高階多智能體網(wǎng)絡(luò)在固定和動(dòng)態(tài)拓?fù)湎碌囊恢滦苑治?/h1>
2012-02-22 08:07:08于鏑伍清河王寅秋
兵工學(xué)報(bào) 2012年1期
于鏑，伍清河，王寅秋
(1.北京理工大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，北京100081;2.東北石油大學(xué) 電氣信息工程學(xué)院，黑龍江 大慶163318)
0 引言
近些年來，隨著智能化武器在軍事領(lǐng)域地位的日益提升，多智能體協(xié)調(diào)控制已成為復(fù)雜控制研究中十分活躍的領(lǐng)域。其相關(guān)技術(shù)廣泛應(yīng)用于多機(jī)器人、無人機(jī)、軍用車輛和衛(wèi)星編隊(duì)控制以及空中交通控制和軍事搜尋等非編隊(duì)控制。在協(xié)調(diào)控制中，為完成復(fù)雜任務(wù)或?qū)崿F(xiàn)共同目標(biāo)，智能體之間需相互影響且最終在協(xié)調(diào)數(shù)據(jù)上達(dá)成一致。在已有文獻(xiàn)中，稱智能體的狀態(tài)收斂到共同值為一致性問題，這是協(xié)調(diào)控制中的重要研究課題，已受到學(xué)者們的極大關(guān)注。
目前大多數(shù)成果均限于個(gè)體動(dòng)態(tài)為一階積分器［1－5］和二階積分器［6－11］網(wǎng)絡(luò)的一致性分析，但關(guān)于高階網(wǎng)絡(luò)一致性的研究成果很少。高階網(wǎng)絡(luò)一致性問題的研究動(dòng)機(jī)部分來源于群體行為的觀察。譬如協(xié)調(diào)作戰(zhàn)的無人機(jī)組，迫于環(huán)境變化突然改變運(yùn)動(dòng)方向，此時(shí)不但要求位置和速度的一致，而且要求加速度的協(xié)調(diào)統(tǒng)一。因此高階多智能體網(wǎng)絡(luò)一致性的研究具有重要的理論及現(xiàn)實(shí)意義。Ren 和Wang均從特征方程入手，討論有向固定拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)的Laplacian 陣特征值與整個(gè)閉環(huán)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)矩陣的特征值之間的對應(yīng)關(guān)系，從而給出一致性條件［12－13］。而Lin 采用模型變換的方法，在一定條件下，將系統(tǒng)矩陣變換為隨機(jī)矩陣，進(jìn)而應(yīng)用非負(fù)矩陣?yán)碚摰贸龈唠A有向動(dòng)態(tài)離散網(wǎng)絡(luò)漸近一致性條件［14］。
本文的主要貢獻(xiàn)是將一階有向網(wǎng)絡(luò)的一致性分析結(jié)果［4－5］拓展到高階情況。首先對網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)進(jìn)行模型變換，將由M 個(gè)n 階子系統(tǒng)所構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)等價(jià)地變換為由nM 個(gè)一階子系統(tǒng)所構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)。在一定條件下，變換后的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)矩陣為具有零行和的Metzler 矩陣，從而建立起網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)矩陣與網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞腖aplacian 矩陣之間的對應(yīng)關(guān)系。由此給出高階有向網(wǎng)絡(luò)一致性分析的新結(jié)果。從圖論的角度出發(fā)，得到了原網(wǎng)絡(luò)拓?fù)溆猩蓸渑c模型變換后的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)溆猩蓸鋬烧叩葍r(jià)的結(jié)論。針對固定拓?fù)?，分別給出無領(lǐng)航和領(lǐng)航－跟隨兩種情況下一致性條件及一致狀態(tài)。并且基于非負(fù)矩陣?yán)碚撟C明在有限的拓?fù)淝袚Q時(shí)間間隔內(nèi)，若有向圖聯(lián)合具有生成樹，則整個(gè)閉環(huán)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)漸近一致。與文獻(xiàn)［6］相比，放寬了對網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浜屯負(fù)淝袚Q停留時(shí)間的限制。最后應(yīng)用多車輛編隊(duì)控制仿真進(jìn)行理論驗(yàn)證。
1 系統(tǒng)模型和問題描述
考慮M 個(gè)n 階智能體所構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)，第i 個(gè)智能體的動(dòng)態(tài)描述如下:
其中:ξi(t)∈R 為智能體i 的信息變量…，n－1 為ξi(t)的k 階導(dǎo)數(shù);ui(t)∈R 為控制輸入，初始條件為設(shè)分別為智能體i 的狀態(tài)和初始狀態(tài)，分別表示整個(gè)多智能體網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)和初始狀態(tài)。
本文要解決網(wǎng)絡(luò)(1)的下列一致性問題:
定義1 考慮由動(dòng)態(tài)(1)描述的智能體所構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)，若在任意的初始條件下，智能體的狀態(tài)滿足
則稱整個(gè)多智能體網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)了漸近一致。而且，若存在ξ*(t)∈Rn，都有
則稱ξ*(t)是網(wǎng)絡(luò)的一致狀態(tài)。
為解決上述一致性問題，我們選取下列分布式一致性協(xié)議
其中，i=1，…，M，γk＞0，k =1，…，n－1 是絕對信息的反饋增益，β 是相對信息的反饋增益，Ni是智能體i 的鄰居集合，aij(t)表示時(shí)變的鄰接矩陣元素。協(xié)議(4)的目的是使M 個(gè)智能體的信息變量趨于一致，而其各階導(dǎo)數(shù)趨于0.
