吳巍，王國宏，李世忠

(海軍航空工程學(xué)院 信息融合研究所，山東 煙臺(tái)264001)

0 引言

現(xiàn)代戰(zhàn)場環(huán)境中總存在著各種敵方的偵察和干擾，為了有效的保護(hù)自身安全，需要限制雷達(dá)電磁輻射時(shí)間以減少雷達(dá)被偵察的概率，而雷達(dá)探測目標(biāo)時(shí)又必須向外輻射電磁波，這就存在著不可抗拒的矛盾。為了減少雷達(dá)輻射，在限定雷達(dá)輻射時(shí)間的情況下，如何對雷達(dá)輻射時(shí)機(jī)進(jìn)行規(guī)劃，使得目標(biāo)跟蹤的狀態(tài)估計(jì)精度最高，是一個(gè)有待研究的問題。

對于雷達(dá)的輻射規(guī)劃問題，國內(nèi)外學(xué)者做了一些相關(guān)的研究。文獻(xiàn)［1］利用優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)—雷達(dá)/ESM 聯(lián)合估計(jì)的可拉美－羅(Cramer－Rao)下限來研究雷達(dá)規(guī)劃問題，利用數(shù)值計(jì)算方法得到雷達(dá)輻射規(guī)劃原則。文獻(xiàn)［2～4］分別研究了幾種自適應(yīng)的雷達(dá)數(shù)據(jù)更新算法。文獻(xiàn)［5］提出了等間隔輻射控制和實(shí)時(shí)輻射控制兩種機(jī)載雷達(dá)輻射控制方法。文獻(xiàn)［6－9］利用雷達(dá)、紅外同時(shí)開機(jī)時(shí)的量測信息，構(gòu)造出一組時(shí)間多項(xiàng)式，在雷達(dá)靜默期間，利用該組時(shí)間多項(xiàng)式估計(jì)目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，輔助紅外傳感器對目標(biāo)進(jìn)行跟蹤。文獻(xiàn)［10］在極坐標(biāo)系下，利用singer 模型對目標(biāo)的距離、方位、俯仰分別進(jìn)行跟蹤，利用距離預(yù)測協(xié)方差和預(yù)定門限比較來確定雷達(dá)是否輻射。文獻(xiàn)［11－14］利用交互多模型對目標(biāo)進(jìn)行跟蹤，將預(yù)測協(xié)方差矩陣對角線上對應(yīng)的x－y－z 方向的誤差轉(zhuǎn)換到極坐標(biāo)系下的距離、方位、俯仰對應(yīng)的誤差，再分別與預(yù)定門限進(jìn)行比較，任一個(gè)參數(shù)超過門限雷達(dá)就輻射。

本文研究了給定輻射時(shí)間限制下的雷達(dá)輻射規(guī)劃問題，建立了雷達(dá)輻射最優(yōu)規(guī)劃模型，得出了最優(yōu)規(guī)劃準(zhǔn)則?；谠摐?zhǔn)則，提出一種基于協(xié)方差的雷達(dá)實(shí)時(shí)輻射控制方法，并比較了不同輻射控制參數(shù)情況下雷達(dá)輻射時(shí)間，得出了一些有意義的結(jié)論。

1 問題描述

現(xiàn)代戰(zhàn)場環(huán)境下，為了保證雷達(dá)的隱蔽性，雷達(dá)輻射時(shí)間需要進(jìn)行控制。在給定一段時(shí)間內(nèi)雷達(dá)輻射次數(shù)的情況下，對雷達(dá)輻射時(shí)機(jī)進(jìn)行優(yōu)化控制，可以提高目標(biāo)狀態(tài)的估計(jì)精度。假設(shè)目標(biāo)跟蹤過程在(0，T］時(shí)間段內(nèi)進(jìn)行，在該時(shí)間段內(nèi)，限定雷達(dá)輻射次數(shù)為N 次，現(xiàn)要將這N 次雷達(dá)輻射時(shí)機(jī)點(diǎn)規(guī)劃到(0，T］時(shí)間區(qū)間內(nèi)，使得目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)精度最高。假設(shè)目標(biāo)勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)模型為

式中:X(k)為狀態(tài)向量;F(t)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，其中，t 表示兩個(gè)雷達(dá)輻射時(shí)機(jī)點(diǎn)時(shí)間間隔。

