黃懷緯 韓強(qiáng) 魏德敏

(華南理工大學(xué)土木與交通學(xué)院，廣東廣州510640)

近年來，新型的功能梯度材料(FGM)以其優(yōu)異的力學(xué)、熱學(xué)性能，在科學(xué)研究領(lǐng)域和尖端工程領(lǐng)域受到廣泛關(guān)注.目前，對(duì)于FGM板殼彈性屈曲問題的研究已較為深入［1-6］.Wu等［1］研究了FGM圓柱殼的線性熱屈曲行為，得到了結(jié)構(gòu)屈曲載荷的解析解;Li等［3］研究了軸壓FGM夾心圓柱殼的線性屈曲問題;Zhao等［6］采用一種無網(wǎng)格 kp法研究了帶有圓孔FGM板在熱荷載下的屈曲問題;但關(guān)于FGM圓柱殼彎曲屈曲性能的研究鮮見報(bào)道.

在聯(lián)合荷載作用的情況，普通圓柱殼的屈曲問題一直以來備受學(xué)術(shù)界關(guān)注［7-9］，但對(duì)于FGM圓柱殼的研究卻較少涉及.Shen等［10］采用邊界層理論結(jié)合奇異攝動(dòng)法研究了軸向與側(cè)向聯(lián)合荷載下FGM圓柱殼的后屈曲;Shariyat［11］研究了軸向和側(cè)向荷載下FGM圓柱殼的熱屈曲性能，分析中考慮了熱彈耦合效應(yīng)，該研究盡管涉及了聯(lián)合荷載，但研究重點(diǎn)主要在瞬態(tài)熱屈曲方面.

文中采用Donnell殼體理論和本征值計(jì)算方法，將理論研究與數(shù)值模擬相結(jié)合，研究了軸壓－彎曲聯(lián)合荷載作用下FGM圓柱殼的屈曲問題.

1 理論推導(dǎo)

根據(jù)文獻(xiàn)［12］，靜載下含缺陷FGM圓柱殼的線性屈曲控制方程為

式中:x、y分別表示殼體軸向和周向坐標(biāo)位置，下標(biāo)中的逗號(hào)表示偏導(dǎo)數(shù)，如 W1，xy=?2W1/?x?y;N0x、N0y、N0xy為前屈曲軸向、周向和扭轉(zhuǎn)內(nèi)力;W0、W1為前屈曲、屈曲撓度;ˉW為初始幾何缺陷;φ1為應(yīng)力函數(shù);R為殼體中面半徑;C1、C2、C3、C4為與材料和殼體尺寸相關(guān)的參數(shù).

忽略前屈曲變形、初始幾何缺陷的影響，并將W1和φ1寫成W和φ，式(1)可寫為

假設(shè)FGM圓柱殼在彎矩M和前屈曲軸向內(nèi)力N0x的共同作用下，其應(yīng)力分布沿殼體截面方向呈線性變化規(guī)律，假設(shè)由彎曲引起的截面最大平均應(yīng)力為σ，如圖1所示.

圖1 荷載與應(yīng)力分布示意圖Fig.1 Sketch of loading and stress distribution

由于dM=－σx1hR2sinθdθ=σhR2sin2θdθ，則彎矩M可表示為

其中，h為殼體厚度;θ為周向轉(zhuǎn)角.

由此，F(xiàn)GM圓柱殼的前屈曲內(nèi)力可表示為

代入式(2)得到在軸壓和彎曲聯(lián)合荷載作用下的屈曲控制方程:

式中，a=C1C3－C4，b=C2/R2，c=(C1+C2C3)/R.將聯(lián)合荷載下的屈曲撓度表示為

式中:

Wb、Wc分別為彎曲和軸壓引起的屈曲撓度;η、ζ分別為相應(yīng)的屈曲撓度幅值;L為殼長(zhǎng);m為軸向半波數(shù)，這里假設(shè)軸壓和彎曲引起的軸向半波數(shù)一致;n為屈曲周向波數(shù);δ表示彎曲屈曲波形發(fā)生的范圍.上述屈曲撓度滿足簡(jiǎn)支邊界條件:

式中，a1，a2，…，a6為相應(yīng)的系數(shù).