基于協(xié)議(4)，第i 個(gè)智能體的動(dòng)態(tài)可描述為
其中，L(t)是有向圖G［3］所對應(yīng)的Laplacian 陣。
2 模型變換
本節(jié)對閉環(huán)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行模型變換，并分析變換前后網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渲g的關(guān)系。
si∈P，i=1，…，n－1，P 是由正數(shù)構(gòu)成的有限集。令模型變換后整個(gè)閉環(huán)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)和初始狀態(tài)分別為則網(wǎng)絡(luò)動(dòng)態(tài)為
其中:
則可以把一階一致性算法的收斂性分析結(jié)果拓展到高階系統(tǒng)的一致性分析中來。有如下引理
引理1 在滿足條件(8)的情況下，－Ψ(t)是整個(gè)閉環(huán)網(wǎng)絡(luò)(7)的Laplacian 矩陣。
設(shè)模型變換后的閉環(huán)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋵?yīng)的有向圖為G'(V'，ε'，A')，其中頂點(diǎn)集V' ={v'1，…，v'nM}，邊集ε'?V' ×V'，A'(t)=［a'ij(t)］∈?nM×nM為加權(quán)鄰接矩陣，其中a'ij(t)≥0.則－Ψ(t)=［φij］∈?nM×nM，其中φii= ∑j≠ia'ij，φij=－a'ij.原拓?fù)浜湍Ｐ妥儞Q后拓?fù)溆腥缦碌葍r(jià)關(guān)系。
定理1 在滿足條件(8)的情況下，有向圖G'有生成樹的充要條件是有向圖G 有生成樹。
證明:由引理1 得，－Ψ(t)對應(yīng)的鄰接矩陣為
其中，
可知節(jié)點(diǎn)vin+1到節(jié)點(diǎn)v(i+1)n，i =0，…，M－1 是強(qiáng)連接的，且節(jié)點(diǎn)vin只可能得到節(jié)點(diǎn)v1，…，v(i－1)n+1，vin+1，v(i+1)n+1，…，v(M－1)n+1的信息，i =1，…，M－1.則整個(gè)網(wǎng)絡(luò)可以看成由M 個(gè)強(qiáng)連通分量以及它們之間的連接拓?fù)浣M成，如下圖所示。
圖1 模型變換后的閉環(huán)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋱DFig.1 Topology of network after model transformation
充分性:若有向圖G'的M 個(gè)強(qiáng)連通分量之間有生成樹，則G'一定有生成樹。將有向圖G'的強(qiáng)連通分量所對應(yīng)的邊刪除后的鄰接矩陣為
可見當(dāng)有向圖G 有生成樹，則有向圖G'的M 個(gè)強(qiáng)連通分量之間有生成樹，所以G'一定有生成樹。
必要性:將每個(gè)強(qiáng)連通分量收縮看成一個(gè)節(jié)點(diǎn)，則當(dāng)G'有生成樹，則G 一定有生成樹。
3 固定拓?fù)湎碌囊恢滦苑治?/h2>
本節(jié)考慮網(wǎng)絡(luò)(6)在固定拓?fù)湎碌囊恢滦苑治?，并分別討論無領(lǐng)航、領(lǐng)航－跟隨兩種情況。
引理2［5］設(shè)L 是有向圖G 所對應(yīng)的Laplacian矩陣。當(dāng)且僅當(dāng)有向圖G 有生成樹時(shí)，L 有一單零根，而其余特征根具有正實(shí)部。而且存在零特征根的左、右特征向量νTl=［ν1，…，νM］和1n，滿足L1n=0 和νTlL=0，并且νTl1n=1，其中νi＞0，i=1，…，M.
