吳巍，王國宏，李世忠

(海軍航空工程學院 信息融合研究所，山東 煙臺264001)

0 引言

現代戰(zhàn)場環(huán)境中總存在著各種敵方的偵察和干擾，為了有效的保護自身安全，需要限制雷達電磁輻射時間以減少雷達被偵察的概率，而雷達探測目標時又必須向外輻射電磁波，這就存在著不可抗拒的矛盾。為了減少雷達輻射，在限定雷達輻射時間的情況下，如何對雷達輻射時機進行規(guī)劃，使得目標跟蹤的狀態(tài)估計精度最高，是一個有待研究的問題。

對于雷達的輻射規(guī)劃問題，國內外學者做了一些相關的研究。文獻［1］利用優(yōu)化目標函數—雷達/ESM 聯(lián)合估計的可拉美－羅(Cramer－Rao)下限來研究雷達規(guī)劃問題，利用數值計算方法得到雷達輻射規(guī)劃原則。文獻［2～4］分別研究了幾種自適應的雷達數據更新算法。文獻［5］提出了等間隔輻射控制和實時輻射控制兩種機載雷達輻射控制方法。文獻［6－9］利用雷達、紅外同時開機時的量測信息，構造出一組時間多項式，在雷達靜默期間，利用該組時間多項式估計目標的運動狀態(tài)，輔助紅外傳感器對目標進行跟蹤。文獻［10］在極坐標系下，利用singer 模型對目標的距離、方位、俯仰分別進行跟蹤，利用距離預測協(xié)方差和預定門限比較來確定雷達是否輻射。文獻［11－14］利用交互多模型對目標進行跟蹤，將預測協(xié)方差矩陣對角線上對應的x－y－z 方向的誤差轉換到極坐標系下的距離、方位、俯仰對應的誤差，再分別與預定門限進行比較，任一個參數超過門限雷達就輻射。

本文研究了給定輻射時間限制下的雷達輻射規(guī)劃問題，建立了雷達輻射最優(yōu)規(guī)劃模型，得出了最優(yōu)規(guī)劃準則?；谠摐蕜t，提出一種基于協(xié)方差的雷達實時輻射控制方法，并比較了不同輻射控制參數情況下雷達輻射時間，得出了一些有意義的結論。

1 問題描述

現代戰(zhàn)場環(huán)境下，為了保證雷達的隱蔽性，雷達輻射時間需要進行控制。在給定一段時間內雷達輻射次數的情況下，對雷達輻射時機進行優(yōu)化控制，可以提高目標狀態(tài)的估計精度。假設目標跟蹤過程在(0，T］時間段內進行，在該時間段內，限定雷達輻射次數為N 次，現要將這N 次雷達輻射時機點規(guī)劃到(0，T］時間區(qū)間內，使得目標狀態(tài)估計精度最高。假設目標勻速運動，運動模型為

式中:X(k)為狀態(tài)向量;F(t)為狀態(tài)轉移矩陣，其中，t 表示兩個雷達輻射時機點時間間隔。

文獻［5］提出雷達輻射控制最簡單的模型是等間隔輻射模式，即將N 輻射時機點等間隔的分布在(0，T］時間區(qū)間內。研究發(fā)現，等間隔輻射并不是最優(yōu)的輻射規(guī)劃。那么，如何在(0，T］時間區(qū)間內規(guī)劃N 次雷達輻射呢?本文建立輻射限制下的雷達輻射時機規(guī)劃模型，理論推導出了最優(yōu)規(guī)劃準則。

2 雷達輻射時機最優(yōu)規(guī)劃

2.1 規(guī)劃模型及推導

假設雷達跟蹤目標的整個過程在(0，T］時間段內進行，限定該段時間段內雷達輻射次數為N.雷達輻射點分別是T1、T2、…、Tn－1、Tn.易知，要使得跟蹤末端目標狀態(tài)估計精度最高，跟蹤末端雷達需要輻射，即Tn=T 時雷達需要輻射。雷達輻射規(guī)劃示意圖如圖1所示。

