聶川義，郭建國，周軍，呼衛(wèi)軍

(西北工業(yè)大學(xué)精確制導(dǎo)與控制研究所，陜西西安 710072)

引言

彈道優(yōu)化是最優(yōu)問題的兩點邊值問題［1］，考慮導(dǎo)彈運動非線性微分方程求解復(fù)雜，加上多變的飛行環(huán)境、狀態(tài)變量及控制變量約束限制，使其求解非常復(fù)雜。針對此問題，一般將彈道優(yōu)化這一過程優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為參數(shù)優(yōu)化問題，并通過數(shù)值優(yōu)化算法求解［2-4］。

空射彈道導(dǎo)彈飛行彈道特點與彈道式彈道相似，針對后者的彈道優(yōu)化設(shè)計已經(jīng)作了大量研究。然而，空中水平發(fā)射方式又帶來了新的問題。由于載機運載能力有限，空射導(dǎo)彈起飛重量大、體積大，亞聲速水平發(fā)射，增加了彈道設(shè)計難度，并使飛行約束條件增強，進而增加了其彈道優(yōu)化設(shè)計難度。

為此，本文針對空射彈道導(dǎo)彈低速水平發(fā)射的特點，分析了其初始爬升過程，設(shè)計了動力段的飛行彈道，以描述飛行程序角變化規(guī)律參數(shù)為設(shè)計變量，根據(jù)控制量參數(shù)化理論，將過程優(yōu)化轉(zhuǎn)化為參數(shù)優(yōu)化，考慮空射、氣動、動力系統(tǒng)等多種約束條件，建立了參數(shù)優(yōu)化模型，并通過仿真計算，彈道優(yōu)化效率明顯提高，驗證了設(shè)計飛行方案的可行性和有效性。

1 彈道優(yōu)化設(shè)計

彈道優(yōu)化問題的參數(shù)化是指:將以最優(yōu)控制描述的過程優(yōu)化問題，通過選擇一個包含有限個參數(shù)的恰當(dāng)結(jié)構(gòu)去近似控制變量，并將狀態(tài)變量看作控制變量的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為以非線性規(guī)劃描述的參數(shù)優(yōu)化問題［5］。

空射導(dǎo)彈彈道優(yōu)化問題可描述為:給定一組非線性微分方程組:

式中，x∈Rn為狀態(tài)變量，包括彈道描述的氣動角、姿態(tài)角以及彈道參數(shù)，如攻角、俯仰角、彈道傾角等;u∈Rm為控制變量，是姿態(tài)角控制量，即俯仰角。由發(fā)射初始狀態(tài)和落點終端條件，求解最優(yōu)問題使性能指標(biāo)

最小，同時滿足各種約束條件

約束主要包括發(fā)射空中轉(zhuǎn)彎嚴(yán)格的時間限制、攻角或過載限制、再入傾角、關(guān)機速度以及控制變量約束等。

求解該最優(yōu)化問題是過程優(yōu)化問題，求解兩點邊值問題將十分復(fù)雜。為此，需轉(zhuǎn)化為參數(shù)優(yōu)化問題。參數(shù)化方法描述如下:

將總的時間過程T(T=tf－t0)分成p等份，得到p+1個節(jié)點:τ0，τ1，…，τp。設(shè)各節(jié)點上的控制變量值為:u0，u1，…，up，則不在節(jié)點上的任意時刻 τ處的控制變量值可由插值法獲得，即:

式中，uk為需通過尋優(yōu)確定的一組未知參數(shù)向量。最簡單的插值法是線性插值，即:0

需要優(yōu)化的參數(shù)向量為:

這樣就將對過程函數(shù)u(t)的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化成了對節(jié)點值的非線性規(guī)劃問題。從而將過程優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為參數(shù)優(yōu)化問題。

2 空射彈道導(dǎo)彈彈道優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

根據(jù)前面討論的彈道優(yōu)化設(shè)計思想建立彈道模型，其中彈道設(shè)計是核心，彈道設(shè)計問題將轉(zhuǎn)化為飛行程序角設(shè)計問題。根據(jù)參數(shù)化方法將各段飛行彈道用設(shè)計參數(shù)描述，即實現(xiàn)了彈道參數(shù)化。在設(shè)計彈道過程中，必須考慮各種飛行約束，并用數(shù)學(xué)表達式描述。選擇合適的優(yōu)化算法可以提高收斂性。