基于上述結(jié)果，根據(jù)文獻(xiàn)［4］，得出無領(lǐng)航情況下網(wǎng)絡(luò)(6)漸近一致的充分條件。
定理2 在滿足條件(8)的情況下，若有向圖G有生成樹，則高階多智能體網(wǎng)絡(luò)(6)在固定拓?fù)湎驴蓪?shí)現(xiàn)漸近一致。而且閉環(huán)網(wǎng)絡(luò)一致狀態(tài)為χ(ξ0)e1，其中?n，和ξ0的含義同前所述。證明:固定拓?fù)湎拢W(wǎng)絡(luò)(7)的系統(tǒng)矩陣為Ψ=IM?E－L?F.由已知條件和定理1 可得，有向圖G'有生成樹。所以高階多智能體網(wǎng)絡(luò)(7)的系統(tǒng)矩陣Ψ 有一單零根，且其余特征根具有負(fù)實(shí)部，即λ1(Ψ)=0，Re(λi(Ψ))＜0，i =2，…，nM.則存在非奇異變換T，使得
其中，J'為λi(Ψ)，i=2，…，nM 所對應(yīng)的約當(dāng)塊，和ωr1分別為零特征根的左、右特征向量。由于
則由η=(IM?S)ξ 可得
在實(shí)際應(yīng)用中，大部分情況下要求每個(gè)智能體的狀態(tài)隨時(shí)間變化。例如在車輛編隊(duì)控制中，不但要求車輛間保持一定的編隊(duì)隊(duì)形，而且一致狀態(tài)可能由一個(gè)參考狀態(tài)確定，或?yàn)檐囕v或環(huán)境動(dòng)態(tài)的時(shí)變函數(shù)。因此，有必要討論領(lǐng)航—跟隨一致性。
假設(shè)存在一個(gè)虛擬領(lǐng)航者，其動(dòng)態(tài)描述為
設(shè)領(lǐng)航者狀態(tài)為ξ*(t)=［ξl(t)…ξnl－1(t)］T.若要求各智能體的位置之間保持一定距離，可給出協(xié)議
其中，δij=δi－δj為智能體位置之間的期望距離。
推論1 假設(shè)所有智能體都已知虛擬領(lǐng)航者的狀態(tài)。在滿足條件(8)的情況下，若有向圖G 有生成樹，則在固定拓?fù)湎?，網(wǎng)絡(luò)(6)在協(xié)議(10)的作用下可漸近實(shí)現(xiàn)ξi(t)→χ(ξ0)+ξl(t)+δi，即ξi(t)－ξj(t)→δij，且ξ(k)i(t)→ξ(k)l(t)，i=1，…，M，j=1，…，M，k=1，…，n－1.
證明:令ζi(t)=ξi(t)－δi－ξl(t)，i =1，…，M為高階網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)變量，按照定理2 的證明思路得證。
4 動(dòng)態(tài)拓?fù)湎碌囊恢滦苑治?/h2>
在實(shí)際應(yīng)用中，由于外部干擾，或數(shù)據(jù)傳輸丟包和通信時(shí)滯，使得智能體之間的通信連接間斷，從而導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浒l(fā)生變化。所以本節(jié)考慮閉環(huán)網(wǎng)絡(luò)(6)在動(dòng)態(tài)拓?fù)湎碌囊恢滦苑治觥?/p>
在給出主要結(jié)論之前，先給出如下引理。
引理3［15］設(shè)W1，W2，…，Wk∈?p×p是SIA 矩陣的有限集，且其中每個(gè)有限序列Wi1，Wi2，…，Wij的乘積是SIA 矩陣。則對每個(gè)無限序列Wi1，Wi2，…，都存在一個(gè)列向量y∈?p使得
定理3 設(shè)t0，t1，…是一個(gè)無限時(shí)間序列，網(wǎng)絡(luò)拓?fù)湓谶@些時(shí)刻發(fā)生切換。并且0 ＜ti+1－ti≤τi，i=0，1，2，…，τi∈?+，其中t0是初始時(shí)刻。在滿足條件(8)的情況下，若在每個(gè)時(shí)間間隔［tij，tij+1)，j =0，1，…內(nèi)，其中ti0=t0，有向圖Gtij，Gtij+1，…，Gtij+1－1聯(lián)合具有生成樹，則閉環(huán)網(wǎng)絡(luò)(6)實(shí)現(xiàn)漸近一致。
證明:
2)設(shè)k 是滿足時(shí)間條件tk＜t 的最大非負(fù)整數(shù)，則閉環(huán)網(wǎng)絡(luò)(7)的狀態(tài)為
其 中，r (j)= eΨ(tij+1－1)τij+1－1… eΨ(tij+1)τij+1eΨ(tij)τij，Ψ(tij)，Ψ(tij+1)，…，Ψ(tij+1－1)分別是有向圖G'tij，G'tij+1，…，G'tij+1－1所對應(yīng)的系統(tǒng)矩陣。在滿足條件(8)的情況下，若在每個(gè)時(shí)間間隔［tij，tij+1)，j =0，1，…內(nèi)，其中ti0=t0，有向圖Gtij，Gtij+1，…，Gtij+1－1聯(lián)合具有生成樹，則由定理1 得，有向圖G'tij，G'tij+1，…，G'tij+1－1聯(lián)合具有生成樹。根據(jù)文獻(xiàn)［5］中的引理3.11 可得r(j)=eΨ(tij+1－1)τij+1－1…eΨ(tij+1)τij+1eΨ(tij)τij是SIA.而且，在時(shí)間間隔［tij，tij+m)，j=0，1，…內(nèi)，有向圖Gtij，Gtij+1，…，Gtij+m－1的并有生成樹，所以(l)也是SIA.則由引理3 得
3)由eΨ(tik)τik，…，eΨ(tk)(t－tk)均為隨機(jī)矩陣，得
因?yàn)棣?(IM?S)ξ，則
其中，k=1，…，n－1，i=1，…，M.即閉環(huán)網(wǎng)絡(luò)(6)實(shí)現(xiàn)漸近一致。
5 仿真
針對由4 個(gè)三階智能體Σ1－Σ4所構(gòu)成的有向網(wǎng)絡(luò)分別進(jìn)行固定拓?fù)浜蛣?dòng)態(tài)拓?fù)涞姆抡嫜芯俊．?dāng)智能體個(gè)數(shù)增多以及個(gè)體動(dòng)態(tài)階次n ＞3 時(shí)，結(jié)論同樣成立。為了滿足條件(8)，并考慮漸近一致收斂速度，令參數(shù)E3，1=3，E3，2=1，E3，3=－4，s1=s2=1.通過計(jì)算得出γ1=8，γ2=6.
