賈敬堂

(邯鄲職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，河北邯鄲056005)

一、問題的提出

高職高專學(xué)生經(jīng)常問的問題是，高等數(shù)學(xué)這么難，學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)有什么用，現(xiàn)實(shí)生活中能用上高等數(shù)學(xué)嗎?帶著這些疑問，以極限為例研究一下極限思想在經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用。

二、極限的概念與起源

數(shù)列是一種特殊的函數(shù)。數(shù)列與函數(shù)的極限共同的定義為:若對(duì)任意的正數(shù)ε，都存在正數(shù)N，使得當(dāng)x＞N時(shí)都有|f(x)-A|＜ε成立，則稱函數(shù)f(x)當(dāng)x→+∞時(shí)，收斂于極限值A(chǔ)，也就是

當(dāng)函數(shù)自變量趨于常數(shù)時(shí)的極限定義為:若對(duì)任意的正數(shù)ε，都存在正數(shù)δ，使得適合不等式0＜|x-x0|＜δ的所有x都有|f(x)-A|＜ε成立，則稱函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時(shí)，有極限A，也就是

極限思想是近代數(shù)學(xué)的一種重要思想，高等數(shù)學(xué)就是以極限概念為基礎(chǔ)、極限理論(包括級(jí)數(shù))為主要工具來(lái)研究函數(shù)(極限、導(dǎo)數(shù)、微分、不定積分、定積分等)的一門學(xué)科。

所謂極限思想，是指用極限概念分析問題和解決問題的一種數(shù)學(xué)思想。極限思想來(lái)源于社會(huì)實(shí)踐。極限思想實(shí)際上是一種理想化的狀態(tài)。

極限思想可以追溯到古代，例如我國(guó)戰(zhàn)國(guó)時(shí)期的道家代表人物莊子(前369-前286)就有了原始的極限思想，據(jù)《莊子·天下篇》中記載:“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭?！币怀咧⑹且挥邢薜奈矬w，但它卻可以無(wú)限地分割下去。用現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示為:微積分的極限理論的核心是，如果一個(gè)數(shù)列或函數(shù)無(wú)限地接近于一個(gè)常數(shù)，我們就說(shuō)這個(gè)數(shù)是這個(gè)數(shù)列或函數(shù)的極限。由于可用原數(shù)列或函數(shù)減去極限常數(shù)而構(gòu)造新的數(shù)列或函數(shù)，問題就可變?yōu)椤耙粋€(gè)數(shù)列或函數(shù)無(wú)限地接近于0”，也就是微積分學(xué)的精髓——無(wú)窮小量。

我國(guó)魏晉時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家劉徽(約公元225—295)在其《九章算術(shù)注》(263)中敘述了用割圓術(shù)確定圓的面積的方法。割圓術(shù)就是“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至不可割，則與圓周合體，而無(wú)所失矣”。劉徽的思想與現(xiàn)今極限論的觀點(diǎn)是十分相近的。劉徽的割圓術(shù)就是建立在直觀基礎(chǔ)上的一種原始的極限思想的應(yīng)用。

古希臘的安提芬(Antiphon，480—403BC)最早表述了窮竭法，他在研究“化圓為方”問題時(shí)，提出了使用圓內(nèi)接正多邊形面積“窮竭”圓面積的思想。

古希臘數(shù)學(xué)家歐多克斯(Eudoxus of Cnidus，408—355 BC)改進(jìn)了安提芬的窮竭法。將其定義為:“在一個(gè)量中減去比其一半還大的量，不斷重復(fù)這個(gè)過程，可以使剩下的量變得任意小”。古希臘人的窮竭法也蘊(yùn)含了極限思想。

希臘的大數(shù)學(xué)家阿基米德(Archimedes，287—212BC)運(yùn)用窮竭法求出了拋物弓形的面積、球的表面積、球冠面積、螺線下的面積、旋轉(zhuǎn)雙曲體積等輝煌成果。他還提出了相當(dāng)于現(xiàn)在無(wú)窮小量的概念，為近代的極限理論打下了基礎(chǔ)。

