顧陳，何勁，李洪濤，朱曉華

(南京理工大學(xué) 電子工程系，江蘇 南京210094)

0 引言

二維DOA 估計(jì)是陣列信號(hào)處理的一個(gè)重要研究領(lǐng)域，在雷達(dá)、聲納、通信等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用?；谧涌臻g類(lèi)的算法由于具有高分辨性能及計(jì)算簡(jiǎn)單的特性，在過(guò)去的30年里受到了廣泛的研究。目前應(yīng)用于DOA 估計(jì)研究領(lǐng)域中方法主要有多重信號(hào)分類(lèi)法(MUSIC)［1］和旋轉(zhuǎn)不變子空間法(ESPRIT)［2］等。文獻(xiàn)［3］將MUSIC 算法應(yīng)用于二維DOA 估計(jì)中，這是一種產(chǎn)生漸近無(wú)偏估計(jì)的高分辨率特征結(jié)構(gòu)法，但是該算法需要進(jìn)行二維搜索，運(yùn)算量巨大。以ESPRIT 為代表的測(cè)向算法不用進(jìn)行譜峰搜索可以有效的降低運(yùn)算量，因而被廣泛的應(yīng)用于二維及多維DOA 估計(jì)中。文獻(xiàn)［4］研究了基于三角形陣列的二維ESPRIT 算法和配對(duì)算法，文獻(xiàn)［5］提出一種無(wú)需搜索的低復(fù)雜度二維ESPRIT 相干分布源解耦估計(jì)算法，文獻(xiàn)［6］研究了基于分?jǐn)?shù)階傅里葉域?yàn)V波的LFM 信號(hào)二維ESPRIT 算法，文獻(xiàn)［7］提出了一種基于總體最小二乘的相位平均ESPRIT 方法，文獻(xiàn)［8］提出了一種適用于任意陣列基于2D－ESPRIT 的DOA 頻率聯(lián)合估計(jì)算法，文獻(xiàn)［9］提出了基于ESPRIT 算法的等距二元矢量水聽(tīng)器直線陣的二維DOA 估計(jì)方法，減少了矢量水聽(tīng)器的冗余陣元。ESPRIT 算法雖然有運(yùn)算量小的優(yōu)點(diǎn)，但其估計(jì)精度較低。增加傳感器之間的距離擴(kuò)展陣列孔徑可有效地提高DOA 估計(jì)精度，但ESPRIT 算法與其他算法一樣，也同樣需要傳感器間的距離小于半波長(zhǎng)避免得到模糊的估計(jì)值，當(dāng)傳感器間的距離大于半波長(zhǎng)時(shí)可以增加波達(dá)方向估計(jì)的精度，但是會(huì)得到一系列循環(huán)模糊的角度估計(jì)值。

為解決上述DOA 估計(jì)的模糊問(wèn)題，文獻(xiàn)［10－11］分別提出了采用聲學(xué)矢量傳感器陣列和電磁矢量傳感器陣列的二維DOA 估計(jì)算法，其基本思想是利用聲學(xué)矢量傳感器和電磁矢量傳感器固有的DOA 信息對(duì)擴(kuò)展孔徑帶來(lái)的模糊DOA 估計(jì)進(jìn)行解模糊，以提高DOA 估計(jì)的精度。本文利用傳統(tǒng)的標(biāo)量傳感器，提出一種基于雙平行擴(kuò)展陣列孔徑的ESPRIT 算法(EA－ESPRIT).該算法可視為文獻(xiàn)［12］中提出的傳播算子算法的基于ESPRIT 算法的改進(jìn)。同時(shí)，本文在給出EA－ESPRIT 算法的基礎(chǔ)上，分析了特征值相同情況下信號(hào)角度的配對(duì)方法。最后，論文通過(guò)計(jì)算機(jī)仿真結(jié)果驗(yàn)證了提出算法的有效性。

1 信號(hào)模型

假設(shè)由4L +1 個(gè)天線陣元組成的x－y 平面上的雙平行均勻線陣，如圖1所示。4L +1 個(gè)天線陣元分為2 個(gè)子陣，子陣X 平行于x 軸，X1為其中第1～L 個(gè)傳感器，X2為其中第0～L－1 個(gè)傳感器，X3為其中第L+1～2L 個(gè)傳感器;子陣Y 平行于y 軸，Y1為其中第1～L 個(gè)傳感器，Y2為第0～L－1 個(gè)傳感器，Y3為第L +1～2L 個(gè)傳感器。子陣X 傳感器間沿x 軸的距離和子陣Y 傳感器間沿y 軸之間的距離分別為Δx和Δy，其取值遠(yuǎn)大于半波長(zhǎng)，子陣X 的傳感器間沿y 軸的距離和子陣Y 傳感器間沿x 軸的距離分別為dy和dx，其取值小于等于半波長(zhǎng)。