固定拓?fù)鋱D如圖2所示。當(dāng)相對信息的反饋增益取β=1 和β=2 時(shí)，仿真圖形如圖4和圖5所示。由仿真結(jié)果知所有智能體的第一個(gè)狀態(tài)變量漸近達(dá)成一致，而其它兩個(gè)狀態(tài)變量漸近收斂到零，與定理2 的結(jié)論相符合。并且β 值越大，收斂速度越快。
圖2 有向固定拓?fù)鋱DFig.2 Directed fixed topology
切換拓?fù)鋱D如圖3所示。為了模擬拓?fù)淝袚Q，設(shè)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涿扛?.2 s 按G1→G2→G3→G4→G1進(jìn)行切換。在每個(gè)拓?fù)淝袚Q周期0.8 s 內(nèi)，有向圖的并有生成樹。令協(xié)議中參數(shù)γ1=8，γ2=6，β =2，仿真圖形如圖6所示。同樣所有智能體的狀態(tài)變量均達(dá)成漸近一致，與定理3 的結(jié)論相符合。
圖3 有向圖G1－G4Fig.3 Directed graph G1－G4
在此基礎(chǔ)上，進(jìn)行編隊(duì)控制的仿真研究。令4個(gè)智能體分別代表4個(gè)車輛，要求它們保持一個(gè)期望的菱形編隊(duì)隊(duì)形，且虛擬領(lǐng)航者即編隊(duì)中心按時(shí)變軌跡ξl(t)=［10cost，10sint］T的規(guī)律變化。采用
圖4 固定拓?fù)湎?β=1)智能體狀態(tài)變量軌跡Fig.4 Trajectories of state variables of agents in fixed topology when β=1
圖5 固定拓?fù)湎?β=2)智能體狀態(tài)變量軌跡Fig.5 Trajectories of state variables of agents in fixed topology when β=2
圖6 切換拓?fù)湎轮悄荏w狀態(tài)變量軌跡Fig.6 Trajectories of state variables of agents in switching topology
圖7 固定拓?fù)湎碌木庩?duì)隊(duì)形變化Fig.7 Formation configuration change in fixed topology
圖8 切換拓?fù)湎碌木庩?duì)隊(duì)形變化Fig.8 Formation configuration change in switching topology
分布式協(xié)議(10)，固定拓?fù)浜颓袚Q拓?fù)淙缜八?，編?duì)仿真圖形如圖7和圖8所示。圖7顯示4 個(gè)車輛在固定拓?fù)淝闆r下，t∈{5 s，25 s，30 s，40 s，55 s}時(shí)的編隊(duì)圖形。可見經(jīng)過大約20 s，其編隊(duì)中心跟隨上時(shí)變軌跡的變化;經(jīng)過大約50 s，車輛間保持期望的編隊(duì)隊(duì)形。圖8顯示在切換拓?fù)淝闆r下，t∈{1 s，50 s，100 s，125 s，200 s}時(shí)4 個(gè)車輛的編隊(duì)圖形?？梢娊?jīng)過大約125 s 的協(xié)調(diào)控制，車輛不但能保持期望的編隊(duì)隊(duì)形，而且其編隊(duì)中心跟隨上時(shí)變軌跡的變化。
6 結(jié)論
本文針對高階多智能體網(wǎng)絡(luò)首先進(jìn)行模型變換，在一定條件下，得到系統(tǒng)矩陣為具有零行和Metzler 矩陣的一階網(wǎng)絡(luò)。基于系統(tǒng)矩陣與網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞腖aplacian 矩陣之間的對應(yīng)關(guān)系，將一階有向網(wǎng)絡(luò)的一致性分析結(jié)果拓展到高階情況，從而給出高階有向網(wǎng)絡(luò)一致性分析的新結(jié)果。不同于文獻(xiàn)［14］，從圖論角度出發(fā)，更直觀的得到原網(wǎng)絡(luò)拓?fù)溆猩蓸渑c模型變換后的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)溆猩蓸鋬烧叩葍r(jià)的結(jié)論。針對固定拓?fù)?，分別給出無領(lǐng)航和領(lǐng)航－跟隨兩種情況下一致性條件及一致狀態(tài)。并且基于非負(fù)矩陣?yán)碚撟C明在有限的拓?fù)淝袚Q時(shí)間間隔內(nèi)，若有向圖聯(lián)合具有生成樹，則整個(gè)閉環(huán)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)漸近一致，從而放寬了對網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浜屯負(fù)淝袚Q停留時(shí)間的限制。最后應(yīng)用多車輛編隊(duì)控制仿真進(jìn)行理論驗(yàn)證。由于實(shí)際的物理系統(tǒng)經(jīng)常受到外界干擾、未建模動(dòng)態(tài)等不確定因素的影響，對具有不確定性的高階網(wǎng)絡(luò)一致性的分析是下一步的研究內(nèi)容。
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于鏑，伍清河，王寅秋
(1.北京理工大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，北京100081;2.東北石油大學(xué) 電氣信息工程學(xué)院，黑龍江 大慶163318)
0 引言
