秦 峰 戰(zhàn)興群 湛 雷 張炎華

(上海交通大學(xué)航空航天學(xué)院，上海 200240)

隨著科技的進(jìn)步，武器制導(dǎo)的精度和速度要求也越來(lái)越高.初始對(duì)準(zhǔn)作為武器制導(dǎo)過(guò)程中的重要因素，它的速度和精度將直接影響武器發(fā)射系統(tǒng)的反應(yīng)速度與發(fā)射后的導(dǎo)航性能.捷聯(lián)式慣性導(dǎo)航系統(tǒng)由于其不易受外界環(huán)境干擾被廣泛應(yīng)用于初始對(duì)準(zhǔn)中.

機(jī)載武器初始對(duì)準(zhǔn)過(guò)程中由于存在運(yùn)動(dòng)干擾，一般不采用自主式對(duì)準(zhǔn)方法，而是利用機(jī)體上的主慣性導(dǎo)航系統(tǒng)(INS，Inertial Navigation System)或彈載的其它導(dǎo)航設(shè)備來(lái)對(duì)武器上的子INS進(jìn)行初始對(duì)準(zhǔn)［1］.傳遞對(duì)準(zhǔn)是利用機(jī)體上的主INS信息來(lái)動(dòng)態(tài)匹配武器上的子INS信息來(lái)實(shí)現(xiàn)武器的快速對(duì)準(zhǔn)，它具有較高的可靠性和穩(wěn)定性.

傳遞對(duì)準(zhǔn)過(guò)程中通常通過(guò)卡爾曼濾波器來(lái)實(shí)現(xiàn)子慣導(dǎo)失準(zhǔn)角和器件誤差的估計(jì).狀態(tài)估計(jì)的速度和精度決定著傳遞對(duì)準(zhǔn)的速度和精度，而狀態(tài)估計(jì)的速度和精度很大程度上取決于系統(tǒng)的可觀測(cè)性［2］.與此同時(shí)，在工程中過(guò)多的狀態(tài)變量會(huì)增加處理器的計(jì)算負(fù)擔(dān)，降低濾波實(shí)現(xiàn)的速度，加大卡爾曼濾波器實(shí)現(xiàn)的難度.因此，需要通過(guò)可觀測(cè)性分析舍去對(duì)系統(tǒng)性能影響較小的狀態(tài)變量，使工程上實(shí)現(xiàn)更加容易.

1 傳遞對(duì)準(zhǔn)方案設(shè)計(jì)

傳遞對(duì)準(zhǔn)是指利用子、主慣導(dǎo)系統(tǒng)輸出的導(dǎo)航參數(shù)的差值作為量測(cè)量來(lái)估計(jì)出子慣導(dǎo)系統(tǒng)相對(duì)于主慣導(dǎo)系統(tǒng)導(dǎo)航參數(shù)誤差和慣性元件誤差，然后對(duì)子慣導(dǎo)系統(tǒng)進(jìn)行初始校正的過(guò)程.

在理論上，可以利用運(yùn)載體的主慣導(dǎo)和武器上的子慣導(dǎo)的多種參數(shù)進(jìn)行匹配實(shí)現(xiàn)傳遞對(duì)準(zhǔn).根據(jù)匹配參數(shù)性質(zhì)的不同，可以將傳遞對(duì)準(zhǔn)匹配方法分為兩類:一類是利用慣導(dǎo)計(jì)算的導(dǎo)航參數(shù)進(jìn)行傳遞匹配，稱為計(jì)算參數(shù)匹配法，如位置匹配法、速度匹配法;另一類是利用慣性元件測(cè)量參數(shù)進(jìn)行傳遞匹配，稱為測(cè)量參數(shù)匹配法，如加速度匹配法、角速率匹配法、姿態(tài)匹配法［3］.測(cè)量參數(shù)法由于直接使用慣性元件測(cè)量值作為量測(cè)，其快速性要優(yōu)于計(jì)算參數(shù)法，但其精度要低于計(jì)算參數(shù)法.本文采用“速度+姿態(tài)”的計(jì)算參數(shù)匹配方法實(shí)現(xiàn)傳遞對(duì)準(zhǔn)，系統(tǒng)設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)圖如圖1所示.

