王偉，王咸鵬，蓋猛

(哈爾濱工程大學(xué) 自動化學(xué)院，黑龍江 哈爾濱150001)

0 引言

多輸入多輸出(MIMO)雷達是借鑒通信領(lǐng)域的多輸入多輸出技術(shù)而提出的一種新體制雷達［1－4］，是最近幾年在雷達領(lǐng)域研究的一個熱點問題，具有廣泛的應(yīng)用前景。與傳統(tǒng)的雷達相比，MIMO 雷達利用空間分集技術(shù)克服目標的閃爍特性［1－2］，利用信號分集技術(shù)形成很大的虛擬陣列孔徑［3－4］，提高了目標的空間分辨力和探測性能。

目前MIMO 雷達的研究主要集中在MIMO 雷達的角度估計技術(shù)［5］、波束形成技術(shù)［6］以及目標成像技術(shù)［7］。在雙基地MIMO 雷達中，估計出空中目標相對于發(fā)射陣列的發(fā)射角和相對于接收陣列的接收角，可以根據(jù)這兩個角度的交叉點對目標進行定位。文獻［8］提出了基于Capon 算法的發(fā)射角(DOD)和接收角(DOA)聯(lián)合估計的方法，實現(xiàn)了雙基地多個目標交叉?zhèn)认蚨ㄎ?，文獻［9］提出了二維旋轉(zhuǎn)不變子空間(ESPRIT)算法在聯(lián)合DOD 和DOA 估計中的應(yīng)用。但由于這些方法需要二維空間處理，計算量龐大，不利于實時處理。文獻［10］把雙基地MIMO 雷達的二維方位角同時估計問題轉(zhuǎn)化為兩個一維方位角估計問題，然后采用兩次ESPRIT 算法估計出目標的DOD 和DOA，不需要二維空間譜搜索，但需要對數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣進行特征值分解以及對DOD 和DOA 進行配對。文獻［11］提出了一種自動配對的ESPRIT 算法，避免了配對算法的額外計算量。文獻［12］提出了一種有效抑制色噪聲聯(lián)合DOD 和DOA 算法，把虛擬陣列劃分成兩個互不重疊的子陣，通過兩個虛擬子陣輸出數(shù)據(jù)的互協(xié)方差矩陣來抑制空間色噪聲的影響，然后再利用ESPRIT算法實現(xiàn)發(fā)射角和接收角的聯(lián)合估計。文獻［13］中采用多項式求根技術(shù)實現(xiàn)了聯(lián)合DOD 和DOA 估計，避免了空間譜搜索，計算量很小，有利于實時處理。文獻［14］中指出當空間存在相關(guān)目標時，以上算法對于相關(guān)目標均失效，無法估計出目標的DOD和DOA.針對該問題，文獻［15］提出了一種基于空間前向空間平滑(FSS)算法的相關(guān)目標聯(lián)合角度的估計，但是該算法損失了MIMO 雷達虛擬陣列孔徑，估計性能也相應(yīng)的損失。

本文提出一種雙基地MIMO 雷達相關(guān)目標的定位方法。該方法在MIMO 雷達發(fā)射端和接收端分別構(gòu)造虛擬陣列，實現(xiàn)相關(guān)目標的解相關(guān)，然后進行DOD 和DOA 聯(lián)合估計，且估計的二維參數(shù)自動配對，最后利用DOD 和DOA 的交叉點對相關(guān)目標進行定位，得到空間相關(guān)目標的位置。與前后向空間平滑算法相比，本文算法避免了陣列孔徑損失，提高了目標的角度估計性能。仿真結(jié)果表明該算法的有效性和良好的估計性能。

1 雙基地MIMO 雷達信號模型

如圖1所示為雙基地MIMO 雷達結(jié)構(gòu)，發(fā)射陣列和接收陣列均為均勻等距線性陣列，所有的天線均為全向天線，有M 個發(fā)射陣元和N 個接收陣元，dt和dr分別為發(fā)射和接收陣元距。各個發(fā)射陣元同時發(fā)射同頻正交的周期相位編碼信號，其中發(fā)射信號滿足以下條件:

其中:si和sj分別為第i 個和第j 個發(fā)射陣元的信號;L 為每個周期內(nèi)的相位編碼個數(shù)。假設(shè)多普勒頻移對于信號的正交性沒有影響;目標和發(fā)射陣元、接收陣元的距離遠遠大于發(fā)射陣列孔徑和接收陣列孔徑。

圖1 雙基地MIMO 雷達結(jié)構(gòu)Fig.1 Principle diagram of bistatic MIMO radar

若在相同分辨距離單元上存在P 個目標，第i個目標相對發(fā)射陣元的發(fā)射角為θti(i =1，2，…，p)，相對接收陣元的接收角為θri(i =1，2，…，p)，其中(θri，θti)為第i 個目標的位置。接收陣列接收到的信號可表示為

其中:y(n)=［y1(n)，y2(n)，…，yN(n)］T為接收陣列輸出矢量;(·)T表示矢量或者矩陣的轉(zhuǎn)置;diag(α)表示由矢量α=［α1，α2，…，αp］構(gòu)成的p×p對角矩陣，其中，αi(i =1，2，…，p)為第i 個目標的散射系數(shù);A(θr)=［a(θr1)，a(θr2)，…，a(θrp)］，其中，a(θr)=［1，e－j(2π/λ)drsinθr，…，e－j(2π/λ)(M－1)drsinθr］T為N ×1 維的接收陣列導(dǎo)向矢量，λ 為載波波長;B(θt)=［b(θt1)，b(θt2)，…，b(θtp)］，b(θt)=［1，e－j(2π/λ)dtsinθt，…，e－j(2π/λ)(M－1)dtsinθt］T為M×1 維的發(fā)射導(dǎo)向矢量;s(n)=［ej2πf1d，ej2πf2d，…，ej2πfpd］T為散射信號，fi(i=1，2，…，p)為第i 個目標的多普勒頻率。w(n)為零均值平穩(wěn)白噪聲，假設(shè)它與信號相互獨立。

發(fā)射信號均為正交信號，根據(jù)式(1)接收陣列在l 個重復(fù)周期內(nèi)接收信號與發(fā)射信號進行匹配，第m 個匹配濾波器輸出數(shù)據(jù)可以表示為

其中:bm(θt)為發(fā)射陣元的導(dǎo)向矢量中第m 個元素;wm(t)為第m 個匹配濾波器中的噪聲矢量。因此經(jīng)過M 個匹配濾波器濾波，接收陣列接收到的數(shù)據(jù)為

也可以表示為

其中:c(θr，θt)=a(θr)?b(θt)為MN ×1 維導(dǎo)向矢量;n(t)為高斯白噪聲;s(t)=ej2πfdt為單個目標信號。?表示Kronecker 乘積。

若空間有P 個目標時，匹配濾波后接收信號表示為

其中:C=［c(θr1，θt1)，c(θr2，θt2)，…，c(θrp，θtp)］為MN×P 的p 個目標導(dǎo)向矢量;c(θri，θti)=a(θri)?b(θti)，S(t)=［α1ej2πf1t，α2ej2πf2t，…，αpej2πfpt］T為P個目標散射回來的信號。若p 個目標中有q(q =2，3，…，p)個目標散射信號具有相同的多普勒頻率且為同一相位編碼信號，那么這些目標是相關(guān)的。

由于MIMO 雷達DOD 和DOA 聯(lián)合估計的算法需要對接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣進行特征值分解，在目標相關(guān)情況下，對接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣進行特征值分解會導(dǎo)致信號子空間信息“擴散”噪聲空間，使噪聲子空間與信號子空間無法正交，導(dǎo)致很多現(xiàn)有的算法無法正確估計這些相關(guān)目標的空間位置。本文提出一種相關(guān)目標條件下的定位方法，即在MIMO 雷達的發(fā)射端和接收端同時構(gòu)造虛擬陣列，對相關(guān)目標散射信號解相關(guān)，恢復(fù)接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣的秩，然后再進行目標的DOD 和DOA 聯(lián)合估計。

