支岳，趙國榮，宋超

(海軍航空工程學院控制工程系，山東煙臺 264001)

引言

在無人飛行器控制器的設計中不可避免地會遇到飛行器參數(shù)的不確定性問題。以往的不確定系統(tǒng)魯棒分析和綜合方法大多建立在二次穩(wěn)定的概念基礎上，對系統(tǒng)的所有不確定性，用一個公共的Lyapunov函數(shù)來分析系統(tǒng)的性能，由此得到的結果必然具有較大的保守性。為了降低結果的保守性，基于參數(shù)依賴Lyapunov穩(wěn)定思想對凸多面體不確定系統(tǒng)進行分析和綜合成為近年來魯棒控制領域的前沿研究課題［1］。當前的許多文獻研究了線性不確定系統(tǒng)參數(shù)依賴控制器的設計問題［2-3］，針對非線性不確定系統(tǒng)的參數(shù)依賴控制器設計研究還比較少。

考慮到用四元數(shù)描述剛體姿態(tài)運動不會像歐拉角那樣產生運動學方程的奇異［4］，本文選用誤差四元數(shù)作為無人飛行器姿態(tài)運動描述參數(shù)，對飛行器進行控制器設計。首先基于參數(shù)依賴Lyapunov穩(wěn)定條件得到了控制器存在的充分條件，然后基于文獻［5］對非線性矩陣不等式中的非凸項進行了相應的處理，并應用平方和(Sum of Squares，SOS)方法得到無人飛行器的參數(shù)依賴魯棒控制器，最后通過仿真對控制器的性能進行了驗證。

1 問題描述

飛行器在體軸坐標系中繞質心轉動的動力學方程通?？梢员硎緸?

式中，ω =［ω1，ω2，ω3］∈R3為飛行器在體軸坐標系下的角速度;J∈R3×3為對稱正定的轉動慣量矩陣;M=［M1，M2，M3］T∈R3為力矩向量。對于任意向量 ξ = [ ξ1ξ2ξ3]T∈R3，符號 ξ×表示如下的斜對稱矩陣:

基于姿態(tài)四元數(shù)與角速度的關系可得飛行器相對姿態(tài)誤差運動學方程為:

式中，qe=［qe0，］T為誤差四元數(shù);ωe=［ωe1，ωe2，ωe3］T為當前角速度與指令角速度的偏差。

將［qe0，qe1，qe2，qe3，ωe1，ωe2，ωe3］T作為狀態(tài)變量［x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7］T，則飛行器的姿態(tài)方程為:

假設無人飛行器的轉動慣量矩陣J存在不確定性，則系統(tǒng)可描述為如下的參數(shù)依賴方程:

2 參數(shù)依賴魯棒控制器設計

飛行器姿態(tài)控制系統(tǒng)所考慮的任務是對給定指令姿態(tài)四元數(shù)qd，尋求合適的控制律，使飛行器在系統(tǒng)參數(shù)存在不確定性的情況下，使得誤差四元數(shù)qe=［1，0，0，0］T。

為了降低保守性，選用如下的參數(shù)依賴Lyapunov方程:

下面給出參數(shù)依賴魯棒鎮(zhèn)定控制器的設計方法。

定理1:給定凸多面體非線性系統(tǒng)(5)和形如式(8)的狀態(tài)反饋控制器，則閉環(huán)系統(tǒng)(9)對于所有的θ∈Θ魯棒穩(wěn)定的充分條件為存在矩陣函數(shù)Xi(x)=(x)＞0，Y(x)，W 以及標量 ε 滿足

用Pθ(x)對式(17)進行全等變換，即可得到(x)＜0。因此式(8)的狀態(tài)反饋控制器，保證了閉環(huán)系統(tǒng)(9)對于所有的θ∈Θ魯棒鎮(zhèn)定。

定理1基于參數(shù)依賴Lyapunov穩(wěn)定條件設計了魯棒狀態(tài)反饋控制器，而且在定理中解除了Lyapunov矩陣函數(shù)與系統(tǒng)矩陣之間的耦合乘積項。

