趙 鑫 秦紅磊 郎榮玲

(北京航空航天大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，北京 100191)

GPS(Global Positioning System)定位解算是根據(jù)偽距、偽距率等測量值，計算接收機的位置P、速度V和時間T等信息的過程.在現(xiàn)有的接收機中一般采用最小二乘方法和EKF(Extended Kalman Filter)作為定位解算的方法.最小二乘方法簡單易于實現(xiàn)且計算速度快，但是定位精度低且魯棒性差.EKF算法是近似的非線性濾波方法，其精度高于最小二乘法，但EKF只是對非線性的系統(tǒng)及觀測模型進行局部的線性化，并未完全解決系統(tǒng)的非線性濾波問題［1－5］.

針對以上傳統(tǒng)定位解算方法存在的問題，本文提出了一種新的定位解算算法——基于優(yōu)化理論的最大后驗估計算法.可以在擁有較高精度的同時采用一種非線性的估計方法進行定位解算.該方法用優(yōu)化理論的思路求解系統(tǒng)狀態(tài)量的最大后驗概率估計值.它是從系統(tǒng)狀態(tài)量、觀測量的聯(lián)合概率密度函數(shù)出發(fā)，將估計問題轉(zhuǎn)化成優(yōu)化問題，用優(yōu)化問題的解法對系統(tǒng)的狀態(tài)進行估計.

本文的主要內(nèi)容是:首先介紹GPS接收機中定位解算的基本原理;在此基礎(chǔ)上，介紹了GPS接收機基于優(yōu)化理論的最大后驗估計定位解算算法的推導(dǎo)過程，以及推導(dǎo)出的優(yōu)化問題的求解方法.最后，本文采用基于模擬器產(chǎn)生的數(shù)據(jù)進行了實驗驗證，有效證明了新提出的GPS定位解算方法能完全解決定位解算中的非線性問題，并擁有較高的定位精度.

1 GPS接收機定位解算原理

空中某點的位置可以通過測量它到空中一些已知位置的距離來獲得.在空間三維情況下，由于測量得到的接收機到衛(wèi)星之間的距離中存在著未知的固定偏差，所以定位解算至少需要4顆衛(wèi)星和4個距離才能確定用戶的位置.式(1)、式(2)即為由偽距、偽距率確定用戶位置的基本方程［6－7］.

通過GPS接收機對m(m≥4)顆衛(wèi)星信號傳輸時間的測量可得到用戶與m顆相應(yīng)衛(wèi)星的偽距，列方程得

通過GPS接收機對m(m≥4)顆衛(wèi)星信號多普勒頻移的測量可得到用戶與m顆相應(yīng)衛(wèi)星的偽距率，對式(1)求時間的導(dǎo)數(shù)，可得偽距變化率方程:

式中，ρi為第 i顆衛(wèi)星測得的偽距離;(xi，yi，zi)為已知衛(wèi)星位置;Δtu為待求用戶鐘差;為第i顆衛(wèi)星測得的偽距離變化率;)為已知衛(wèi)星速度;(x，y，z)為待求用戶位置，由位置解算得到為待求的用戶三維速度;為待求用戶鐘差變化率.

在下面推導(dǎo)的定位解算新方法中，將式(1)、式(2)作為定位解算系統(tǒng)建模中的量測方程.

2 基于優(yōu)化理論的定位解算算法

定位解算過程的數(shù)學(xué)模型屬于量測模型非線性，觀測噪聲和驅(qū)動噪聲是高斯白噪聲的非線性高斯系統(tǒng).

下面將具體講述定位解算新方法——基于優(yōu)化理論的最大后驗概率估計方法的推導(dǎo).

2.1 狀態(tài)模型

GPS導(dǎo)航系統(tǒng)狀態(tài)模型可取為

其中

觀測矩陣F可取為

式中，(x，y，z)為用戶在大地坐標系中的三維坐標;(vx，vy，vz)為用戶在大地坐標系中的三維速度;Δt，Δf為用戶接收機的時差與頻差;wVX，wVY，wVZ為高斯白噪聲.

2.2 算法的數(shù)學(xué)推導(dǎo)

在給定的系統(tǒng)狀態(tài)方程、量測方程模型下，用優(yōu)化算法對給定的系統(tǒng)狀態(tài)量確定一種估計，這種估計使系統(tǒng)狀態(tài)量的后驗概率最大［8－9］.