圖1 傳遞對(duì)準(zhǔn)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

2 傳遞對(duì)準(zhǔn)誤差模型

2.1 速度和姿態(tài)誤差模型

速度+姿態(tài)的傳遞對(duì)準(zhǔn)方法，以文獻(xiàn)［4］提出的最具有代表性，現(xiàn)今被廣泛使用.速度與姿態(tài)誤差模型［4－5］如下所示:

其中，φm為姿態(tài)誤差角;φa為安裝誤差角;為導(dǎo)航坐標(biāo)系與武器載體坐標(biāo)系間方向余弦矩陣;［δKa］ =diag［δKaxδKayδKaz］和［δKg］ =diag［δKgxδKgyδKgz］分別為加速度計(jì)和陀螺刻度系數(shù)誤差;為撓曲運(yùn)動(dòng)引起的加速度誤差;為撓曲運(yùn)動(dòng)引起的角速度誤差;為導(dǎo)航坐標(biāo)系與載體坐標(biāo)系間相對(duì)角速度;和εs分別為加速度計(jì)與陀螺誤差.

2.2 撓曲運(yùn)動(dòng)誤差模型

載機(jī)在高速飛行運(yùn)動(dòng)過(guò)程中會(huì)受到外力以及自身機(jī)動(dòng)動(dòng)作的影響，機(jī)翼處于一種振動(dòng)狀態(tài)，它在各個(gè)軸上都存在變形，不能當(dāng)作剛性模型來(lái)看.撓曲變形是指機(jī)翼受到空氣動(dòng)力及載機(jī)機(jī)動(dòng)動(dòng)作影響而產(chǎn)生的相對(duì)于機(jī)體的角運(yùn)動(dòng)，它會(huì)引起子慣導(dǎo)慣性敏感器件上產(chǎn)生相對(duì)于主慣導(dǎo)的角速度和加速度［6］.在傳遞對(duì)準(zhǔn)過(guò)程中為了消除撓曲變形帶來(lái)的干擾，需要對(duì)它進(jìn)行補(bǔ)償.

撓曲變形的補(bǔ)償通常是在濾波器中增加撓曲的狀態(tài)變量來(lái)實(shí)現(xiàn)的，狀態(tài)變量的建模通常采用二階馬爾科夫過(guò)程，以下為撓曲變形模型:

其中，λi為角變形;ωλi為相應(yīng)的變形角速度;wλi為白噪聲驅(qū)動(dòng)，即為w的噪聲強(qiáng)度.

3 傳遞對(duì)準(zhǔn)系統(tǒng)設(shè)計(jì)

3.1 傳遞對(duì)準(zhǔn)系統(tǒng)狀態(tài)模型

在設(shè)計(jì)傳遞對(duì)準(zhǔn)卡爾曼濾波器時(shí)，需要列寫(xiě)出描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的系統(tǒng)方程，線性時(shí)變系統(tǒng)狀態(tài)方程如下:

其中，X(t)為系統(tǒng)狀態(tài)變量;w(t)為系統(tǒng)噪聲;F(t)和G(t)分別為系統(tǒng)的狀態(tài)和噪聲系數(shù)矩陣.

選取的系統(tǒng)狀態(tài)量和噪聲如下:

其中，wg為陀螺白噪聲;wa為加速度計(jì)白噪聲;wλ為撓曲角變形白噪聲;wω為撓曲角速度白噪聲.

