù)g除以v余k，除以j整除，叫做v余k，j整除數(shù)列。

有時，同一個數(shù)列可以寫成多個恒等數(shù)列表達式，最簡便的數(shù)列表達式叫最簡數(shù)列表達式。

例1.“韓信點兵”中除以3余2，除以5余3，除以7余2根據(jù)公式列出四個恒等數(shù)列表達式：105a+23=105×（a+1）-82=（5a+1）×21+2=[5×（a+1）-4]×21+2

例2.10除以2整除，除以5和10整除，10除以3余1，除以4余2，除以6余4，除以7余3，除以8余2，求達到以上條件的第123456個數(shù)是多少？2，5，10的最小公倍數(shù)是10；3，4，6，7，8的最小公倍數(shù)是168，在168和10之間最大公約數(shù)是2，列式：（168÷2×123455+1）×10

例3.10000000里面有幾個數(shù)可以達到以下條件：除以2整除，除以3余1，4整除，5整除，除以6余4，除以7余3，8整除，除以9余1，除以10整除的數(shù)，數(shù)列表達式是多少？

解：10000000÷40÷63=3968……16

比10000000小的還有3968個達到條件。列出數(shù)列表達式：（63×a+16）×40

例4.求：除以2余1，除以3余2，除以4余1，除以5余4，除以6余5，除以7余6，除以8余5，除以9余8，除以10余9，除以11余4，除以12余5，除以13余5，除以14余13，除以15余14，除以16余5，除以17余2，除以18余17，除以19余16，除以20余9的數(shù)列表達式？最小數(shù)字是多少？

解：根據(jù)2余1，3余2，5余4，6余5，7余6，9余8，10余9，14余13，15余14，18余17，這些數(shù)都余比本身小1的數(shù)，叫臺階余，{除數(shù)和所余的數(shù)字差都相等，（v1-k1=v2-k2=v3-k3=v4-k4）}使用余整數(shù)列表達式后式得：630×（a+1）-1，經(jīng)計算a為0（零）時，得數(shù)629只對11，17，19三個數(shù)字不合題意。升級列數(shù)列表達式：65520a+629

a為1時，17合題意，重新升級列數(shù)列表達式：1113840a+66149；

a為2時，19正合題意，再重新列數(shù)列表達式：21162960a+2293829；

a為1時，11正合題意，也就是2至20的數(shù)全合題意，列數(shù)列表達式為本題的正確解：232792560a+23456789；

a為零時，最小是23456789。

二、積差和等公式

積差和等公式：用平方差公式證明算解達到條件的數(shù)題，簡單快速，不分小數(shù)和分數(shù)。

AB-CD在A+B=C+D時（A+x）×（B+x）-（C+x）×（D+x）=AB-CD也就是說：兩個因數(shù)的積，減去另兩個因數(shù)的積，在第一組因數(shù)的和等于第二組因數(shù)的和時，這四個因數(shù)同時加上[或減去]同一個數(shù)，差[得數(shù)]永遠不變。

第1例：67×33-87×13

第一種：這四個因數(shù)同時減去13得：54×20

第二種：這四個因數(shù)同時減去87得：（-20）×（-54）

第三種：這四個因數(shù)同時減去67得：0-20×（-54）

第四種：這四個因數(shù)同時減去33得：0-54×（-20）

第2例：985×785-1285×485分明是985+785=1285+485就能使用這種方法。

第一種：這四個因數(shù)同時減去485得：500×300

第二種：這四個因數(shù)同時減去1285得：（-300）×（-500）

第三種：這四個因數(shù)同時減去985得：0-300×（-500）

第四種：這四個因數(shù)同時減去785得：0-500×（-300）

第五種：這四個因數(shù)同時減去85得：900×700-1200×400

第3例：12345678956×12345678934-12345678988×12345678902

根據(jù)公式這四個因數(shù)同時減去12345678902得：54×32，如果這四個因數(shù)同時寫上小數(shù)點，然后在小數(shù)點后有123456789照樣可以使用。注意：在這里零的特點。a×0=0零乘以任何數(shù)都得零。這四個因數(shù)同時減去其中一個因數(shù)時，減去這個因數(shù)本身的因數(shù)式就會變成零。a-0=a在減數(shù)式里的因數(shù)被同時減去時，就算被減數(shù)式里同時減去那個因數(shù)后，兩個因數(shù)的積就是得數(shù)。0-a=-a零減去一個數(shù)等于這個數(shù)的相反數(shù)。也就是說∶被減數(shù)式里的一個因數(shù)被減去時，不要忘記減數(shù)式前邊的負號。

三、論無限循環(huán)小數(shù)0.9……等于1

理論一：0.1……= 0.2……= 0.3……=

0.4……= … 0.9……=

并且0.1……+0.8……= + =1

0.2……+0.7……= + =1

0.3……+0.6……= + =1

0.4……+0.5……= + =1

理論二：在除法算式里，同一個數(shù)字相除（也就是一個數(shù)字除以它本身），個位上不商1，硬寫0，第一位小數(shù)商9，被除數(shù)補上0減去這個數(shù)乘以9得的數(shù)，還是這個數(shù)。第二位小數(shù)再商9，還是這樣。這樣下去沒有完，會形成無限循環(huán)小數(shù)0.9……所以同一個數(shù)字相除都會寫成無限循環(huán)小數(shù)0.9……的形式。

以此證明無限循環(huán)小數(shù)0.9……等于1沒有誤差，就像9/9，8/8，7/7，6/6只是1的另一種書寫形式。

（作者單位 河北省徐水戶木安莊村）