假設(shè)定位解算系統(tǒng)的模型可以簡寫為

這里，h 關(guān)于 X 連續(xù)可微，Xk∈Rm，Wk∈Rm，Zk∈Rr并且 Vk∈Rr，r為可見衛(wèi)星顆數(shù)的兩倍，m為狀態(tài)量的個數(shù)，這里取8.在模型中序列{Wk}，{Vk}，X0的分布滿足以下概率密度函數(shù):

利用概率密度函數(shù)變換規(guī)則，由模型式(4)可以得到條件概率密度函數(shù):

將式(8)、式(9)代入式(10)可得到:

其中α為常量.

通過上述步驟就把在非線性高斯系統(tǒng)假設(shè)下的最大后驗估計轉(zhuǎn)化成了一個優(yōu)化問題.問題的的形式如下:

其中

此優(yōu)化問題將采用動態(tài)規(guī)劃方法進行求解.動態(tài)規(guī)劃是解決多級決策過程最優(yōu)化的一種數(shù)學(xué)方法，是根據(jù)一類多級決策問題的特點，把多級決策問題變換為一系列互相聯(lián)系的單級決策問題，然后逐個加以解決.

下面將用正向動態(tài)規(guī)劃算法求解非線性系統(tǒng)模型下狀態(tài)量的最優(yōu)估計［10］.

由式(12)可知，非線性高斯系統(tǒng)假設(shè)下0～k時刻的總代價函數(shù)為

其中

定義0時刻的部分代價函數(shù)為

用動態(tài)規(guī)劃方法可得1時刻的部分代價函數(shù)的表達式:

對于k大于等于1的時刻，部分代價函數(shù)的表達式可表示為

這樣，就把多階段決策問題轉(zhuǎn)化為一系列單階段決策問題，利用各階段之間的關(guān)系，逐個求解就可得到系統(tǒng)各個時刻狀態(tài)量的最大后驗估計值.

3 實驗驗證

為了驗證算法的有效性，取EKF的濾波結(jié)果作為比較.仿真分析將分別以模擬產(chǎn)生的GPS測量偽距值、測量偽距率值以及實際環(huán)境中軟件接收機產(chǎn)生的實際數(shù)據(jù)作為觀測量.分別采用EKF、基于優(yōu)化理論的定位解算算法進行濾波.

首先驗證基于優(yōu)化理論的定位解算算法的有效性，接收機運動狀態(tài)具體描述如下:

GPS測量偽距、偽距率模擬器初始位置為東經(jīng)116.34°，北緯39.98°，高度102.97m，以20m/s向東勻速行進.數(shù)據(jù)輸出頻率1Hz.觀測噪聲為高斯噪聲，偽距量測噪聲方差為3.0×3.0m2，偽距率量測噪聲為0.1 ×0.1(m/s)2.

基于優(yōu)化理論的最大后驗估計算法對數(shù)據(jù)處理后的誤差波形圖如圖1～圖5所示.

圖1 x軸方向定位誤差

圖2 y軸方向定位誤差

圖3 z軸方向定位誤差

下面分別利用EKF、基于優(yōu)化理論的定位解算算法對數(shù)據(jù)進行濾波估計以實現(xiàn)定位，并對定位結(jié)果進行比較分析.

此項實驗的軟件接收機運動狀態(tài)具體描述如下:

圖4 鐘差估計誤差

圖5 頻差估計誤差

GPS軟件接收機初始位置為東經(jīng)116.34°，北緯 39.98°，高度 73.21m，接收機狀態(tài)靜止.數(shù)據(jù)輸出頻率1Hz.觀測噪聲為高斯噪聲.實驗數(shù)據(jù)為實際環(huán)境中軟件接收機接收衛(wèi)星信號后經(jīng)過數(shù)據(jù)處理測得的偽距值、偽距率值.

EKF和基于優(yōu)化理論的最大后驗估計算法對數(shù)據(jù)處理后的誤差波形圖如圖6～圖8所示.

圖6 x軸方向定位曲線

圖7 y軸方向定位曲線

圖8 z軸方向定位曲線

兩種濾波方法在高斯噪聲下的統(tǒng)計特性如表1所示.

表1 兩種濾波方式定位結(jié)果誤差對比

由上面的實驗結(jié)果可以看出，基于優(yōu)化理論的最大后驗估計算法在x，y軸方向定位精度要略低于EKF，在z軸方向上的定位精度要略高于EKF.

4 結(jié)束語

本文基于優(yōu)化理論的思想，提出了一種新的定位解算算法.該方法采用優(yōu)化理論的思路求解系統(tǒng)狀態(tài)量的最大后驗估計值.仿真實驗的結(jié)果表明:該方法在擁有較高精度的同時采用一種非線性的估計方法進行定位解算，能完全解決定位解算中的非線性問題.

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