2 一種相關(guān)目標定位方法原理

由式(8)可知，MIMO 雷達的導(dǎo)向矢量相當于一個MN×1 個虛擬陣列接收的導(dǎo)向矢量，有兩個相關(guān)目標散射回來接收信號為

其中，c(θr，θt)=a(θr)?b(θt)為MN ×1 維導(dǎo)向矢量。

對于兩個相關(guān)目標，在接收端和發(fā)射端分別構(gòu)造的第k(1≤k)個虛擬矩陣為

那么Ar和At可表示為

因此第k 個虛擬陣列的導(dǎo)向矢量為

其中:

根據(jù)Kronecker 乘積的性質(zhì):

則有

同理可得

則有

其中，

由式(16)可以知道，對于兩個相關(guān)目標，這里等價于將MIMO 雷達經(jīng)過匹配濾波器形成的虛擬陣列通過第k 次虛擬平移構(gòu)成了第k 個虛擬陣列。由文獻［16］可知，當虛擬平移的次數(shù)k 大于等于相關(guān)目標時，平滑后形成的虛擬陣列協(xié)方差矩陣的秩恢復(fù)到滿秩，從而實現(xiàn)相關(guān)目標的解相關(guān)。這里為兩個，則只需要構(gòu)造兩個虛擬陣列就可以實現(xiàn)對兩個相關(guān)目標的解相關(guān)。

同理，若空間存在p 個相關(guān)目標，那么相應(yīng)的第k 個虛擬陣列導(dǎo)向矢量為

MIMO 雷達的第k 虛擬陣列的接收數(shù)據(jù)為

其中，nk(t)第k 虛擬陣列中的噪聲。

對MIMO 雷達接收的Z(t)和Zk(t)經(jīng)過有限次初等變換［17］得到一組新的數(shù)據(jù)

其中，T 為MN×MN 的有限次初等行變換矩陣。

由式(8)和式(19)可得MIMO 雷達接收數(shù)據(jù)的互協(xié)方差矩陣為

其中，RS=E［S(t)SH(t)］.

由式(14)MIMO 雷達的第k(1≤k≤p)虛擬陣列的接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣為

定義一個維數(shù)為的MN×MN 反對角置換矩陣

由式(20)、式(21)和式(22)得到相應(yīng)數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣的修正矩陣

相關(guān)目標的散射信號經(jīng)過虛擬陣列的協(xié)方差矩陣為

對式(24)的協(xié)方差矩陣進行奇異值分解為

其中:Us和Vs分別是MIMO 雷達虛擬陣列和經(jīng)過式(19)初等行變換后新陣列的數(shù)據(jù)的信號子空間，VS=TUS;Un和Vn分別是MIMO 雷達虛擬陣列和經(jīng)過式(19)初等行變換后新陣列的數(shù)據(jù)的噪聲子空間，Vn=TUn;Σs為的特征值組成的對角矩陣，Σn為小特征值組成的對角矩陣，由ESPRIT 算法原理可以將US分割成Us1和Us2，將VS分割成Vs1和Vs2，其中Us1和Us2分別為Us的前M(N－1)行和后M(N－1)行，Vs1和Vs2分別是Vs的前N(M－1)行和后N(M－1)行，則有

其中:Φr=B－1φrB，Φt=K－1φtK，其中B 和K 分別為Φr和Φt的特征向量組成的相似變換矩陣，φr和φt分別為Φr和Φt的特征值組成的對角矩陣，也就是ESPRIT 算法的旋轉(zhuǎn)不變因子，對角線元素為方位角的參數(shù)信息。因此可以通過特征值分解Φr和Φt得到目標相應(yīng)的方位角，但是方位角參數(shù)不能自動配對。

根據(jù)矩陣、矩陣特征值和特征值對應(yīng)的特征向量三者之間的關(guān)系，使發(fā)射角和接收角度配對［9］

令rri為對角矩陣φr的第i(i =1，2，…，p)個對角元素，那么第i(i=1，2，…，p)目標相對于發(fā)射陣列的發(fā)射角和接收陣列的接收角估計值分別為

3 仿真及性能分析

為了驗證算法的解相干特性以及估計性能，設(shè)計了3 組仿真實驗。雙基地MIMO 雷達發(fā)射和接收陣列的陣元距均為半個波長，各個發(fā)射陣元同時發(fā)射相互正交的Gold 碼調(diào)相信號，每個周期內(nèi)碼元個數(shù)為K=127，碼元寬度τ =400 ns，選取250 個周期內(nèi)的回波信號。接收陣元數(shù)N=6，發(fā)射陣元數(shù)M=3.