圖1 陣列幾何結(jié)構(gòu)Fig.1 Array geometry illustration

假設(shè)有K(K ＜L)個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶非相干點(diǎn)信號(hào)入射到該陣列，入射信號(hào)的DOA 分別是{θ1，φ1}，…，{θK，φK}.以陣列X 的1 號(hào)傳感器作為基準(zhǔn)，信源在基準(zhǔn)點(diǎn)的復(fù)包絡(luò)分別為s1(t)，…，sK(t)，則陣列X1在t 時(shí)刻的接收信號(hào)矢量可表示為

其中:s(t)=［s1(t)，…，sK(t)］T為信號(hào)矢量;A =［a(θ1，φ1)，…，a(θK，φK)］為子陣X1的導(dǎo)向矢量;a(θk，φk)=［a1(θk，φk)，…，aL(θk，φk)］T，al(θk，φk)=ej2π/λ(xluk+ylvk)為第k 個(gè)獨(dú)立信源和第l 個(gè)傳感器之間的空間相位因子，其中uk=u(θk，φk)=sinθkcosφk，vk=v(θk，φk)=sinθksinφk為x 軸和y 軸的方向余弦，(xl，yl)為第l 個(gè)傳感器的方位;n1(t)=［n1(t)，…，nL(t)］T為子陣X1的接收噪聲，本文假設(shè)每個(gè)陣元的噪聲都為相互獨(dú)立的白色高斯隨機(jī)過(guò)程。

此時(shí)，陣列X2和陣列X3的在t 時(shí)刻的接收信號(hào)矢量可表示為

其中:n2(t)、n3(t)為子陣X2、X3的加性高斯白噪聲，Φu和Φv為K×K 的對(duì)角陣，其表達(dá)式分別為

同樣，我們可推導(dǎo)出陣列Y1、Y2與Y3在t 時(shí)刻的接收信號(hào)矢量為

其中:n4(t)、n5(t)和n6(t)分別為陣列Y1、Y2和Y3的加性高斯白噪聲;B 的結(jié)構(gòu)與A 類(lèi)似，Φv、Φu為K×K 的對(duì)角陣

由式(4)、式(5)和式(9)、式(10)可知，信號(hào)的方向余弦信息就包含于對(duì)角陣Φu、Φv和Φv、Φu中，因此可以由對(duì)角陣的估計(jì)值得到信號(hào)的二維DOA 估計(jì)值。

2 基于ESPRIT 的二維DOA 擴(kuò)展孔徑算法

2.1 模糊x 軸方向余弦與非模糊y 軸方向余弦估計(jì)

首先將子陣X 的3 個(gè)陣列合并，即

求上式的協(xié)方差矩陣，并對(duì)其進(jìn)行特征值分解可得

其中:Es，x為子陣X 協(xié)方差矩陣的大特征值對(duì)應(yīng)特征矢量張成的信號(hào)子空間;En，x為小特征值對(duì)應(yīng)特征矢量張成的噪聲子空間。由于信號(hào)子空間Es，x與導(dǎo)向矢量矩陣A 張成相同的空間，因此存在唯一的一個(gè)非奇異陣T，使得

因此由上式可得

在實(shí)際中，從有限的快拍中得到Es，x的估計(jì)值，此時(shí)式(14)不再成立，需要對(duì)其進(jìn)行近似。本文采用最小二乘法(LS:Least Squares)進(jìn)行近似，得到的Ψ 估計(jì)值為

由于dy≤0.5λ，因此由Ψv得到的y 軸的方向余弦估計(jì)為不模糊的

由式(14)可知Ψu和Ψv具有相同的特征向量矩陣，但實(shí)際計(jì)算中兩個(gè)特征值分解是獨(dú)立進(jìn)行的，因此特征向量的排列順序是不同的，所以 需要對(duì)特征值的順序進(jìn)行調(diào)整才能解出參數(shù)。設(shè)Tu和Tv分別為Ψu和Ψv特征值分解所得的特征向量矩陣，計(jì)算特征向量矩陣的乘積T－1vTu，假設(shè)ik為乘積Tv－1Tu第k 行中絕對(duì)值最大的元素。這樣，Tv的第k 列特征向量與Tu的第ik列特征向量為同一信號(hào)的，因此通過(guò)該方法來(lái)調(diào)整Ψu和Ψv的特征值順序得到第k 個(gè)信號(hào)配對(duì)的方向余弦估計(jì)