文獻(xiàn)［5］提出雷達(dá)輻射控制最簡單的模型是等間隔輻射模式，即將N 輻射時(shí)機(jī)點(diǎn)等間隔的分布在(0，T］時(shí)間區(qū)間內(nèi)。研究發(fā)現(xiàn)，等間隔輻射并不是最優(yōu)的輻射規(guī)劃。那么，如何在(0，T］時(shí)間區(qū)間內(nèi)規(guī)劃N 次雷達(dá)輻射呢?本文建立輻射限制下的雷達(dá)輻射時(shí)機(jī)規(guī)劃模型，理論推導(dǎo)出了最優(yōu)規(guī)劃準(zhǔn)則。

2 雷達(dá)輻射時(shí)機(jī)最優(yōu)規(guī)劃

2.1 規(guī)劃模型及推導(dǎo)

假設(shè)雷達(dá)跟蹤目標(biāo)的整個(gè)過程在(0，T］時(shí)間段內(nèi)進(jìn)行，限定該段時(shí)間段內(nèi)雷達(dá)輻射次數(shù)為N.雷達(dá)輻射點(diǎn)分別是T1、T2、…、Tn－1、Tn.易知，要使得跟蹤末端目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)精度最高，跟蹤末端雷達(dá)需要輻射，即Tn=T 時(shí)雷達(dá)需要輻射。雷達(dá)輻射規(guī)劃示意圖如圖1所示。

圖1 雷達(dá)輻射時(shí)機(jī)規(guī)劃示意圖Fig.1 Radar radiation timing scheme sketch map

假設(shè)采用Kalman 濾波對目標(biāo)狀態(tài)進(jìn)行估計(jì)，由于目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)誤差協(xié)方差反映了目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)誤差的大小，因此輻射時(shí)機(jī)規(guī)劃的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)f 可以取跟蹤末端Tn處估計(jì)誤差協(xié)方差的跡，即

式中，P(n|n)為跟蹤末端點(diǎn)Tn的狀態(tài)估計(jì)誤差協(xié)方差。

上述規(guī)劃問題可以描述為一個(gè)動(dòng)態(tài)規(guī)劃問題。先假設(shè)給定輻射時(shí)機(jī)點(diǎn)Tn－2、Tn，規(guī)劃Tn－1的位置，使得Tn點(diǎn)處目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)誤差協(xié)方差的跡tr(P(n|n))最小。得到Tn－1的位置后，再假設(shè)給定了Tn－1、Tn－3，規(guī)劃Tn－2的位置，使得Tn－1點(diǎn)處目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)誤差協(xié)方差的跡tr(P(n－1|n－1))最小。依次類推，就可以得到整個(gè)時(shí)間段內(nèi)雷達(dá)輻射點(diǎn)的規(guī)劃。現(xiàn)在，假設(shè)已知T1、T2、…、Tn－1、Tn點(diǎn)中任意兩點(diǎn)Ti－2、Ti(i∈(3，n］)的位置來規(guī)劃Ti－1位置。

由于規(guī)劃的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)f 等于跟蹤末端Tn處目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)誤差協(xié)方差的跡，因此規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為已知Ti－2，Ti點(diǎn)位置和Ti－2點(diǎn)處狀態(tài)估計(jì)誤差協(xié)方差P(i－2|i－2)，規(guī)劃Ti－1的位置，使得目標(biāo)函數(shù)f=tr(P(i|i))值最小。這里不妨取x 方向上的規(guī)劃來進(jìn)行分析。

令

式中:ti=Ti－1－Ti;ti－1=Ti－2－Ti－1.

令目標(biāo)x 方向量測誤差為

量測矩陣H 為

假設(shè)Ti－2處目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)誤差協(xié)方差為

式中，p12=p13，且p11＞0，p12＞0，p13＞0，p14＞0.

令p11=ασ2x，p12=βσ2x，p22=γσ2x，其中α、β、γ 為常數(shù)，且α ＞0、β ＞0，γ ＞0.