圖1 雷達輻射時機規(guī)劃示意圖Fig.1 Radar radiation timing scheme sketch map

假設采用Kalman 濾波對目標狀態(tài)進行估計，由于目標狀態(tài)估計誤差協(xié)方差反映了目標狀態(tài)估計誤差的大小，因此輻射時機規(guī)劃的優(yōu)化目標函數f 可以取跟蹤末端Tn處估計誤差協(xié)方差的跡，即

式中，P(n|n)為跟蹤末端點Tn的狀態(tài)估計誤差協(xié)方差。

上述規(guī)劃問題可以描述為一個動態(tài)規(guī)劃問題。先假設給定輻射時機點Tn－2、Tn，規(guī)劃Tn－1的位置，使得Tn點處目標狀態(tài)估計誤差協(xié)方差的跡tr(P(n|n))最小。得到Tn－1的位置后，再假設給定了Tn－1、Tn－3，規(guī)劃Tn－2的位置，使得Tn－1點處目標狀態(tài)估計誤差協(xié)方差的跡tr(P(n－1|n－1))最小。依次類推，就可以得到整個時間段內雷達輻射點的規(guī)劃?，F在，假設已知T1、T2、…、Tn－1、Tn點中任意兩點Ti－2、Ti(i∈(3，n］)的位置來規(guī)劃Ti－1位置。

由于規(guī)劃的優(yōu)化目標函數f 等于跟蹤末端Tn處目標狀態(tài)估計誤差協(xié)方差的跡，因此規(guī)劃問題轉化為已知Ti－2，Ti點位置和Ti－2點處狀態(tài)估計誤差協(xié)方差P(i－2|i－2)，規(guī)劃Ti－1的位置，使得目標函數f=tr(P(i|i))值最小。這里不妨取x 方向上的規(guī)劃來進行分析。

令

式中:ti=Ti－1－Ti;ti－1=Ti－2－Ti－1.

令目標x 方向量測誤差為

量測矩陣H 為

假設Ti－2處目標狀態(tài)估計誤差協(xié)方差為

式中，p12=p13，且p11＞0，p12＞0，p13＞0，p14＞0.

令p11=ασ2x，p12=βσ2x，p22=γσ2x，其中α、β、γ 為常數，且α ＞0、β ＞0，γ ＞0.

那么

假設過程噪聲為0，Ti－1處的預測誤差協(xié)方差為

Ti－1處的估計誤差協(xié)方差［15］為

Ti處的預測誤差協(xié)方差為

將ti－1=T－ti，帶入式(10)可得

Ti處的估計誤差協(xié)方差［15］為

規(guī)劃的優(yōu)化目標函數為

將等式(7)、式(8)、式(9)、式(10)、式(12)、式(13)逐步迭代可得

令

由柯西－許瓦茲不等式可知:

那么，f1(ti)表示開口向上，對稱軸位于ti=－ β/γ處的拋物線，顯然ti∈(0，T］時，f1(ti)函數值單調增加。f2(ti)表示開口向上，對稱軸位于ti=T 處的拋物線，顯然ti∈(0，T］時，f2(ti)函數值單調遞減，且f2(ti)＞0.由式(14)可知，f(ti)＞0.所以f(ti)在ti∈(0，T)內是單調減少的，即當ti→T 時，f(ti)取極小值。

以上分析表明，在(Ti－2，Ti)內規(guī)劃Ti－1的位置，Ti－1越靠近Ti，估計的誤差越小;同理，在(Ti－3，Ti－1)中規(guī)劃Ti－2的位置，Ti－2越靠近Ti－1，估計誤差越小，依次類推。所以T1、T2、…、Tn－1、Tn在(0，T］內的最優(yōu)化規(guī)劃準則是:N 個輻射時機點相隔越近且越接近時間終點Tn，Tn處的估計誤差越小。

2.2 模型驗證

下面用迭代尋優(yōu)的方法驗證以上推導。假設雷達跟蹤過程中輻射間隔最小單位為1 s，雷達輻射時機點正好在整數上。尋找最優(yōu)輻射時機點依照下面步驟:

1)令常數M=∞;

2)利用循環(huán)嵌套(N 個輻射點就有N－1 個循環(huán))，取雷達輻射時間分別為t1=1～(Tn－1)，t2=1～(Tn－1－t1)，…，tn－1=1～(Tn－1－t1－t2－，…，tn－2)，tn=Tn－1－t1－t2－，…，－tn－1;

3)得到一組雷達輻射點t1，t2，t3，…，tn，逐步迭代，計算得出tn點處的狀態(tài)估計誤差協(xié)方差，如果tr(P(n|n))＜M，則令M = tr(P(n|n))，Tmin(P)=［t1，t2，t3，…，tn］，返回第2)步;否則直接返回第2)步;

4)如果所有的可能輻射時機點都取完，即迭代到t1=Tn－n +1，t2=1，t3=1，…，tn=1 時，取出M和Tmin(P)，Tmin(P)即為雷達最優(yōu)輻射規(guī)劃分布點，M即為最優(yōu)規(guī)劃的函數值。

下面分別取規(guī)劃總時間T=20 s，40 s，60 s，輻射次數N=2，5，10 時輻射規(guī)劃的最優(yōu)時機分布情況。

表1 不同跟蹤時間和輻射次數下的輻射規(guī)劃情況Tab.1 Radiation planning situation under different tracking time and radiation time

由表1可以看出，對于一段時間內給定輻射次數的最優(yōu)規(guī)劃分布點，集中分布在時間終點一端，證明了理論推導準則的正確性。在進行雷達輻射控制時，可以適當的增加輻射間隔時間，增加每次輻射的次數，這樣會使得跟蹤精度更高。由于結論是在過程噪聲為0 的情況下得到的，考慮到實際情況中的過程噪聲、目標機動、濾波算法非線性等因素的影響，每次輻射間隔不宜過大，那樣可能導致濾波發(fā)散。

3 基于協(xié)方差的雷達實時輻射控制

3.1 方法描述

由上節(jié)推導結論可知，一段時間內雷達輻射規(guī)劃最優(yōu)原則是雷達輻射時機點集中于時間終點一端(輻射間隔不易過大)，基于該準則，本文提出了一種基于協(xié)方差的雷達時實輻射控制方法。方法描述如下:

1)航跡起始，兩點法(或三點法)濾波初始化，得到初始協(xié)方差P0.

2)雷達連續(xù)輻射一段時間，建立穩(wěn)定的航跡后進入輻射控制階段。

3)確定雷達下次開機的時間，具體步驟為:

a)設Tleft=Tmin，Tright=Tmax(Tmin、Tmax分別表示雷達最小和最大輻射間隔)，進入循環(huán);

b)如果Tright－Tleft＜ε(ε 為一個較小的常數)，退出循環(huán)，得到下一雷達輻射時刻點T =Tleft或T =Tright，否則令Ttest=Tleft+［(Tright－Tleft)/2］;

c)利用濾波公式和T =Ttest計算預測誤差協(xié)方差P(k+T|k);

其中，K1為比例常數，其大小決定了預測協(xié)方差門限的大小。如果式(19)、式(20)、式(21)都成立，則Tleft=Ttest，否則Tright=Ttest，回到第b)步。

4)預定輻射時刻到，雷達連續(xù)輻射，利用濾波算法對目標進行跟蹤，當目標位置誤差小于預定門限時，即

其中:K2為比例常數，如果式(22)、式(23)、式(24)都成立，雷達再次關機，返回第3)步計算下次雷達輻射時機點，否則連續(xù)輻射。

3.2 仿真

仿真環(huán)境1:我機地理坐標經度、緯度、高度為(37.0°，119°，10 000 m)，初始速度為(0，100 m/s，0)(表示緯度、經度、高度切線方向的速度);敵機地理坐標為(37.1°，119.5°，10 000 m)，初始速度都為(－200 m/s，100 m/s，0);我機和敵機都做勻速運動;仿真總時間110 s，雷達測距均方根誤差為100 m，方位角均方根誤差為0.2°，俯仰角均方根誤差為0.2°，徑向速度均方根誤差為10 m.