3.2 傳遞對(duì)準(zhǔn)量測(cè)模型

傳遞對(duì)準(zhǔn)通常選擇子慣導(dǎo)和主慣導(dǎo)之間的信息差值作為量測(cè)量，來(lái)校正子慣導(dǎo)的輸出信息.本文采用“速度+姿態(tài)”的匹配法，以兩個(gè)慣導(dǎo)系統(tǒng)之間的速度差值和姿態(tài)差值作為量測(cè)量.系統(tǒng)的量測(cè)方程和選擇的量測(cè)量如下:

其中，Z(t)為量測(cè)量;H(t)為量測(cè)矩陣;V(t)為量測(cè)噪聲矩陣.

4 傳遞對(duì)準(zhǔn)系統(tǒng)可觀測(cè)性分析

系統(tǒng)的可觀測(cè)性分析是系統(tǒng)濾波器設(shè)計(jì)的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，適當(dāng)?shù)目捎^測(cè)性分析可以簡(jiǎn)化濾波器，減小計(jì)算量，提高濾波效率.狀態(tài)變量可觀測(cè)性的強(qiáng)弱可以用可觀測(cè)度來(lái)衡量.目前，可觀測(cè)性和可觀測(cè)度的分析主要有估計(jì)誤差協(xié)方差陣的特征值法和可觀測(cè)性矩陣的奇異值分解法.第1種方法由于需要在卡爾曼濾波運(yùn)算之后進(jìn)行，所以計(jì)算量較大，一般較少采用.奇異值分解(SVD，Singular Value Decomposition)法可以在濾波之前對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行可觀測(cè)性分析，計(jì)算量較小，故被廣泛采用［7］.

在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中，直接對(duì)線性時(shí)變系統(tǒng)進(jìn)行可觀測(cè)性分析比較困難.通常將整個(gè)時(shí)間分割成小的時(shí)間區(qū)間，在每個(gè)時(shí)間段里系統(tǒng)可近似地認(rèn)為是線性定常系統(tǒng)，故稱分段線性定常系統(tǒng)(PWCS，Piece-Wise Constant System).經(jīng)過(guò)分析，本文采用基于PWCS的可觀測(cè)性矩陣奇異值分解法對(duì)傳遞對(duì)準(zhǔn)的線性時(shí)變系統(tǒng)進(jìn)行可觀測(cè)性分析.

假設(shè)Qs是系統(tǒng)的可觀測(cè)性矩陣，Y為動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的觀測(cè)值，X0是系統(tǒng)的初始狀態(tài).根據(jù)PWCS模型可以推出［8－9］:

根據(jù)奇異值分解法分解為以下形式［7，10］:

其中，U和V分別稱為系統(tǒng)左奇異向量和右奇異向量;σ為矩陣Qs的奇異值;r為矩陣的秩.

當(dāng) U=［u1，u2，…，un］，V=［v1，v2，…，vn］時(shí)，式(7)轉(zhuǎn)換為

當(dāng)觀測(cè)量Y具有常值范數(shù)時(shí)，初始狀態(tài)X0形成一個(gè)橢球，其方程為

其中1/σi表示此橢球主軸的長(zhǎng)度.顯然，該橢球的體積應(yīng)該由奇異值決定，當(dāng)奇異值越大時(shí)其體積越小，X0取值范圍也越小，因此X0的上界可以表示為

如果σi的值越大，X0的取值范圍就越小，卡爾曼濾波器對(duì)其估計(jì)的就越精確.所以系統(tǒng)狀態(tài)變量對(duì)應(yīng)的奇異值σi越大，其相應(yīng)的可觀測(cè)性能就越好;當(dāng)σi=0時(shí)，狀態(tài)變量完全不可觀測(cè).

系統(tǒng)狀態(tài)變量的可觀測(cè)性性能也可用可觀測(cè)度進(jìn)行評(píng)價(jià)，可觀測(cè)度定義為

式中，ηk為第k個(gè)變量的可觀測(cè)度;σ0為外觀測(cè)量對(duì)應(yīng)的奇異值;σi為使取得最大的奇異值.