那么

假設(shè)過程噪聲為0，Ti－1處的預(yù)測誤差協(xié)方差為

Ti－1處的估計(jì)誤差協(xié)方差［15］為

Ti處的預(yù)測誤差協(xié)方差為

將ti－1=T－ti，帶入式(10)可得

Ti處的估計(jì)誤差協(xié)方差［15］為

規(guī)劃的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為

將等式(7)、式(8)、式(9)、式(10)、式(12)、式(13)逐步迭代可得

令

由柯西－許瓦茲不等式可知:

那么，f1(ti)表示開口向上，對稱軸位于ti=－ β/γ處的拋物線，顯然ti∈(0，T］時(shí)，f1(ti)函數(shù)值單調(diào)增加。f2(ti)表示開口向上，對稱軸位于ti=T 處的拋物線，顯然ti∈(0，T］時(shí)，f2(ti)函數(shù)值單調(diào)遞減，且f2(ti)＞0.由式(14)可知，f(ti)＞0.所以f(ti)在ti∈(0，T)內(nèi)是單調(diào)減少的，即當(dāng)ti→T 時(shí)，f(ti)取極小值。

以上分析表明，在(Ti－2，Ti)內(nèi)規(guī)劃Ti－1的位置，Ti－1越靠近Ti，估計(jì)的誤差越小;同理，在(Ti－3，Ti－1)中規(guī)劃Ti－2的位置，Ti－2越靠近Ti－1，估計(jì)誤差越小，依次類推。所以T1、T2、…、Tn－1、Tn在(0，T］內(nèi)的最優(yōu)化規(guī)劃準(zhǔn)則是:N 個(gè)輻射時(shí)機(jī)點(diǎn)相隔越近且越接近時(shí)間終點(diǎn)Tn，Tn處的估計(jì)誤差越小。

2.2 模型驗(yàn)證

下面用迭代尋優(yōu)的方法驗(yàn)證以上推導(dǎo)。假設(shè)雷達(dá)跟蹤過程中輻射間隔最小單位為1 s，雷達(dá)輻射時(shí)機(jī)點(diǎn)正好在整數(shù)上。尋找最優(yōu)輻射時(shí)機(jī)點(diǎn)依照下面步驟:

1)令常數(shù)M=∞;

2)利用循環(huán)嵌套(N 個(gè)輻射點(diǎn)就有N－1 個(gè)循環(huán))，取雷達(dá)輻射時(shí)間分別為t1=1～(Tn－1)，t2=1～(Tn－1－t1)，…，tn－1=1～(Tn－1－t1－t2－，…，tn－2)，tn=Tn－1－t1－t2－，…，－tn－1;

3)得到一組雷達(dá)輻射點(diǎn)t1，t2，t3，…，tn，逐步迭代，計(jì)算得出tn點(diǎn)處的狀態(tài)估計(jì)誤差協(xié)方差，如果tr(P(n|n))＜M，則令M = tr(P(n|n))，Tmin(P)=［t1，t2，t3，…，tn］，返回第2)步;否則直接返回第2)步;

4)如果所有的可能輻射時(shí)機(jī)點(diǎn)都取完，即迭代到t1=Tn－n +1，t2=1，t3=1，…，tn=1 時(shí)，取出M和Tmin(P)，Tmin(P)即為雷達(dá)最優(yōu)輻射規(guī)劃分布點(diǎn)，M即為最優(yōu)規(guī)劃的函數(shù)值。

下面分別取規(guī)劃總時(shí)間T=20 s，40 s，60 s，輻射次數(shù)N=2，5，10 時(shí)輻射規(guī)劃的最優(yōu)時(shí)機(jī)分布情況。

表1 不同跟蹤時(shí)間和輻射次數(shù)下的輻射規(guī)劃情況Tab.1 Radiation planning situation under different tracking time and radiation time

由表1可以看出，對于一段時(shí)間內(nèi)給定輻射次數(shù)的最優(yōu)規(guī)劃分布點(diǎn)，集中分布在時(shí)間終點(diǎn)一端，證明了理論推導(dǎo)準(zhǔn)則的正確性。在進(jìn)行雷達(dá)輻射控制時(shí)，可以適當(dāng)?shù)脑黾虞椛溟g隔時(shí)間，增加每次輻射的次數(shù)，這樣會(huì)使得跟蹤精度更高。由于結(jié)論是在過程噪聲為0 的情況下得到的，考慮到實(shí)際情況中的過程噪聲、目標(biāo)機(jī)動(dòng)、濾波算法非線性等因素的影響，每次輻射間隔不宜過大，那樣可能導(dǎo)致濾波發(fā)散。