仿真環(huán)境2:在仿真的時間內，敵機前1/8 時間段勻速運動，其后的1/4 時間段左轉彎(轉彎角速度為3 rad/s)，接著的1/4 時間段右轉彎(轉彎角速度為－3 rad/s)，最后1/8 時間段勻速運動，整個過程敵機運動呈蛇形。我機運動方式不變，其它仿真參數與環(huán)境1 相同。

仿真結果:

設置輻射門限K1=3，K2=0.6 時，對于仿真環(huán)境1，對應的敵我飛機飛行軌跡圖如圖2所示，雷達輻射時機圖如圖3所示，跟蹤軌跡圖如圖4所示，跟蹤總體距離誤差圖如圖5所示。

圖2 環(huán)境1 下敵我飛機飛行軌跡圖Fig.2 Enemy and our aircraft flight trajectory under ensironment 1

圖3 環(huán)境1 下雷達輻射時機圖Fig.3 Radar radiation timing diagram under environment 1

圖4 環(huán)境1 下目標跟蹤軌跡圖Fig.4 Tracking trace under environment 1

對于仿真環(huán)境2，輻射控制的雙門限不變，對應的敵我飛機飛行軌跡圖如圖6所示，雷達輻射時機圖如圖7所示，跟蹤軌跡圖如圖8所示，跟蹤總體距離誤差圖如圖9所示。

圖5 環(huán)境1 下跟蹤距離總體誤差圖Fig.5 Total distance tracking error diagram under lnvironment 1

圖6 環(huán)境2 下敵我飛機飛行軌跡圖Fig.6 Enemy and our aircraft flight trajectory under environment 2

圖7 環(huán)境2 下雷達輻射時機圖Fig.7 Radar radiation timing diagram under environment 2

從圖2～圖9可以看出:

1)提出的輻射控制方法能很好的根據預定精度門限要求控制雷達輻射，對勻速運動目標以及機動目標進行跟蹤，形成一個反饋控制環(huán)路。

2)由于提出的控制方法采用跟蹤誤差和預測誤差兩個門限進行控制，既增加了雷達兩次輻射之間的間隔時間，增強了雷達隱蔽性，同時又增加了跟蹤精度，使得其能夠達到預定精度。

圖8 環(huán)境2 下目標跟蹤軌跡圖Fig.8 Tracking trace under environment 2

圖9 環(huán)境2 下跟蹤距離總體誤差圖Fig.9 Distance tracking error diagram under cnvironment 2

設置不同的門限，蒙特卡羅仿真100 次，比較對應的雷達開機時間如表2所示。其中對于勻速運動目標采用擴展卡爾曼濾波、蛇形機動目標采用交互多模型濾波進行跟蹤。

表2 不同門限下的雷達開機時間比較Tab.2 Rdar radiation timing comparison of different threshold

從表2可以看出:

1)提出的輻射控制方法能在不同的控制參數下對勻速目標、機動目標進行正常的跟蹤，對于相同的輻射控制門限，跟蹤機動目標比跟蹤勻速目標要求的雷達輻射次數多。

2)雷達輻射次數多少主要受預測協(xié)方差門限K1和濾波協(xié)方差門限K2的影響，實際應用的時候可以根據不同目標的跟蹤需求選擇控制門限，以達到控制雷達輻射的目的。

4 結論

本文研究了給定輻射時間限制下雷達輻射時機規(guī)劃問題，建立了規(guī)劃模型，理論推導出了雷達輻射時機最優(yōu)規(guī)劃準則。研究表明，給定輻射時間限制下，雷達輻射時機點越集中于時間終點，目標狀態(tài)估計精度越高?；谠摐蕜t下，提出了一種實時雷達輻射控制方法，仿真實驗證明了方法的合理性和有效性。研究結論還可以推廣到單平臺雷達與被動傳感器以及多平臺多傳感器的協(xié)同管理與輻射控制，具有重要的軍事意義和廣闊的應用前景。

References)

［1］ Leibowicz I，Nicolas P，Ratton L.Radar/ESM tracking of constant velocity target:comparison of batch (MLE)and EKF performance［C］∥the Third International Conference on Information Fusion，2000:3－8.