下面先對平方和多項式做出如下定義:

定義1［6］:一個具有n個變量的多項式 p(x)稱為平方和多項式，如果存在 fi(x)∈Rn，i=1，…，m滿足

式中，Rn為具有n個變量的實系數(shù)多項式集合。

推論1:給定凸多面體非線性系統(tǒng)(5)和形如式(8)的狀態(tài)反饋控制器，則閉環(huán)系統(tǒng)(9)對于所有的θ∈Θ魯棒穩(wěn)定的充分條件為存在矩陣函數(shù)Xi(x)=(x)＞0，Y(x)，W 以及標量 ε，常數(shù) pi＞0，平方和多項式 qil(x)＞0(對任意的 x≠0，(i，l=1，…，s))，如下問題的最優(yōu)值為0。

使得

Υi12如式(13)所示，ΣSOS表示平方和多項式集合，則控制器增益矩陣由式(14)給出。

3 數(shù)學仿真

考慮不確定的無人飛行器狀態(tài)方程(5)以及標稱方程(4)，假設飛行器為軸對稱型，則飛行器的標稱主轉動慣量分別為:J11=72 kg·m2，J22=60 kg·m2，J33=55 kg·m2，其在式(5)中的轉動慣量矩陣為:

固定θ1=0.2，分別將基于二次穩(wěn)定性理論與推論1設計得到的控制器作用于飛行器，誤差四元數(shù)響應比較如圖1所示。

圖1 二次穩(wěn)定方法與推論1方法誤差四元數(shù)響應曲線

由圖1可以看出，采用推論1的方法設計的控制器能夠使系統(tǒng)具有更好的動態(tài)性能。

將θ在［0，1］之間每隔0.1進行插值得到系統(tǒng)(5)兩個頂點間的11個插值系統(tǒng)，采用式(22)的控制律作用下進行仿真，可以得到誤差四元數(shù)、控制力矩以及角速度誤差的響應曲線組如圖2～圖4所示。

圖2 誤差四元素響應曲線組

圖3 控制力矩響應曲線組

圖4 角速度誤差響應曲線組

由圖2～圖4可以看出，采用式(22)的控制器使系統(tǒng)在參數(shù)不確定的情況下，依然能夠保持良好的跟蹤，并且具有較好的動態(tài)性能。

4 結束語

本文選用誤差四元數(shù)作為無人飛行器姿態(tài)運動描述參數(shù)，考慮系統(tǒng)參數(shù)存在不確定性的情況下，在控制器設計中融入了參數(shù)依賴Lyapunov穩(wěn)定思想，將控制器存在的充分條件轉化為一組非線性參數(shù)依賴矩陣不等式的求解問題，通過引入附加松弛矩陣分離了Lyapunov矩陣和系統(tǒng)矩陣，并應用平方和方法求解得到了控制器。仿真結果表明了本文所提出的控制器設計方法的有效性。

［1］ Chesi G，Garulli A，Tesi A，et al.Polynomially parameterdependent Lyapunov functions for robust stability of polytopic systems:An LMI approach［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，2005，50(3):365-370.

［2］ Gao H J，Shi P，Wang J L.Parameter-dependent robust stability of uncertain time-delay systems［J］.Journal of Computational and Applied Mathematics，2007，206(1):366-373.

［3］ Oliveira R C L F，Peres P L D.LMI conditions for robust stability analysis based on polynomially parameter-dependent Lyapunov functions［J］.Systems ＆ Control Letters，2006，55(1):52-61.

［4］ 華瑩.空間飛行器大角度機動控制律設計［J］.宇航學報，2006，27(6):1223-1227.

［5］ Ma H J，Yang G H.Fault tolerant control for nonlinear systems:Sum of squares optimization approach［J］.International Journal of Robust and Nonlinear Control，2009，19(5):591-610.

［6］ Prajna S，Papachristodoulou A，Seiler P，etal.SOSTOOLS:Control applications and new developments［C］//2004 IEEE International Symposium on Computer Aided Control Systems Design.Taipei，Taiwan:IEEE，2004:315-320.