2.2 非模糊的x 軸余弦估計(jì)與模糊的y 軸余弦估計(jì)

求非模糊的x 軸方向余弦與模糊的y 軸方向余弦估計(jì)過(guò)程與上一節(jié)的方法類(lèi)似，這里略去求解過(guò)程，只給出具體的估計(jì)值如下:

由于dx≤0.5λ，因此由Ψu得到的x 軸的方向余弦估計(jì)為不模糊的

隨后，構(gòu)造由Ψv和Ψu特征值分解所得的特征向量矩陣的乘積(Fu)－1Fv，由于同一信號(hào)對(duì)應(yīng)Fu和Fv的特征向量是完全相關(guān)的，因此由乘積的每一行中絕對(duì)值最大的一個(gè)元素的矩陣坐標(biāo) 來(lái)調(diào)整Ψv和Ψu中對(duì)應(yīng)的元素順序，可得到配對(duì)的方向余弦估計(jì)值。

2.3 方向余弦解模糊算法

其中，vl，k和表示為

類(lèi)似的，x 軸的方向余弦為

其中，

最后，由以上得到解模糊后的模糊方向余弦估計(jì)值，得到 第k 個(gè)信號(hào)的二維DOA 估計(jì)值為

2.4 特征值相同情況下EA-ESPRIT 的配對(duì)算法

本節(jié)將研究特征值相等情況下EA－ESPRIT 算法的配對(duì)方法。當(dāng)矩陣Ψ 存在相等或近似相等的ESPRIT 特征值時(shí)，存在不唯一的矩陣T 或F.這就說(shuō)明不能再根據(jù)特征矢量進(jìn)行方向余弦的配對(duì)。當(dāng)陣列傳感器間距大于半波長(zhǎng)時(shí)，特征值相等問(wèn)題將會(huì)變得顯著。以Ψu具有相同特征值為例，即使信號(hào)源的方向余弦相差很大，u1≠u(mài)2，但如果u1=u2±此時(shí)，e－j2πΔxu1/λ= e－j2πΔxu2/λ，同樣會(huì)造成特征值相等問(wèn)題。對(duì)此，本節(jié)采用一種新的基于子空間正交原理的配對(duì)方法，該算法利用子空間之間的正交關(guān)系構(gòu)造代價(jià)函數(shù)，而無(wú)需利用Ψu的特征矢量，因此在Ψu具有相同特征值的情況下也能正確的得到配對(duì)的估計(jì)值。

對(duì)于子陣X 的陣列X1與X3，令z(t)為

求z(t)的協(xié)方差矩陣，并對(duì)其進(jìn)行特征分解為

又令C 為

式中，k1，k2∈［1，K］.構(gòu)造代價(jià)函數(shù)為

當(dāng)k1=k2，即x 軸與y 軸方向余弦為同一信號(hào)時(shí)，導(dǎo)向矢量與噪聲子空間正交，代價(jià)函數(shù)F 值最小，此時(shí)可得到配對(duì)的與

類(lèi)似的，當(dāng)Ψv有相同的特征值時(shí)，可以對(duì)子陣Y 用上述方法，得到配對(duì)的與因此，該配對(duì)算法可以使EA－ESPRIT 算法在特征值相同情況下時(shí)也能得到正確的方向余弦估計(jì)值，下面用計(jì)算機(jī)仿真進(jìn)行算法有效性驗(yàn)證。

3 計(jì)算機(jī)仿真

假設(shè)有兩個(gè)等功率窄帶非相關(guān)信號(hào)入射到圖1所示天線陣中，天線陣的參數(shù)L =6，因此共有25 個(gè)傳感器。本文通過(guò)計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證算法的性能。

實(shí)驗(yàn)1 通過(guò)實(shí)驗(yàn)分析傳感器之間距離變化對(duì)EA－ESPRIT 算法性能的影響。本文提出的EA－ESPRIT 算法陣列模型如圖1所示，傳感器之間的距離為:dx=dy=0.5λ，Δx=Δy=－ Δ，兩個(gè)信號(hào)的方向余弦分別為u1=0.4，v1=0.7 和u2=0.15，v2=0.5，信噪比為20 dB.實(shí)驗(yàn)為500 次Monte Carlo 實(shí)驗(yàn)，快拍數(shù)N =700.圖2為信號(hào)的方向余弦參考估計(jì)與解模糊后的方向余弦估計(jì)的均方根誤差(RMSE)隨傳感器之間的距離Δ 變化的對(duì)比圖。由圖2可知，Δ 由1 倍波長(zhǎng)變化為25 倍時(shí)，參考估計(jì)的RMSE 隨傳感器間距的增大保持不變，這一點(diǎn)是與理論相符的，表明了參考估計(jì)是低精度無(wú)模糊的。而解模糊估計(jì)的RMSE 隨傳感器間距的增大逐漸降低，且本文提出的解模糊算法的RMSE 值比參考算法小，可有效的提高估計(jì)精度。