近些年來，隨著智能化武器在軍事領(lǐng)域地位的日益提升，多智能體協(xié)調(diào)控制已成為復(fù)雜控制研究中十分活躍的領(lǐng)域。其相關(guān)技術(shù)廣泛應(yīng)用于多機(jī)器人、無人機(jī)、軍用車輛和衛(wèi)星編隊(duì)控制以及空中交通控制和軍事搜尋等非編隊(duì)控制。在協(xié)調(diào)控制中，為完成復(fù)雜任務(wù)或?qū)崿F(xiàn)共同目標(biāo)，智能體之間需相互影響且最終在協(xié)調(diào)數(shù)據(jù)上達(dá)成一致。在已有文獻(xiàn)中，稱智能體的狀態(tài)收斂到共同值為一致性問題，這是協(xié)調(diào)控制中的重要研究課題，已受到學(xué)者們的極大關(guān)注。
目前大多數(shù)成果均限于個(gè)體動(dòng)態(tài)為一階積分器［1－5］和二階積分器［6－11］網(wǎng)絡(luò)的一致性分析，但關(guān)于高階網(wǎng)絡(luò)一致性的研究成果很少。高階網(wǎng)絡(luò)一致性問題的研究動(dòng)機(jī)部分來源于群體行為的觀察。譬如協(xié)調(diào)作戰(zhàn)的無人機(jī)組，迫于環(huán)境變化突然改變運(yùn)動(dòng)方向，此時(shí)不但要求位置和速度的一致，而且要求加速度的協(xié)調(diào)統(tǒng)一。因此高階多智能體網(wǎng)絡(luò)一致性的研究具有重要的理論及現(xiàn)實(shí)意義。Ren 和Wang均從特征方程入手，討論有向固定拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)的Laplacian 陣特征值與整個(gè)閉環(huán)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)矩陣的特征值之間的對應(yīng)關(guān)系，從而給出一致性條件［12－13］。而Lin 采用模型變換的方法，在一定條件下，將系統(tǒng)矩陣變換為隨機(jī)矩陣，進(jìn)而應(yīng)用非負(fù)矩陣?yán)碚摰贸龈唠A有向動(dòng)態(tài)離散網(wǎng)絡(luò)漸近一致性條件［14］。
本文的主要貢獻(xiàn)是將一階有向網(wǎng)絡(luò)的一致性分析結(jié)果［4－5］拓展到高階情況。首先對網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)進(jìn)行模型變換，將由M 個(gè)n 階子系統(tǒng)所構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)等價(jià)地變換為由nM 個(gè)一階子系統(tǒng)所構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)。在一定條件下，變換后的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)矩陣為具有零行和的Metzler 矩陣，從而建立起網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)矩陣與網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞腖aplacian 矩陣之間的對應(yīng)關(guān)系。由此給出高階有向網(wǎng)絡(luò)一致性分析的新結(jié)果。從圖論的角度出發(fā)，得到了原網(wǎng)絡(luò)拓?fù)溆猩蓸渑c模型變換后的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)溆猩蓸鋬烧叩葍r(jià)的結(jié)論。針對固定拓?fù)?，分別給出無領(lǐng)航和領(lǐng)航－跟隨兩種情況下一致性條件及一致狀態(tài)。并且基于非負(fù)矩陣?yán)碚撟C明在有限的拓?fù)淝袚Q時(shí)間間隔內(nèi)，若有向圖聯(lián)合具有生成樹，則整個(gè)閉環(huán)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)漸近一致。與文獻(xiàn)［6］相比，放寬了對網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浜屯負(fù)淝袚Q停留時(shí)間的限制。最后應(yīng)用多車輛編隊(duì)控制仿真進(jìn)行理論驗(yàn)證。
1 系統(tǒng)模型和問題描述
考慮M 個(gè)n 階智能體所構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)，第i 個(gè)智能體的動(dòng)態(tài)描述如下:
其中:ξi(t)∈R 為智能體i 的信息變量…，n－1 為ξi(t)的k 階導(dǎo)數(shù);ui(t)∈R 為控制輸入，初始條件為設(shè)分別為智能體i 的狀態(tài)和初始狀態(tài)，分別表示整個(gè)多智能體網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)和初始狀態(tài)。
本文要解決網(wǎng)絡(luò)(1)的下列一致性問題:
定義1 考慮由動(dòng)態(tài)(1)描述的智能體所構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)，若在任意的初始條件下，智能體的狀態(tài)滿足
則稱整個(gè)多智能體網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)了漸近一致。而且，若存在ξ*(t)∈Rn，都有
則稱ξ*(t)是網(wǎng)絡(luò)的一致狀態(tài)。
為解決上述一致性問題，我們選取下列分布式一致性協(xié)議
其中，i=1，…，M，γk＞0，k =1，…，n－1 是絕對信息的反饋增益，β 是相對信息的反饋增益，Ni是智能體i 的鄰居集合，aij(t)表示時(shí)變的鄰接矩陣元素。協(xié)議(4)的目的是使M 個(gè)智能體的信息變量趨于一致，而其各階導(dǎo)數(shù)趨于0.