應(yīng)用Galerkin原理，有

由上式得到:

式中，α11、α12、α21、α22為與材料和結(jié)構(gòu)尺寸相關(guān)的系數(shù).為了使得ζ、η存在非零解，得到彎曲－軸壓聯(lián)合荷載下FGM圓柱殼屈曲的臨界條件:

2 結(jié)果分析

文中引入采用有限元軟件ABAQUS的數(shù)值結(jié)果對(duì)理論分析進(jìn)行驗(yàn)證，該軟件可定義任意殼體截面，從而定義了FGM的物性梯度，結(jié)合其本征值屈曲分析模塊，可得到結(jié)構(gòu)的屈曲臨界狀態(tài).

采用ZrO2/Ti-6Al-4V FGM的材料數(shù)據(jù)［12］，材料屬性可表示為

式中:Pc、Pm分別為陶瓷和金屬的材料屬性，可表示相應(yīng)的彈性模量、泊松比等材料參數(shù);k為材料組分參數(shù).

取溫度為300K時(shí)的材料屬性;k=1，L=R= 50mm，h=0.5mm，引入?yún)?shù)=δ/、=R/L.

不同軸壓預(yù)載下FGM圓柱殼的屈曲臨界狀態(tài)的理論預(yù)測(cè)和ABAQUS數(shù)值結(jié)果(數(shù)值模擬的n值難以計(jì)算，故未給出)如表1所示，可見理論與數(shù)值的屈曲臨界彎矩相吻合，且隨著軸壓逐漸增大，臨界彎矩呈線性下降趨勢(shì).通過ABAQUS計(jì)算，圖2給出了相應(yīng)的軸壓預(yù)載下FGM圓柱殼的彎曲屈曲模態(tài).

表1 不同軸壓預(yù)載下FGM圓柱殼的臨界彎矩和屈曲模態(tài)Table 1 Critical buckling moments and buckling modes of FGM cylindrical shells under various axial compression preloads

圖2 不同軸壓預(yù)載下FGM圓柱殼的彎曲屈曲模態(tài)1)Fig.2 Buckling modes of bended FGM cylindrical shells under various axial compression pre-loads 1)自左向右σ1=0，200，400，600，800MPa

FGM圓柱殼尺寸取L=R=50 mm、h=0.5 mm，軸壓預(yù)載σ1分別為0、200、400 MPa時(shí)，組分參數(shù)k對(duì)殼體屈曲臨界彎矩的影響如圖3所示.計(jì)算結(jié)果表明，殼體屈曲臨界彎矩隨著組分參數(shù)的增加而減小，這說明陶瓷含量越多，臨界彎矩越大.

圖3 軸載下組分參數(shù)對(duì)FGM圓柱殼屈曲臨界彎矩的影響Fig.3 Effects of inhomogeneous parameter on buckling critical moment of FGM cylindrical shells under axial compression

3 結(jié)語(yǔ)

文中研究了彎曲－軸壓聯(lián)合荷載作用下FGM圓柱殼的屈曲問題，假設(shè)彎曲荷載和軸壓荷載引起的軸向屈曲半波數(shù)始終一致，采用本征值屈曲分析方法得到了彎曲和軸壓聯(lián)合荷載作用下殼體的屈曲臨界條件.理論分析和數(shù)值模擬結(jié)果相互印證，證明了理論結(jié)果的合理性.模擬結(jié)果表明:隨著軸壓的逐漸增大，屈曲臨界彎矩呈線性下降趨勢(shì)，同時(shí)組分參數(shù)對(duì)殼體屈曲臨界彎矩有較大影響，即FGM材料中陶瓷組分的增大將使得屈曲臨界彎矩增大.

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