圖2 EA－ESPRIT 解模糊算法與參考算法方向余弦估計(jì)的均方根誤差隨傳感器距離變化對(duì)比圖Fig.2 RMSE of DOA estimation of EA－ESPRIT algorithm and reference algorithm againstinter－sensor spacing

實(shí)驗(yàn)2 通過(guò)實(shí)驗(yàn)分析信噪比變化對(duì)EA－ESPRIT 算法性能的影響。傳感器之間的距離為:dx=dy=0.5λ，Δx=Δy=8λ，兩個(gè)信號(hào)的方向余弦分別為u1=0.4，v1=0.7 和u2=0.15，v2=0.5.實(shí)驗(yàn)為500 次Monte Carlo 實(shí)驗(yàn)，快拍數(shù)為1 000.圖3為信號(hào)的方向余弦參考估計(jì)與解模糊后的方向余弦估計(jì)的均方根誤差(RMSE)隨信噪比變化的對(duì)比圖。由圖3可知，參考估計(jì)與解模糊估計(jì)的RMSE 隨信噪比的增加而逐漸降低，且本文提出的EA－ESPRIT 算法的RMSE 值比參考算法小，在各個(gè)信噪比條件下性能均優(yōu)于參考估計(jì)算法。需要指出，當(dāng)信噪比不低于10 dB 時(shí)，提出的算法可以明顯改進(jìn)DOA 估計(jì)的精度。因此，提出的算法在信噪比不是很低，快拍數(shù)不是很少的應(yīng)用背景下是一種有效的二維DOA 估計(jì)算法。

實(shí)驗(yàn)3 通過(guò)實(shí)驗(yàn)，比較特征值相等情況下EAESPRIT 算法的傳統(tǒng)配對(duì)算法［10－12］與本文提出的基于子空間正交配對(duì)算法性能對(duì)比。天線陣由25 個(gè)傳感器呈雙平行陣組成，傳感器之間的距離為:dx=dy=0.5λ，Δx=Δy=5λ，兩個(gè)信號(hào)的方向余弦分別為u1=0.4，v1=0.6 和u2=0.5，v2=0.6，信噪比SNR=10 dB.實(shí)驗(yàn)為50 次Monte Carlo 實(shí)驗(yàn)，快拍數(shù)為200.圖4為傳統(tǒng)配對(duì)算法與本文提出的配對(duì)算法性能對(duì)比圖。由圖可知，當(dāng)特征值相等時(shí)，傳統(tǒng)配對(duì)算法已不能得到有效的估計(jì)，而基于子空間正交的配對(duì)算法能有效的估計(jì)信號(hào)的DOA.

圖3 EA－ESPRIT 解模糊算法與參考算法方向余弦估計(jì)的均方根誤差隨信噪比變化對(duì)比圖Fig.3 RMSE of DOA estimation of EA－ESPRIT algorithm and reference algorithm against SNRs

圖4 特征值相等時(shí)配對(duì)算法性能對(duì)比圖Fig.4 DOA estimation of the different pairing algorithms for the equivalent eigenvalues case

4 結(jié)論

本文提出了一種適用于擴(kuò)展孔徑的ESPRIT 算法。該算法利用傳感器之間距離遠(yuǎn)大于半波長(zhǎng)的天線陣列構(gòu)成雙平行陣來(lái)擴(kuò)展孔徑，然后采用ESPRIT算法估計(jì)波達(dá)方向，最后以非模糊但低精度的方向余弦來(lái)解高精度但模糊的方向余弦。在給出EAESPRIT 算法的基礎(chǔ)上，本文還分析了特征值相同情況下基于子空間正交的信號(hào)角度配對(duì)新方法。本文分別將EA－ESPRIT 算法與傳統(tǒng)ESPRIT 算法、基于子空間的配對(duì)新算法與傳統(tǒng)配對(duì)算法進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果表明本文提出的算法性能均優(yōu)于傳統(tǒng)算法。

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