基于協(xié)議(4)，第i 個(gè)智能體的動(dòng)態(tài)可描述為
其中，L(t)是有向圖G［3］所對應(yīng)的Laplacian 陣。
2 模型變換
本節(jié)對閉環(huán)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行模型變換，并分析變換前后網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渲g的關(guān)系。
si∈P，i=1，…，n－1，P 是由正數(shù)構(gòu)成的有限集。令模型變換后整個(gè)閉環(huán)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)和初始狀態(tài)分別為則網(wǎng)絡(luò)動(dòng)態(tài)為
其中:
則可以把一階一致性算法的收斂性分析結(jié)果拓展到高階系統(tǒng)的一致性分析中來。有如下引理
引理1 在滿足條件(8)的情況下，－Ψ(t)是整個(gè)閉環(huán)網(wǎng)絡(luò)(7)的Laplacian 矩陣。
設(shè)模型變換后的閉環(huán)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋵?yīng)的有向圖為G'(V'，ε'，A')，其中頂點(diǎn)集V' ={v'1，…，v'nM}，邊集ε'?V' ×V'，A'(t)=［a'ij(t)］∈?nM×nM為加權(quán)鄰接矩陣，其中a'ij(t)≥0.則－Ψ(t)=［φij］∈?nM×nM，其中φii= ∑j≠ia'ij，φij=－a'ij.原拓?fù)浜湍Ｐ妥儞Q后拓?fù)溆腥缦碌葍r(jià)關(guān)系。
定理1 在滿足條件(8)的情況下，有向圖G'有生成樹的充要條件是有向圖G 有生成樹。
證明:由引理1 得，－Ψ(t)對應(yīng)的鄰接矩陣為
其中，
可知節(jié)點(diǎn)vin+1到節(jié)點(diǎn)v(i+1)n，i =0，…，M－1 是強(qiáng)連接的，且節(jié)點(diǎn)vin只可能得到節(jié)點(diǎn)v1，…，v(i－1)n+1，vin+1，v(i+1)n+1，…，v(M－1)n+1的信息，i =1，…，M－1.則整個(gè)網(wǎng)絡(luò)可以看成由M 個(gè)強(qiáng)連通分量以及它們之間的連接拓?fù)浣M成，如下圖所示。
圖1 模型變換后的閉環(huán)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋱DFig.1 Topology of network after model transformation
充分性:若有向圖G'的M 個(gè)強(qiáng)連通分量之間有生成樹，則G'一定有生成樹。將有向圖G'的強(qiáng)連通分量所對應(yīng)的邊刪除后的鄰接矩陣為
可見當(dāng)有向圖G 有生成樹，則有向圖G'的M 個(gè)強(qiáng)連通分量之間有生成樹，所以G'一定有生成樹。
必要性:將每個(gè)強(qiáng)連通分量收縮看成一個(gè)節(jié)點(diǎn)，則當(dāng)G'有生成樹，則G 一定有生成樹。
3 固定拓?fù)湎碌囊恢滦苑治?/h2>
本節(jié)考慮網(wǎng)絡(luò)(6)在固定拓?fù)湎碌囊恢滦苑治?，并分別討論無領(lǐng)航、領(lǐng)航－跟隨兩種情況。
引理2［5］設(shè)L 是有向圖G 所對應(yīng)的Laplacian矩陣。當(dāng)且僅當(dāng)有向圖G 有生成樹時(shí)，L 有一單零根，而其余特征根具有正實(shí)部。而且存在零特征根的左、右特征向量νTl=［ν1，…，νM］和1n，滿足L1n=0 和νTlL=0，并且νTl1n=1，其中νi＞0，i=1，…，M.