3 基于協(xié)方差的雷達(dá)實(shí)時(shí)輻射控制

3.1 方法描述

由上節(jié)推導(dǎo)結(jié)論可知，一段時(shí)間內(nèi)雷達(dá)輻射規(guī)劃最優(yōu)原則是雷達(dá)輻射時(shí)機(jī)點(diǎn)集中于時(shí)間終點(diǎn)一端(輻射間隔不易過大)，基于該準(zhǔn)則，本文提出了一種基于協(xié)方差的雷達(dá)時(shí)實(shí)輻射控制方法。方法描述如下:

1)航跡起始，兩點(diǎn)法(或三點(diǎn)法)濾波初始化，得到初始協(xié)方差P0.

2)雷達(dá)連續(xù)輻射一段時(shí)間，建立穩(wěn)定的航跡后進(jìn)入輻射控制階段。

3)確定雷達(dá)下次開機(jī)的時(shí)間，具體步驟為:

a)設(shè)Tleft=Tmin，Tright=Tmax(Tmin、Tmax分別表示雷達(dá)最小和最大輻射間隔)，進(jìn)入循環(huán);

b)如果Tright－Tleft＜ε(ε 為一個(gè)較小的常數(shù))，退出循環(huán)，得到下一雷達(dá)輻射時(shí)刻點(diǎn)T =Tleft或T =Tright，否則令Ttest=Tleft+［(Tright－Tleft)/2］;

c)利用濾波公式和T =Ttest計(jì)算預(yù)測誤差協(xié)方差P(k+T|k);

其中，K1為比例常數(shù)，其大小決定了預(yù)測協(xié)方差門限的大小。如果式(19)、式(20)、式(21)都成立，則Tleft=Ttest，否則Tright=Ttest，回到第b)步。

4)預(yù)定輻射時(shí)刻到，雷達(dá)連續(xù)輻射，利用濾波算法對目標(biāo)進(jìn)行跟蹤，當(dāng)目標(biāo)位置誤差小于預(yù)定門限時(shí)，即

其中:K2為比例常數(shù)，如果式(22)、式(23)、式(24)都成立，雷達(dá)再次關(guān)機(jī)，返回第3)步計(jì)算下次雷達(dá)輻射時(shí)機(jī)點(diǎn)，否則連續(xù)輻射。

3.2 仿真

仿真環(huán)境1:我機(jī)地理坐標(biāo)經(jīng)度、緯度、高度為(37.0°，119°，10 000 m)，初始速度為(0，100 m/s，0)(表示緯度、經(jīng)度、高度切線方向的速度);敵機(jī)地理坐標(biāo)為(37.1°，119.5°，10 000 m)，初始速度都為(－200 m/s，100 m/s，0);我機(jī)和敵機(jī)都做勻速運(yùn)動(dòng);仿真總時(shí)間110 s，雷達(dá)測距均方根誤差為100 m，方位角均方根誤差為0.2°，俯仰角均方根誤差為0.2°，徑向速度均方根誤差為10 m.

仿真環(huán)境2:在仿真的時(shí)間內(nèi)，敵機(jī)前1/8 時(shí)間段勻速運(yùn)動(dòng)，其后的1/4 時(shí)間段左轉(zhuǎn)彎(轉(zhuǎn)彎角速度為3 rad/s)，接著的1/4 時(shí)間段右轉(zhuǎn)彎(轉(zhuǎn)彎角速度為－3 rad/s)，最后1/8 時(shí)間段勻速運(yùn)動(dòng)，整個(gè)過程敵機(jī)運(yùn)動(dòng)呈蛇形。我機(jī)運(yùn)動(dòng)方式不變，其它仿真參數(shù)與環(huán)境1 相同。

仿真結(jié)果:

設(shè)置輻射門限K1=3，K2=0.6 時(shí)，對于仿真環(huán)境1，對應(yīng)的敵我飛機(jī)飛行軌跡圖如圖2所示，雷達(dá)輻射時(shí)機(jī)圖如圖3所示，跟蹤軌跡圖如圖4所示，跟蹤總體距離誤差圖如圖5所示。