［2］ Shin H J，Hong S M，Hong D H.Adaptive－update－rate target tracking for phased－array radar［J］.Radar，Sonar Navigation，1995，142(3):137－143.

［3］ 趙艷麗，劉劍，羅鵬飛.基于相控陣雷達的自適應采樣目標跟蹤算法［J］.現代雷達，2003，25(5):37－39.ZHAO Yan－li，LIU Jian，LUO Peng－fei.Adaptive sample target tracking algorithm for phased array radar［J］.Modern Radar，2003，25(5):37－39.(in Chinese)

［4］ 施龍飛，王雪松，肖順平.基于新息范數的相控陣雷達自適應數據率跟蹤［J］.艦船電子對抗，2005，28(5):45－47.SHI Long－fei，WANG Xue－song，XIAO Shun－ping.Adaptive data rate tracking of phased－array radar based on residue norm［J］.Shipboard Electronic Warfare，2005，28(5):45－47.(in Chinese)

［5］ 鐘曉軍，王國宏.異類多傳感器系統(tǒng)中基于跟蹤質量的輻射控制研究［J］.現代雷達，2004，26(2):18－21.ZHONG Xiao－Jun，WANG Guo－h(huán)ong.A study on radiation control based on the tracking quality in heterogeneous sensors system［J］.Modern Radar，2004，26(2):18－21.(in Chinese)

［6］ LI A P，JING Z L，HU S Q.UKF－based multi－sensor passive tracking with active assistance［J］.Journal of Systems Engineering and Electronics，2006，17(2):245－250.

［7］ DOU L H，YANG G S.Synergy decision for radar and IRST data fusion［J］.Journal of Beijing Institute of Technology［J］.2002，11(3):229－231.

［8］ HU S Q，JING Z L.Sensor management in RADAR/ IRST track fusion［C］∥Proceedings of SPIE，Bellingham，2004，5430:173－181.

［9］ 李安平，敬忠良，胡士強.基于有源輔助的被動跟蹤系統(tǒng)［J］.上海交通大學學報，2005，39(12):2048－2051.LI An－ping，JING Zhong－liang，HU Shi－qiang.The passive tracking system with active assistance［J］.Journal of Shanghai Jiaotong Universitty，2005，39(12):2048－2051.(in Chinese)

［10］ Baudo O，Rattonl L.Radar scheduling with emission constraints［C］∥Proceedings of SPIE，2002，4714:153－156.

［11］ 程詠梅，潘泉，張洪才.紅外/雷達傳感器協(xié)同跟蹤算法研究［J］.火力與指揮控制，2001，26 (3):20－23.CHEN Yong－mei，PANG Quan，ZHANG Hong－cai.Study on infrared and radar sensor synergistic tracking algorithm［J］.Fire Control and Command Control，2001，26(3):20－23.(in Chinese)

［12］ Watson G A，Blair W D.Revisit calculation and waveform control for a multifunction radar［C］∥Proceedings of 32nd IEEE Conference on Decision and Control，San Antonio，1993，12:448－453.

［13］ Watson G A，Blair W D.Tracking maneuvering targets with multiple sensors using the interacting multiple model algorithm［C］∥Proceedings of SPIE，1954:438－449.

［14］ Watson G A，Blair W D，Rice T R.Enhanced electronically scanned array resource management through multisensor integration［C］∥Proceedings of SPIE，3163:329－340.

［15］ 何友，王國宏，陸大纟金，等.多傳感器信息融合及應用［M］.電子工業(yè)出版社，2007:14－15.HE You，WANG Guo－h(huán)ong，LU Da－jin，et al.Multisensor information fusion and its application［M］.Beijing:Electronic Industry Press，2007:14－15.(in Chinese)