基于上述結(jié)果，根據(jù)文獻(xiàn)［4］，得出無領(lǐng)航情況下網(wǎng)絡(luò)(6)漸近一致的充分條件。
定理2 在滿足條件(8)的情況下，若有向圖G有生成樹，則高階多智能體網(wǎng)絡(luò)(6)在固定拓?fù)湎驴蓪?shí)現(xiàn)漸近一致。而且閉環(huán)網(wǎng)絡(luò)一致狀態(tài)為χ(ξ0)e1，其中?n，和ξ0的含義同前所述。證明:固定拓?fù)湎拢W(wǎng)絡(luò)(7)的系統(tǒng)矩陣為Ψ=IM?E－L?F.由已知條件和定理1 可得，有向圖G'有生成樹。所以高階多智能體網(wǎng)絡(luò)(7)的系統(tǒng)矩陣Ψ 有一單零根，且其余特征根具有負(fù)實(shí)部，即λ1(Ψ)=0，Re(λi(Ψ))＜0，i =2，…，nM.則存在非奇異變換T，使得
其中，J'為λi(Ψ)，i=2，…，nM 所對應(yīng)的約當(dāng)塊，和ωr1分別為零特征根的左、右特征向量。由于
則由η=(IM?S)ξ 可得
在實(shí)際應(yīng)用中，大部分情況下要求每個(gè)智能體的狀態(tài)隨時(shí)間變化。例如在車輛編隊(duì)控制中，不但要求車輛間保持一定的編隊(duì)隊(duì)形，而且一致狀態(tài)可能由一個(gè)參考狀態(tài)確定，或?yàn)檐囕v或環(huán)境動(dòng)態(tài)的時(shí)變函數(shù)。因此，有必要討論領(lǐng)航—跟隨一致性。
假設(shè)存在一個(gè)虛擬領(lǐng)航者，其動(dòng)態(tài)描述為
設(shè)領(lǐng)航者狀態(tài)為ξ*(t)=［ξl(t)…ξnl－1(t)］T.若要求各智能體的位置之間保持一定距離，可給出協(xié)議
其中，δij=δi－δj為智能體位置之間的期望距離。
推論1 假設(shè)所有智能體都已知虛擬領(lǐng)航者的狀態(tài)。在滿足條件(8)的情況下，若有向圖G 有生成樹，則在固定拓?fù)湎?，網(wǎng)絡(luò)(6)在協(xié)議(10)的作用下可漸近實(shí)現(xiàn)ξi(t)→χ(ξ0)+ξl(t)+δi，即ξi(t)－ξj(t)→δij，且ξ(k)i(t)→ξ(k)l(t)，i=1，…，M，j=1，…，M，k=1，…，n－1.
證明:令ζi(t)=ξi(t)－δi－ξl(t)，i =1，…，M為高階網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)變量，按照定理2 的證明思路得證。
4 動(dòng)態(tài)拓?fù)湎碌囊恢滦苑治?/h2>
在實(shí)際應(yīng)用中，由于外部干擾，或數(shù)據(jù)傳輸丟包和通信時(shí)滯，使得智能體之間的通信連接間斷，從而導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浒l(fā)生變化。所以本節(jié)考慮閉環(huán)網(wǎng)絡(luò)(6)在動(dòng)態(tài)拓?fù)湎碌囊恢滦苑治觥?/p>
在給出主要結(jié)論之前，先給出如下引理。
引理3［15］設(shè)W1，W2，…，Wk∈?p×p是SIA 矩陣的有限集，且其中每個(gè)有限序列Wi1，Wi2，…，Wij的乘積是SIA 矩陣。則對每個(gè)無限序列Wi1，Wi2，…，都存在一個(gè)列向量y∈?p使得
定理3 設(shè)t0，t1，…是一個(gè)無限時(shí)間序列，網(wǎng)絡(luò)拓?fù)湓谶@些時(shí)刻發(fā)生切換。并且0 ＜ti+1－ti≤τi，i=0，1，2，…，τi∈?+，其中t0是初始時(shí)刻。在滿足條件(8)的情況下，若在每個(gè)時(shí)間間隔［tij，tij+1)，j =0，1，…內(nèi)，其中ti0=t0，有向圖Gtij，Gtij+1，…，Gtij+1－1聯(lián)合具有生成樹，則閉環(huán)網(wǎng)絡(luò)(6)實(shí)現(xiàn)漸近一致。
證明:
2)設(shè)k 是滿足時(shí)間條件tk＜t 的最大非負(fù)整數(shù)，則閉環(huán)網(wǎng)絡(luò)(7)的狀態(tài)為
其 中，r (j)= eΨ(tij+1－1)τij+1－1… eΨ(tij+1)τij+1eΨ(tij)τij，Ψ(tij)，Ψ(tij+1)，…，Ψ(tij+1－1)分別是有向圖G'tij，G'tij+1，…，G'tij+1－1所對應(yīng)的系統(tǒng)矩陣。在滿足條件(8)的情況下，若在每個(gè)時(shí)間間隔［tij，tij+1)，j =0，1，…內(nèi)，其中ti0=t0，有向圖Gtij，Gtij+1，…，Gtij+1－1聯(lián)合具有生成樹，則由定理1 得，有向圖G'tij，G'tij+1，…，G'tij+1－1聯(lián)合具有生成樹。根據(jù)文獻(xiàn)［5］中的引理3.11 可得r(j)=eΨ(tij+1－1)τij+1－1…eΨ(tij+1)τij+1eΨ(tij)τij是SIA.而且，在時(shí)間間隔［tij，tij+m)，j=0，1，…內(nèi)，有向圖Gtij，Gtij+1，…，Gtij+m－1的并有生成樹，所以(l)也是SIA.則由引理3 得
3)由eΨ(tik)τik，…，eΨ(tk)(t－tk)均為隨機(jī)矩陣，得
因?yàn)棣?(IM?S)ξ，則
其中，k=1，…，n－1，i=1，…，M.即閉環(huán)網(wǎng)絡(luò)(6)實(shí)現(xiàn)漸近一致。
5 仿真
針對由4 個(gè)三階智能體Σ1－Σ4所構(gòu)成的有向網(wǎng)絡(luò)分別進(jìn)行固定拓?fù)浜蛣?dòng)態(tài)拓?fù)涞姆抡嫜芯俊．?dāng)智能體個(gè)數(shù)增多以及個(gè)體動(dòng)態(tài)階次n ＞3 時(shí)，結(jié)論同樣成立。為了滿足條件(8)，并考慮漸近一致收斂速度，令參數(shù)E3，1=3，E3，2=1，E3，3=－4，s1=s2=1.通過計(jì)算得出γ1=8，γ2=6.
