李茂盛

（西安交通大學 城市學院，西安710018）

0 引言

可轉換債券是一種嵌入期權的債券。自2001年以來，可轉換債券已經成為上市公司再融資和供投資者選擇的常規(guī)證券品種。近來有關可轉債的研究成果包括：劉毅和陳瑤（2011）考慮了可轉債的路徑依賴性及美式期權特性,采用最小二乘蒙特卡羅模擬方法來為可轉債進行定價；劉大巍等(2011)通過對使用有限差分法和LSM方法求解模型結果的比較,得出LSM方法對可轉債價值的計算更為有效;馮(2010)利用二叉樹模型對工商銀行可轉債進行定價分析;張衛(wèi)國；史慶盛；肖煒麟(2010)為了方便估計可轉債價值,給出了具有三角模糊數形式的可轉債定價公式;趙紅平(2010)運用單變量分析和二項log it回歸分析發(fā)現,分離交易可轉債發(fā)行公司的凈資產和長期負債比率較高的結論；王樂樂;邊保軍（2010）將信用風險引入到可轉債的定價中,通過將回收率直接引入到貼現現金流中,得到了可違約永久可轉債價格的變分不等方程,并求出了該變分不等方程的顯式解，得出結論：無論是否具有回購條款,可違約可轉債的價格和無違約可轉債的價格是相容的；劉大巍;陳啟宏（2010）得到了中國大多數可轉債的特別向下修正條款在最大化轉股概率的同時也可以很好地緩解回售壓力的結論。以上可以看出學者們解決了部分可轉債的理論問題，但可轉債的定價只是局限于傳統(tǒng)方法，由于我國債券市場發(fā)展滯后等原因，定價結果實用性很差，完善定價理論有助于加快可轉債市場的發(fā)展，為企業(yè)融資提供更好的平臺。本文將B-S模型和GARCH模型，探討了基于GARCH模型下的模擬理論，進一步改善定價結果的可靠性。

1 可轉換公司債券價值分析

可轉債是一種混合證券，當可轉債持有人持有可轉債期間（即未轉股），投資人能夠按照事先約定的利息率從發(fā)行人處獲得債息，若發(fā)行人在可轉債存續(xù)期間發(fā)生破產等，可轉債持有人同其他普通債券人一樣，相比于普通股股東享有優(yōu)先受償權。期權價值體現在可轉換債券的持有人在轉股期限內可以以約定的轉股價格兌換相應的股票，在二級市場獲利，這種期權實際上是一種美式看漲期權，當標的股票在二級市場上漲勢良好時，投資者可以兌現期權，以約定比例換取相應股份在二級市場套現活力，當二級市場表現疲軟時，投資者可以通過持有到期以獲得穩(wěn)定的利息收入，在回售條件得到滿足的條件下，投資者也可以選擇回售以獲得流動性，也可以在可轉債二級市場上出售以獲得流動性，降低機會成本，到其他市場獲得更高收益。

1.1 可轉債債券屬性模擬理論

可轉換債券的債券價值部分模擬與普通債券模擬相同，即通過將定期支付的債券利息和到期支付的本金通過折現的方式得到其模擬值。計算公式如下:

其中：BV—可轉換債券價值中債券價值部分；t—支付債息的時間（以年為單位）；In—第n期(以年為單位)支付的債券利息；in—第n期(一年為單位)所適用的折現率；C—可轉債面值；N—可轉債存續(xù)期。

1.2 可轉債期權屬性模擬理論

可轉換債券的獨特之處就在于其設計的轉股制度，對于可轉債看漲期權部分的模擬我們首先使用Black-Scholes（布萊克-舒爾茨模型）模型進行定價。

(1)不支付紅利的歐式看漲期權價值的計算公式如下

公式中各參數的解釋：c—歐式看漲期權的價值（可轉債看漲期權價值）；S—當前的股票價格；X—行權價格（轉股價格）；r—無風險利率；T-t—期權剩余時間；∑—股票價格波動率；N(x)—為標準正態(tài)分布變量的累計概率分布函數。

(2)股票價格波動率的模擬。

歷史波動率：使用的方法來自Hell的《期權、期貨和衍生證券》，通過歷史數據對股票價格波動率進行模擬。模擬所用公式如下：

公式中各參數的解釋：n+1—觀察次數；Si—在第i個時間間隔末的股票價格；τ—以年為單位表示的時間間隔的長度（實際交易日計算）；GARCH(1,1)估計波動率：公式是

(3)N(x)的計算

(該算法能夠求到小數點后四位，由Hell在《期權、期貨和衍生證券》中提供)