根據(jù)上述設(shè)計的優(yōu)化方案，空射彈道導(dǎo)彈彈道優(yōu)化數(shù)學(xué)模型框圖如圖1所示。

圖1 彈道優(yōu)化模型示意圖

2.1 空射彈道參數(shù)化過程

根據(jù)空射彈道導(dǎo)彈飛行特點，其飛行過程［6-7］描述如下:

(1)投放:當(dāng)載機高度和速度達到預(yù)定時，釋放導(dǎo)彈，載機拉起飛離危險區(qū)域，導(dǎo)彈一級發(fā)動機點火，此時記為零時刻。

(2)一級爬升段(0≤t＜T1):投放后，零時刻到一級發(fā)動機關(guān)機?？丈鋵?dǎo)彈一級按攻角拉起并進行爬升，這時攻角先快速達到最大值，然后逐漸減小，這一階段采用經(jīng)典攻角模型:

式中，αm為最大飛行攻角;c1為轉(zhuǎn)彎系數(shù)。由于空射導(dǎo)彈總體特點，其一級發(fā)動機工作時間較短，為了保證一、二級分離攻角較小，攻角程序拉起后，用指數(shù)函數(shù)將攻角減小至零，此時攻角模型為:

式中，α1為前段結(jié)束時攻角大小;t1c為爬升拉起結(jié)束時刻;c2為指數(shù)衰減系數(shù)。這里初始段分為兩段設(shè)計，將在后面進行分析說明。

(3)一、二級分離段(T1≤t＜t12):以常值俯仰角φ1c飛行。

(4)二級工作段(t12≤t＜T2):二級發(fā)動機點火，導(dǎo)彈按預(yù)定俯仰角程序飛行直至二級發(fā)動機關(guān)機，一般采用等斜率俯仰角程序。

(5)三級點火姿態(tài)建立段(T2≤t＜t23):為了使導(dǎo)彈獲得最大速度和最佳關(guān)機彈道傾角，三級點火前進行姿態(tài)調(diào)整，該段又稱滑行段，一般也采用等斜率俯仰角程序，調(diào)整后二級發(fā)動機分離。

(6)三級工作段(t23≤t＜T3):三級發(fā)動機點火，按等斜率俯仰角程序飛行，直至關(guān)機分離。

根據(jù)上面討論，空射彈道導(dǎo)彈主動段飛行程序設(shè)計如下:

圖2 空射彈道導(dǎo)彈各級飛行示意圖

2.2 彈道優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

(1)設(shè)計變量

(2)目標(biāo)函數(shù)

射程和精度是遠(yuǎn)程導(dǎo)彈的關(guān)鍵因素，優(yōu)化的目標(biāo)可選為射程最大max(L)。射程決定于導(dǎo)彈主動段結(jié)束時刻的飛行參數(shù)，如關(guān)機點速度Vk、彈道傾角θk、飛行高度Hk、飛行距離Lk、飛行時間tk等。其解析表達非常復(fù)雜，無法計算目標(biāo)函數(shù)的解析解，優(yōu)化模型中射程通過彈道仿真計算求得。

(3)約束函數(shù)

空射彈道導(dǎo)彈飛行過程中一般有如下約束:一級爬升段法向過載主要受導(dǎo)彈可用過載限制，即導(dǎo)彈最大攻角限制。另外，過載限制同時決定了俯仰角變化率受到限制，對姿態(tài)控制系統(tǒng)提出了要求。法向過載不能超過可用過載nymax。

一、二級分離時刻攻角α12盡可能小，以減小氣動力對彈體的擾動。

再入時，彈頭要求彈道傾角不能過大，其絕對值不超過|θne|max，再入傾角過小，導(dǎo)彈飛行時間較長，氣動加熱嚴(yán)重，且落地速率較小，因此其絕對值應(yīng)大于|θne|min。

為了滿足射程要求，導(dǎo)彈主動段關(guān)機馬赫數(shù)不應(yīng)小于Mak。約束條件描述如下:

(4)優(yōu)化方法

序列二次規(guī)劃法(Sequential Quadratic Programming，SQP)是解決非線性約束優(yōu)化問題最為重要的方法之一，它使得約束優(yōu)化問題不再依賴無約束優(yōu)化，是求解彈道優(yōu)化最為有效的方法之一。其優(yōu)化過程是把約束最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一系列目標(biāo)函數(shù)與拉格朗日函數(shù)密切相關(guān)的線性約束最優(yōu)化子問題，其子問題是一個二次規(guī)劃問題，子目標(biāo)函數(shù)是一個二次函數(shù)，子約束函數(shù)是在該處的泰勒展開的線性項。求解子問題可以得到下一步搜索方向，并利用BFGS［5］公式更新目標(biāo)函數(shù)的Hession矩陣，這樣反復(fù)迭代計算，直到滿足終止條件退出。

3 彈道設(shè)計實例及結(jié)果分析

3.1 優(yōu)化算例

設(shè)三級空射彈道導(dǎo)彈投放高度為11 km，投放速度Ma=0.8，水平點火，爬升段最大攻角 αm=15°，導(dǎo)彈各飛行段按程序角飛行(見式(9))。設(shè)定彈道計算結(jié)束點為再入點，再入點高度為90 km。飛行過載ny≤4.1，一、二級分離攻角小于0.5°，關(guān)機點Mak≥ 20，再入傾角 －22°≤θne≤ －5°。

序列二次規(guī)劃法可以保證在給定的搜索范圍內(nèi)得到滿足各種非線性約束的最優(yōu)解。然而，彈道優(yōu)化中，狀態(tài)變量較多，各種約束和控制量對優(yōu)化目標(biāo)影響關(guān)系錯綜復(fù)雜，其所構(gòu)成的狀態(tài)空間中存在眾

若僅依靠氣動力轉(zhuǎn)彎，由于采用無翼外形其氣動升力較小，初始段攻角小于15°，法向過載ny＜1.2，導(dǎo)彈不能實現(xiàn)快速爬升;若有推力轉(zhuǎn)彎時ny可達4.3，導(dǎo)彈能迅速拉起。投放后，t=5 s和t=0 s時發(fā)動機點火的飛行彈道仿真對比如圖3所示。多局部最優(yōu)點。因此，所選的優(yōu)化初始點必須盡量接近最優(yōu)值。下面討論初始值選擇:

設(shè)優(yōu)化目標(biāo)為射程最大，射程的主要決定因素是關(guān)機點速度Vk、高度Hk和當(dāng)?shù)貜椀纼A角θk。在空射彈道導(dǎo)彈總體參數(shù)和程序制導(dǎo)確定情況下，可以估算關(guān)機點最大速度在5 800 m/s左右，高度在250 km左右，并根據(jù)經(jīng)驗公式［8］可估計其最佳當(dāng)?shù)貜椀纼A角為21°，從而獲得最大估計射程為5 200 km。根據(jù)這些指標(biāo)，可以選擇滿足各種約束的初始值。

3.2 計算結(jié)果及分析

(1)初始爬升段分析

導(dǎo)彈采用水平點火方式，其導(dǎo)彈法向過載按下式計算:

圖3 初始時有、無推力轉(zhuǎn)彎對比圖

由圖可見，初始采用無推力轉(zhuǎn)彎時，彈道明顯下落，拉起緩慢。由程序角設(shè)計可知，初始彈道拉起快慢由攻角模型中轉(zhuǎn)彎系數(shù)c1決定。圖4和圖5是不同c1值的攻角和高度變化曲線圖。由圖可見，當(dāng)c1越小攻角變化越緩慢，其值回復(fù)到零所需時間越長，彈道拉起越快;反之，攻角變化越快，彈道拉起越緩慢。c1值選擇較小為宜，但此時攻角在一級工作結(jié)束時仍然較大，不滿足一、二級分離要求。因此，在一級結(jié)束前，設(shè)計攻角快速指數(shù)衰減指令如式(8)，使其滿足分離要求。

圖4 攻角變化曲線

圖5 高度變化曲線

(2)優(yōu)化結(jié)果分析

利用優(yōu)化模型，采用序列二次規(guī)劃法對彈道進行優(yōu)化，優(yōu)化前后參數(shù)對比如表1所示。

表1 優(yōu)化設(shè)計變量取值范圍及優(yōu)化結(jié)果

優(yōu)化前后彈道性能參數(shù)見表2，導(dǎo)彈主動段飛行過程彈道、攻角、俯仰角、當(dāng)?shù)貜椀纼A角以及速度變化曲線優(yōu)化前后對比分別如圖6～圖8所示。