5 仿真實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

為了卡爾曼濾波器能夠更好地估計(jì)出失準(zhǔn)角，本文選擇三軸搖擺的機(jī)動(dòng)方式來(lái)實(shí)現(xiàn)傳遞對(duì)準(zhǔn).三軸搖擺運(yùn)動(dòng)是載體以正弦規(guī)律繞縱搖軸、橫搖軸和航向軸搖擺，其數(shù)學(xué)模型如下:

式中三軸搖擺的振幅均為15°，搖擺的周期為7 s，搖擺角頻率 ωi=2π/Ti(i=p，γ，y)，初始航向 ψ0仿真時(shí)取0°.

取10個(gè)時(shí)間段的可觀測(cè)性矩陣進(jìn)行分析，可以得到27個(gè)奇異值.根據(jù)式(10)可以計(jì)算出27個(gè)奇異值對(duì)應(yīng)的狀態(tài)變量初始值X0并畫(huà)出直方圖，從而得到各個(gè)狀態(tài)變量的可觀測(cè)性和可觀測(cè)程度.狀態(tài)變量的可觀測(cè)性直方圖如圖2所示，圖中狀態(tài)變量的排序按照濾波器設(shè)計(jì)時(shí)順序排列.

圖2 傳遞對(duì)準(zhǔn)狀態(tài)變量可觀測(cè)性直方圖

由圖2可見(jiàn)外觀測(cè)量δVe，δVn和δVu的奇異值均為1，其可觀測(cè)度也為1.狀態(tài)變量 δVe，δVn，δVu，φmx，φay，φaz，εbx，εby，εbz，ωλx，ωλy和 ωλz可觀測(cè)，狀態(tài)變量 φmy，φmz，φax，λx，λy和 λz的可觀測(cè)性較差，狀態(tài)變量 Δx，Δ

y，Δz，δKgx，δKgy，δKgz，δKax，δKay和 δKaz完全不可觀測(cè).所以，系統(tǒng)有 18個(gè)狀態(tài)變量可觀測(cè)，9個(gè)狀態(tài)變量不可觀測(cè).根據(jù)圖2的可觀測(cè)性分析可對(duì)機(jī)載武器傳遞對(duì)準(zhǔn)的濾波器模型進(jìn)行簡(jiǎn)化，去除不可觀測(cè)的狀態(tài)變量，減少濾波器計(jì)算量.簡(jiǎn)化后的濾波器模型如下:

圖3 x軸安裝誤差角估計(jì)的誤差

圖4 y軸安裝誤差角估計(jì)的誤差

對(duì)降維前后的卡爾曼濾波器分別進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果如圖3～圖5所示.降維以后安裝誤差角估計(jì)的誤差變大，但不明顯;估計(jì)誤差仍逐漸收斂，可以滿足機(jī)載武器傳遞對(duì)準(zhǔn)系統(tǒng)設(shè)計(jì)要求.因此，降維濾波器在大大降低運(yùn)算工作量的同時(shí)仍可以滿足系統(tǒng)要求，驗(yàn)證了可觀測(cè)性分析的正確性和準(zhǔn)確性.

圖5 z軸安裝誤差角估計(jì)的誤差

6 結(jié)論

本文設(shè)計(jì)了“速度+姿態(tài)”匹配的機(jī)載武器傳遞對(duì)準(zhǔn)系統(tǒng).在PWCS理論的基礎(chǔ)上，利用SVD奇異值分解法對(duì)系統(tǒng)的可觀測(cè)性進(jìn)行了分析，得到了系統(tǒng)狀態(tài)變量的直方圖.根據(jù)可觀測(cè)性分析的結(jié)果對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行了降維，并對(duì)降維前后的濾波器性能進(jìn)行了分析.發(fā)現(xiàn)通過(guò)降維系統(tǒng)在不影響其性能的情況下大大減小了運(yùn)算負(fù)擔(dān)，提高了工作效率.因此，充分證明了機(jī)載武器傳遞對(duì)準(zhǔn)系統(tǒng)進(jìn)行可觀測(cè)性分析的必要性和正確性.

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