實驗一:本文算法和ESPRITI 算法對相關(guān)目標的聯(lián)合角度估計性能對比

設(shè)空間存在3 個相關(guān)的目標，設(shè)它們相對于發(fā)射陣列的發(fā)射角和接收陣列的接收角分別為C(θr1，θt1)=(10°，－50°)，C(θr2，θt2)= (－20°，10°)，和C(θr3，θt3)=(30°，20°);3 個相關(guān)目標的信噪比均為0 dB.圖2為文獻［9］中的自動配對的ESPRIT 算法和本文算法對相關(guān)目標聯(lián)合角度估計的參數(shù)星座圖。從圖2中可知，ESPRIT 算法無法正確估計相關(guān)目標的位置，本文算法可以正確的估計出多個相關(guān)目標的位置，且目標參數(shù)準確的自動配對。

圖2 本文算法和ESPRITI 算法對相關(guān)目標的聯(lián)合角度估計性能Fig.2 The targets localigation of proposed method and ESPRIT

實驗二:本文算法和基于前向空間平滑(FSS)算法對相關(guān)目標的聯(lián)合角度估計性能的比較

設(shè)空間存在2 個相關(guān)目標，它們相對于發(fā)射陣列的發(fā)射角和接收陣列的接收角分別為C(θr1，θt1)=(30°，20°)，和C(θr2，θt2)=(－20°，10°)，兩個目標的信噪比相等。定義目標發(fā)射角估計均方根誤差為

定義相關(guān)目標接收角的均方根誤差為

實驗三:目標方位角估計性能與相關(guān)目標數(shù)的關(guān)系

圖3 目標發(fā)射角估計性能的比較Fig.3 The RMSE of DOD with different SNR

圖4 目標接收角估計性能的比較Fig.4 The RMSE of DOA with different SNR

設(shè)空間相關(guān)目標的信噪比均為0 dB，定義相關(guān)目標發(fā)射角的均方根誤差和接收角的均方根誤差定義和實驗二一樣。圖5為相關(guān)目標數(shù)和目標方位角度估計均方根誤差的關(guān)系圖，從圖中可以看出，在所有相關(guān)目標均為0 dB 時，隨著相關(guān)目標的增加，本文算法對相關(guān)目標的發(fā)射角度的估計均方根誤差保持在0.2°左右，對相關(guān)目標的接收角度的估計均方根誤差保持在0.1°左右。因此本文算法對于多個相關(guān)目標估計性能穩(wěn)定。

圖5 相關(guān)目標數(shù)與目標方位角估計性能的關(guān)系Fig.5 The RMSE of angle estimation with different targets

由仿真實驗可知，本文方法通過在發(fā)射端和接收端分別構(gòu)造出解相關(guān)的虛擬陣列，不損失發(fā)射端和接收端的陣元，保持了MIMO 雷達的分辨率，能夠同時對多個空間相關(guān)目標解相關(guān)，正確的估計出目標的位置，對多個目標的估計性能良好且穩(wěn)定。

4 結(jié)論

本文提出一種雙基地MIMO 雷達的相關(guān)目標定位方法，通過在MIMO 雷達的發(fā)射端和接收端構(gòu)造虛擬陣列，在不損失MIMO 雷達孔徑情況下實現(xiàn)了對空間多個目標的解相關(guān)，估計出相關(guān)目標的空間位置，且估計性能穩(wěn)定，同時估計參數(shù)自動配對，是一種能夠?qū)崿F(xiàn)空間多個相關(guān)目標定位的算法。理論分析和仿真結(jié)果驗證了該算法的有效性。

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