表2 彈道性能參數(shù)

圖6 彈道曲線

圖7 速度曲線

圖8 俯仰角、彈道傾角和攻角變化曲線

計算結(jié)果表明，該優(yōu)化方法使得性能指標(biāo)大大提高。初始設(shè)計彈道拉起爬升時間為33 s，c1=0.08，從而彈道傾角和俯仰角變化較緩，二級俯仰角速率較小，使一、二級爬升段爬升高度過快，同時姿態(tài)調(diào)整段時間長達160 s，其速度迅速下降，導(dǎo)致能量損失較大;優(yōu)化彈道將拉起爬升段時間縮短至25 s，二級程序俯仰角速率加快，將姿態(tài)調(diào)整時間減小至100 s，同時保證姿態(tài)調(diào)整程序俯仰角速率為較小值，有利于實現(xiàn)。優(yōu)化前后關(guān)機點速度大幅提升，關(guān)機點當(dāng)?shù)貜椀纼A角很接近，與采用經(jīng)驗公式計算結(jié)果一致，從而使射程增加了16%?？梢?，優(yōu)化結(jié)果合理，優(yōu)化方法可行。

4 結(jié)束語

針對空射水平發(fā)射彈道導(dǎo)彈助推段彈道優(yōu)化設(shè)計問題，在水平空射、氣動、彈道、動力系統(tǒng)以及控制變量等多種約束下，利用構(gòu)造適當(dāng)?shù)目刂谱兞繀?shù)化結(jié)構(gòu)，將過程優(yōu)化轉(zhuǎn)化為參數(shù)優(yōu)化的思想，設(shè)計了空射彈道導(dǎo)彈軌跡參數(shù)優(yōu)化模型，實現(xiàn)了助推段軌跡精確快速生成。仿真結(jié)果表明，彈道優(yōu)化計算時間縮短，收斂速度明顯提高，優(yōu)化指標(biāo)在原設(shè)計基礎(chǔ)上提高了16%。該方法適應(yīng)于彈道導(dǎo)彈方案論證和初步設(shè)計。

采用單一的優(yōu)化算法不能完全滿足優(yōu)化設(shè)計目標(biāo)，在本文設(shè)計的優(yōu)化模型下，可以選擇其它優(yōu)化算法，如遺傳算法、混合算法［9］等，并引入優(yōu)化分析方法，如靈敏度分析等，使得優(yōu)化模型形成閉環(huán)。

［1］ 祝強軍.彈道導(dǎo)彈彈道仿真與優(yōu)化設(shè)計［D］.西安:西北工業(yè)大學(xué)，2007.

［2］ 孫丕忠，夏智勛，郭振云.水平空中發(fā)射固體有翼運載火箭［J］.固體火箭技術(shù)，2004，27(2):87-91.

［3］ 楊希祥，江振宇，張為華.小型運載火箭大氣層飛行段飛行程序設(shè)計研究［J］.飛行力學(xué)，2010，28(4):68-72.

［4］ 王曉青，王小軍，王國輝.空射運載火箭方案研究［J］.導(dǎo)彈與航天運載技術(shù)，2008，(3):1-5.

［5］ ［日］茨木俊秀，福島雅夫.最優(yōu)化方法［M］.曾道智，譯.北京:世界圖書出版公司，1997:12-30.

［6］ Robert L Geisler，Thomas L Moore，Eric M Rohrbaugh，et al.Unlocking themystery of the D-21B solid rocket boosted air-launched mach 3UAV［R］.AIAA-2007-5761，2007.

［7］ Ross IM，Souza C D，F(xiàn)ahroo F，et al.A fast approach to multistage launch vehicle trajectory optimization［R］.AIAA-2003-5639，2003.

［8］ 張毅，肖龍旭，王順宏.彈道導(dǎo)彈彈道學(xué)［M］.長沙:國防科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，1999:183-189.

［9］ Hiwa S，Hiroyasu T，MikiM.Hybrid optimization using direct，GA，and SQP for global exploration［C］//Congress on Evolutionary Computation.IEEE 1-4244-1340-0/07，2007:1709-1716.