17世紀(jì)下半葉，歐洲科學(xué)技術(shù)迅猛發(fā)展，由于生產(chǎn)力的提高和社會(huì)各方面的迫切需要，經(jīng)各國(guó)科學(xué)家的努力與歷史的積累，建立在函數(shù)與極限概念基礎(chǔ)上的微積分理論應(yīng)運(yùn)而生了。微分和積分是互逆的兩種運(yùn)算。而這是微積分建立的關(guān)鍵所在。只有確立了這一基本關(guān)系，才能在此基礎(chǔ)上構(gòu)建系統(tǒng)的微積分學(xué)。英國(guó)的數(shù)學(xué)家牛頓(Newton，1643—1727)、德國(guó)的數(shù)學(xué)家萊布尼茲(Leibniz，1646—1716)在同一時(shí)期創(chuàng)立了微積分，即∫abf(x)dx=F(b)-F(a)牛頓-萊布尼茲公式就是利用了極限方法。

在19世紀(jì)，法國(guó)的數(shù)學(xué)家柯西(Cauchy，1789—1857)開始明確了極限概念，但在他的著作中常用語(yǔ)言敘述的方法給出，例如“一個(gè)變量趨于一個(gè)極限”、“變?yōu)榍冶３中∮谌我饨o定的量”等，他一方面排除了無(wú)窮小的形而上學(xué)的絕對(duì)存在，而在某些情況下卻又把無(wú)窮小當(dāng)作某種獨(dú)立的量來(lái)使用，沒有完全正確地運(yùn)用極限理論來(lái)定義什么是無(wú)窮小量。

到19世紀(jì)后半葉，德國(guó)的魏爾斯特拉斯(Weierstrass，1815—1897)才明確而又全面地給出了現(xiàn)今所采用的極限定義。用靜態(tài)的方法，刻畫了動(dòng)態(tài)的極限概念和連續(xù)概念。他既排除了萊布尼茲的固定無(wú)窮小，也消除了柯西的語(yǔ)言敘述的繁瑣，成為我們現(xiàn)在使用的極限定義。

用極限思想解決問題的一般步驟可概括為:對(duì)于被考察的未知量，先設(shè)法構(gòu)思一個(gè)與它有關(guān)的變量，確認(rèn)這變量通過無(wú)限過程的結(jié)果就是所求的未知量;最后用極限計(jì)算來(lái)得到這結(jié)果。

解決問題的極限思想方法是全部高等數(shù)學(xué)必不可少的一種重要方法，也是高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的本質(zhì)區(qū)別之處。高等數(shù)學(xué)之所以能解決許多初等數(shù)學(xué)無(wú)法解決的問題(例如求瞬時(shí)速度、曲線弧長(zhǎng)、曲邊形面積、曲面體體積等問題)，正是由于它采用了極限的思想方法。

三、極限在經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用及分析

通過具體的案例說(shuō)明極限在經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用，更加方便高職高專學(xué)生的理解。

1.農(nóng)夫分牛的數(shù)學(xué)原理

有一個(gè)農(nóng)夫養(yǎng)牛19頭，在去世前要把這19頭牛分給自己的三個(gè)兒子。遺囑是這樣寫的:老大得老二得，老三得既不能把牛殺死，也不能賣了分錢。農(nóng)夫去世后，兄弟三人怎么也想不出辦法把牛分完。兄弟三人只好向聰明的鄰居請(qǐng)教。這個(gè)鄰居想了想說(shuō):我借給你們一頭牛，就好分了。這樣，老大得到20頭牛的為10頭，老二得到為5頭，老三得到為4頭，合計(jì)剛好為19頭，剩下一頭牛還給這個(gè)鄰居，恰好分完。

農(nóng)夫的問題得到解決，鄰居的聰明才智令人贊揚(yáng)。

我們?cè)僮屑?xì)思考一下，這樣分牛合理嗎?也就是說(shuō)，老大、老二和老三得到的牛數(shù)是否真的農(nóng)夫的遺囑絲毫不差?