圖2 環(huán)境1 下敵我飛機(jī)飛行軌跡圖Fig.2 Enemy and our aircraft flight trajectory under ensironment 1

圖3 環(huán)境1 下雷達(dá)輻射時(shí)機(jī)圖Fig.3 Radar radiation timing diagram under environment 1

圖4 環(huán)境1 下目標(biāo)跟蹤軌跡圖Fig.4 Tracking trace under environment 1

對于仿真環(huán)境2，輻射控制的雙門限不變，對應(yīng)的敵我飛機(jī)飛行軌跡圖如圖6所示，雷達(dá)輻射時(shí)機(jī)圖如圖7所示，跟蹤軌跡圖如圖8所示，跟蹤總體距離誤差圖如圖9所示。

圖5 環(huán)境1 下跟蹤距離總體誤差圖Fig.5 Total distance tracking error diagram under lnvironment 1

圖6 環(huán)境2 下敵我飛機(jī)飛行軌跡圖Fig.6 Enemy and our aircraft flight trajectory under environment 2

圖7 環(huán)境2 下雷達(dá)輻射時(shí)機(jī)圖Fig.7 Radar radiation timing diagram under environment 2

從圖2～圖9可以看出:

1)提出的輻射控制方法能很好的根據(jù)預(yù)定精度門限要求控制雷達(dá)輻射，對勻速運(yùn)動(dòng)目標(biāo)以及機(jī)動(dòng)目標(biāo)進(jìn)行跟蹤，形成一個(gè)反饋控制環(huán)路。

2)由于提出的控制方法采用跟蹤誤差和預(yù)測誤差兩個(gè)門限進(jìn)行控制，既增加了雷達(dá)兩次輻射之間的間隔時(shí)間，增強(qiáng)了雷達(dá)隱蔽性，同時(shí)又增加了跟蹤精度，使得其能夠達(dá)到預(yù)定精度。

圖8 環(huán)境2 下目標(biāo)跟蹤軌跡圖Fig.8 Tracking trace under environment 2

圖9 環(huán)境2 下跟蹤距離總體誤差圖Fig.9 Distance tracking error diagram under cnvironment 2

設(shè)置不同的門限，蒙特卡羅仿真100 次，比較對應(yīng)的雷達(dá)開機(jī)時(shí)間如表2所示。其中對于勻速運(yùn)動(dòng)目標(biāo)采用擴(kuò)展卡爾曼濾波、蛇形機(jī)動(dòng)目標(biāo)采用交互多模型濾波進(jìn)行跟蹤。

表2 不同門限下的雷達(dá)開機(jī)時(shí)間比較Tab.2 Rdar radiation timing comparison of different threshold

從表2可以看出:

1)提出的輻射控制方法能在不同的控制參數(shù)下對勻速目標(biāo)、機(jī)動(dòng)目標(biāo)進(jìn)行正常的跟蹤，對于相同的輻射控制門限，跟蹤機(jī)動(dòng)目標(biāo)比跟蹤勻速目標(biāo)要求的雷達(dá)輻射次數(shù)多。

2)雷達(dá)輻射次數(shù)多少主要受預(yù)測協(xié)方差門限K1和濾波協(xié)方差門限K2的影響，實(shí)際應(yīng)用的時(shí)候可以根據(jù)不同目標(biāo)的跟蹤需求選擇控制門限，以達(dá)到控制雷達(dá)輻射的目的。

4 結(jié)論

本文研究了給定輻射時(shí)間限制下雷達(dá)輻射時(shí)機(jī)規(guī)劃問題，建立了規(guī)劃模型，理論推導(dǎo)出了雷達(dá)輻射時(shí)機(jī)最優(yōu)規(guī)劃準(zhǔn)則。研究表明，給定輻射時(shí)間限制下，雷達(dá)輻射時(shí)機(jī)點(diǎn)越集中于時(shí)間終點(diǎn)，目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)精度越高?；谠摐?zhǔn)則下，提出了一種實(shí)時(shí)雷達(dá)輻射控制方法，仿真實(shí)驗(yàn)證明了方法的合理性和有效性。研究結(jié)論還可以推廣到單平臺(tái)雷達(dá)與被動(dòng)傳感器以及多平臺(tái)多傳感器的協(xié)同管理與輻射控制，具有重要的軍事意義和廣闊的應(yīng)用前景。

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