固定拓?fù)鋱D如圖2所示。當(dāng)相對信息的反饋增益取β=1 和β=2 時(shí)，仿真圖形如圖4和圖5所示。由仿真結(jié)果知所有智能體的第一個(gè)狀態(tài)變量漸近達(dá)成一致，而其它兩個(gè)狀態(tài)變量漸近收斂到零，與定理2 的結(jié)論相符合。并且β 值越大，收斂速度越快。
圖2 有向固定拓?fù)鋱DFig.2 Directed fixed topology
切換拓?fù)鋱D如圖3所示。為了模擬拓?fù)淝袚Q，設(shè)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涿扛?.2 s 按G1→G2→G3→G4→G1進(jìn)行切換。在每個(gè)拓?fù)淝袚Q周期0.8 s 內(nèi)，有向圖的并有生成樹。令協(xié)議中參數(shù)γ1=8，γ2=6，β =2，仿真圖形如圖6所示。同樣所有智能體的狀態(tài)變量均達(dá)成漸近一致，與定理3 的結(jié)論相符合。
圖3 有向圖G1－G4Fig.3 Directed graph G1－G4
在此基礎(chǔ)上，進(jìn)行編隊(duì)控制的仿真研究。令4個(gè)智能體分別代表4個(gè)車輛，要求它們保持一個(gè)期望的菱形編隊(duì)隊(duì)形，且虛擬領(lǐng)航者即編隊(duì)中心按時(shí)變軌跡ξl(t)=［10cost，10sint］T的規(guī)律變化。采用
圖4 固定拓?fù)湎?β=1)智能體狀態(tài)變量軌跡Fig.4 Trajectories of state variables of agents in fixed topology when β=1
圖5 固定拓?fù)湎?β=2)智能體狀態(tài)變量軌跡Fig.5 Trajectories of state variables of agents in fixed topology when β=2
圖6 切換拓?fù)湎轮悄荏w狀態(tài)變量軌跡Fig.6 Trajectories of state variables of agents in switching topology
圖7 固定拓?fù)湎碌木庩?duì)隊(duì)形變化Fig.7 Formation configuration change in fixed topology
圖8 切換拓?fù)湎碌木庩?duì)隊(duì)形變化Fig.8 Formation configuration change in switching topology
分布式協(xié)議(10)，固定拓?fù)浜颓袚Q拓?fù)淙缜八?，編?duì)仿真圖形如圖7和圖8所示。圖7顯示4 個(gè)車輛在固定拓?fù)淝闆r下，t∈{5 s，25 s，30 s，40 s，55 s}時(shí)的編隊(duì)圖形。可見經(jīng)過大約20 s，其編隊(duì)中心跟隨上時(shí)變軌跡的變化;經(jīng)過大約50 s，車輛間保持期望的編隊(duì)隊(duì)形。圖8顯示在切換拓?fù)淝闆r下，t∈{1 s，50 s，100 s，125 s，200 s}時(shí)4 個(gè)車輛的編隊(duì)圖形?？梢娊?jīng)過大約125 s 的協(xié)調(diào)控制，車輛不但能保持期望的編隊(duì)隊(duì)形，而且其編隊(duì)中心跟隨上時(shí)變軌跡的變化。
6 結(jié)論
本文針對高階多智能體網(wǎng)絡(luò)首先進(jìn)行模型變換，在一定條件下，得到系統(tǒng)矩陣為具有零行和Metzler 矩陣的一階網(wǎng)絡(luò)。基于系統(tǒng)矩陣與網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞腖aplacian 矩陣之間的對應(yīng)關(guān)系，將一階有向網(wǎng)絡(luò)的一致性分析結(jié)果拓展到高階情況，從而給出高階有向網(wǎng)絡(luò)一致性分析的新結(jié)果。不同于文獻(xiàn)［14］，從圖論角度出發(fā)，更直觀的得到原網(wǎng)絡(luò)拓?fù)溆猩蓸渑c模型變換后的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)溆猩蓸鋬烧叩葍r(jià)的結(jié)論。針對固定拓?fù)?，分別給出無領(lǐng)航和領(lǐng)航－跟隨兩種情況下一致性條件及一致狀態(tài)。并且基于非負(fù)矩陣?yán)碚撟C明在有限的拓?fù)淝袚Q時(shí)間間隔內(nèi)，若有向圖聯(lián)合具有生成樹，則整個(gè)閉環(huán)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)漸近一致，從而放寬了對網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浜屯負(fù)淝袚Q停留時(shí)間的限制。最后應(yīng)用多車輛編隊(duì)控制仿真進(jìn)行理論驗(yàn)證。由于實(shí)際的物理系統(tǒng)經(jīng)常受到外界干擾、未建模動(dòng)態(tài)等不確定因素的影響，對具有不確定性的高階網(wǎng)絡(luò)一致性的分析是下一步的研究內(nèi)容。
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