我們來(lái)計(jì)算一下這個(gè)問題。

由于牛不能分割，分?jǐn)?shù)的分法在這里不起作用。這就是農(nóng)夫兒子想不出辦法的原因。

為什么會(huì)出現(xiàn)分?jǐn)?shù)而不是整數(shù)呢?按照農(nóng)夫的遺囑，第一次分后不能夠把19頭牛完全分完，還剩下頭牛。

每個(gè)人必須按照遺囑繼續(xù)分掉剩下的牛。

繼續(xù)分下去，這是一個(gè)收斂的無(wú)窮級(jí)數(shù)。

老三得到的牛頭數(shù)為

我們看到，經(jīng)過極限計(jì)算的結(jié)果與鄰居的分牛方法完全一致。這說(shuō)明，利用極限思想能圓滿地解決某些日常生活中的數(shù)學(xué)難題。

重要極限有明顯的經(jīng)濟(jì)意義，在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。

假設(shè)本金為A0，年利率為r，期限為t年，按照本息和復(fù)利計(jì)算公式，得At=A0(1+r)t

如果每年計(jì)息n次，則t年后本息和為

這說(shuō)明，連續(xù)復(fù)利計(jì)算次數(shù)越頻繁，計(jì)息周期越短，計(jì)算所得的本息和數(shù)額就越大。當(dāng)n→+∞時(shí)，，但不會(huì)無(wú)限增大。

以本金 =100000元，年利率r=5%，t=10為例，到期本息和約為164872元。這說(shuō)明，當(dāng)本金不是非常大時(shí)，僅依靠利息難以致富?？紤]到通貨膨脹因素，通過在銀行存款10年后能否保值還不確定。

3.謠言傳播問題研究

在傳播學(xué)中有一個(gè)規(guī)律:在一定情況下，謠言的傳播符合以下函數(shù)關(guān)系:

其中p(t)是t時(shí)刻人群中知道此謠言的人數(shù)比例，a與k都是正數(shù)。

此函數(shù)圖象也叫邏輯斯蒂曲線，邏輯斯蒂曲線通常分為5個(gè)時(shí)期:開始期、加速期、轉(zhuǎn)折期、減速期、飽和期。

這從數(shù)學(xué)理論上回答了謠言傳播問題。例如“非典”時(shí)期的搶購(gòu)板藍(lán)根、白醋、口罩，甲流襲來(lái)時(shí)的搶購(gòu)大蒜的“瘋潮”，日本發(fā)生了核輻射泄漏后，一場(chǎng)全民參與的“搶鹽風(fēng)潮”等，當(dāng)謠言迅速蔓延時(shí)突然而止。由此說(shuō)明:隨著時(shí)間的推移，最終所有人都將會(huì)知道此謠言。

4.城市垃圾的處理問題

據(jù)某市2010年末的統(tǒng)計(jì)資料顯示，到2010年末，該市已堆積垃圾達(dá)100萬(wàn)噸。根據(jù)預(yù)測(cè)，從2010年起該市還將以5萬(wàn)噸的速度產(chǎn)生新的垃圾。如果從2011年起該市每年處理上一年堆積垃圾的20%，那么長(zhǎng)此以往，該市的垃圾能否全部處理完成?

設(shè)2010年后的每年的垃圾數(shù)量分別是a1、a2、a3……，根據(jù)題意，得:

以此類推，n(n→∞)年后的垃圾數(shù)量:

根據(jù)數(shù)列求和及極限知識(shí)可知:

隨著時(shí)間的推移，按照這種方法并不能把所有的垃圾處理完，剩余的垃圾將會(huì)維持在某一個(gè)固定的水平。

四、結(jié)束語(yǔ)

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)中每一個(gè)重要概念(例如極限)都有其實(shí)際背景，在高職高專教育中從實(shí)際問題出發(fā)引出概念的教學(xué)方法可以激發(fā)學(xué)生的求知欲，也能較快提高教學(xué)效果。通過上述分析在教學(xué)過程中應(yīng)盡力培養(yǎng)高職高專學(xué)生四方面的學(xué)習(xí)能力:一是利用數(shù)學(xué)思想、概念、方法理解經(jīng)濟(jì)概念及經(jīng)濟(jì)原理的能力;二是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的能力;三是求解數(shù)學(xué)模型的能力;四是培養(yǎng)創(chuàng)造性思維的能力。利用某些數(shù)學(xué)思想，通過實(shí)際問題的解決促進(jìn)高職高專學(xué)生進(jìn)一步學(xué)好經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)，逐步提高解決經(jīng)濟(jì)生活中一些實(shí)際問題的能力。

［1］侯風(fēng)波，蔡謀全.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)［M］.沈陽(yáng):遼寧大學(xué)出版社，2006

［2］胡國(guó)勝.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與應(yīng)用［M］.北京:科學(xué)出版社，2007