其中：

2 基于B-S模型的中海轉債實證研究

中海證券可轉債的發(fā)行總額為20億元；票面金額：可轉債按面值發(fā)行，每張面值為100元，共計發(fā)行200萬手；可轉債期限為5年，自2007年7月2日起，至2012年7月1日止；票面利率：第1年為1.84%，第2年為2.05%，第3年為2.26%，第4年為2.47%，第5年為2.70%；每年付息一次，計息起始日為可轉債發(fā)行首日；每年的付息日為本次可轉債發(fā)行首日起每滿一年的當日即2008年至2012每年的7月2日(如非交易日，則順延至下一個交易日，順延期間應付利息不另計息)。每相鄰的兩個付息日之間為一個計息年度。本次可轉債的轉股期限自發(fā)行結束之日起六個月后至可轉債到期日止，即從2008年1月2日至2012年7月 1日(遇非交易日順延)；轉股價格確定方式和調整辦法：本次發(fā)行的可轉債初始轉股價格25.31元/股，以公布《募集說明書》之日前20個交易日公司A股股票交易均價和前1個交易日均價中二者較高者為基準上浮10%，結果四舍五入，精確到0.01元。有關價格的調整、贖回條款和回售條款參照中海轉債發(fā)行條款。

2.1 中海轉債價值模擬過程

2.1.1 債券價值部分

(1)中海轉債仍舊使用遞增浮動利率，其中年息率分別為1.84%2.05%2.26%2.47%2.70%，所以其自2007年7月2日起每年支付的利息分別為1.84元，2.05元，2.26元，2.47元，2.70元。

(2)考慮到中海發(fā)展所發(fā)行的債券具有一定信用風險溢價，故采用二級市場上信用風險等級相同，到期日相同的企業(yè)債券實際收益率作為折現率。具體方案為：首先選擇2007-07-02上海證券交易所中交易債券品種——02渝城投，證券代碼為120205，債券到期日為2012-12-2，債券剩余年限5.0192年，年息4.32%，所得稅率20%； 2007-07-02 02成渝投當日收盤價96.06元；2007-07-02五年期國債利率為5.74%；按照折現方式（以五年期國債利率為折現率）計算其復利收益率為5.23%。

(3)計算過程及計算結果（見表1）。

表1 可轉債債券價值計算表

可轉債普通債券價值為91.14850956。

2.1.2 期權價值部分

(1)使用自2006年7月4日起，中海發(fā)展（600026）收盤價對股票歷史波動率波動率進行模擬，根據式1.2和1.3，并以天為最小時間間隔，具體數據根據證券之星網站（www.stockstar.com），計算其的波動率；其次，我們使用介紹過的GARCH(1,1)模型來計算和預測模型的波動率，使用SAS中的AUTOREG過程，使用2004年5月23日至2010年2月28日之間1367個交易日的數據進行自回歸估計結果(見表2)。

表2 自回歸估計結果

得到波動率方程為：

圖1 歷史波動率及GRACH波動率注X軸是自2009年7月7日起的交易天數。

兩種方法得到的圖像結果見圖1所示。

(2)模型使用無風險折現率：自2009年7月12日至2010年2月28日，五年期國債利息率6.15%（連續(xù)復利）。

(3)轉股價格：自發(fā)行日至2010年2月28日并未發(fā)生發(fā)行條款中規(guī)定之送股，增發(fā)，派息等情況，亦未出現價格連續(xù)低于原始轉股價格85%的觸發(fā)向下修正轉股價格的條件，故自2007年7月12日上市，中海轉債的轉股價格為25.31元。

(4)轉股數量：根據發(fā)行說明書之規(guī)定，公司將只確認申請者申請轉換股份之整數部分，故根據其票面價格100元，與轉股價格25.31元，每股包含看漲期權數量3份。剩余債券公司將以現金形式支付票面價值和利息。

(5)期權剩余時間（以年為單位）：

計算公式為 [（可轉債存續(xù)期-自發(fā)行日（2007年7月2日）天數）/可轉債存續(xù)期]×5

其中，可轉債存續(xù)期為1097天(366×2+365×3)。

2.2 具體定價結果

(1)通過以上六步，已經具備了對可轉債價值的模擬能力，下圖就是我們得到的具體結果，其趨勢如圖2和圖3所示。

按照發(fā)行條款規(guī)定，公司只兌付整數股，剩余部分以現金支付本金和利息，按照最終轉股價25.31元，每張債券最少含股份3份，據此形成的模擬價值為最小含股價值，而最大的股數為100/25.31=3.951，據此形成最大含股價值。

通過歷史波動率得到的轉債價值估計為

圖2 注：LVMax/Min是指通過歷史亦為波動率得到的最大(小)估值，RealP是市場價格

通過使用GRACH(1,1)模型對波動率進行估計與預測得到的轉債價值估計為：

圖3 注：GVMax/Min是指通過GRACH(1,1)模型估計波動率得到的最大(小)估值，RealP亦為是市場價格

(2)2007年7月12日上市日當天的理論模擬(見表3)。

表3 上市當天的理論模擬

(3)模型定價有效性的檢驗。

從定量的角度來分析定價模型的定價能力，為了驗證定價方法的有效性，使用平均偏離度作為檢驗模型定價有效性的依據。其計算公式如下:

偏度百分比:

用幾何平均數來反映平均偏離百分比：

表4 偏離度測算結果表

根據得到的數據，我們發(fā)現使用GRACH(1,1)來計算和修正波動率，并據此得到的波動率對可轉債的價格進行估計和預測較之使用歷史波動率更為準確，或者說偏離程度降低，因此GRACH-B-S模型較之歷史波動率B-S模型更為準確。

2.3 參數d與波動率對理論模擬值的影響分析

參數d的主要影響是標準正態(tài)分布變量的累計概率分布函數，也就是預測股票的價格低于轉債價格的可能。通過Excel中的Normsdist函數，我們繪制出了N(d)隨d變化的過程，不間斷通過考察增長率（斜率,我們發(fā)現，自d從-0.5向0.5增長的過程中斜率始終為正，隨d增加先增后減，最大值在d=0處達到，其對應N(0)值為0.399,通過多項式擬合，得到R2=1的擬合式，y=5E-14x4-9E-11x3-1E-07x2+0.000x+0.352,雖然函數本身存在著不可忽視的誤差，但是并不影響定性分析得到的結論。

依舊通過模擬的方式進行。以2007年7月12日的期權價值為例，在其它所有條件不變的情況下，使波動率自0.3起，以每次0.02的速度增加至0.5，從中可以清楚地看出，期權價值模擬值隨波動率增加而增加，但是其增長速度是在逐漸減弱，使用多項式模擬，得到R2=0.999的多項式y(tǒng)=-0.035x+66.88，由此我們可知，通過B-S模型對期權價值進行模擬時，波動率與模擬值成正向變化，且增長速度隨模擬值增長而減緩。（注：這里取波動率區(qū)間為0.3-0.5其原因是，在本次實證研究中，中海發(fā)展的歷史波動率集中在該區(qū)間。）

3 可轉債價值模擬結果與實際市場價格偏差初探

通過增長率的方式來觀察可轉債價格與股票價格，分別選取可轉債市場價格，中海發(fā)展股票價格和使用GARCH-B-S模型所預測的最大價格進行分析。

首先，使用三者的每日波動量（單日收益率）進行對比，具體結果見表5：（StockP：中海發(fā)展日收益RealP：中海轉債日收益；GVMax：模型估計收益）

表5 方差分析結果

通過方差數據可以看出中海發(fā)展股票價格的波動要明顯的高于中海轉債的收益波動和中海轉債的理論波動，這一點與B-S模型中所指出的SN(d1)/c總是大于1表示的權證波動較股票波動更為大相矛盾，在我國表現為一種普遍現象，本人認為基于以下三點：

第一，中國市場的特點表現為股票交易中以中小投資者為主，他們主要的分析方式是通過宏觀經濟形勢或者利用有限的披露的信息進行極為有限的價值分析，而且，他們中的大多數是投機者，力圖通過抓住機會獲取超額利潤。在這樣的投資者中羊群效應或者消息市的特征十分明顯，波動巨大。

第二，可轉債的投資者的投資行為趨于理性，對可轉債的價值實證分析自98年起就進入理論界和投資界人士視野，各種方法的模型，如B-S模型，蒙特卡洛模擬，二叉樹及他們的衍生模型紛紛出現在學術討論中，計算機的引入是數值模擬大規(guī)模的使用，因此定價也開始走向理性，目前很多投資網站如金融界等都提供按照自己模型提供的可轉債理論價值（或者叫套利空間）分析，這也可以從市場價格基本位于理論價格區(qū)間內看出，可轉債價格的波動基本上是由于市場的價值因素發(fā)生了，綜上所述，中國市場股票收益波動大于轉債波動是基本符合現實的。

第三，我國目前缺乏做空機制，可轉換債券的套利策略難以實現。在可轉債的二級市場上，運用B-S期權定價模型使可轉債的市價偏離了理論價值。

[1]劉毅，陳瑤.基于LSM模型的中國可轉債定價問題初探[J].現代財經，2011,(9).

[2]劉大巍,陳啟宏,張羽中.關于我國可轉債定價修正模型的實證研究[J].管理工程學報，2011,(1).

[4]張衛(wèi)國,史慶盛,肖煒麟.考慮支付紅利的可轉債模糊定價模型及其算法[J].管理科學學報，2010,(11).

[5]王樂樂,邊保軍.約化框架下帶有信用風險的永久可轉債定價[J].同濟大學學報,2010,(6).

[6]劉大巍,陳啟宏.對我國可轉債特別向下修正條款的研究[J].系統(tǒng)工程學報,2010,(3).