楊 杰，鄭海起，關(guān)貞珍，王彥剛

（石家莊軍械工程學(xué)院 石家莊 050003）

當(dāng)齒輪箱出現(xiàn)故障時(shí)，有時(shí)可能不只存在一種故障，可能是多種故障狀態(tài)并存，盲源分離為齒輪箱多故障并存的分離提供了一種新的方法，已成功應(yīng)用到齒輪箱故障診斷中［1-2］。

在盲源分離算法中，經(jīng)典的獨(dú)立成分分析（ICA）方法假設(shè)源信號(hào)是獨(dú)立統(tǒng)計(jì)的。雖然目前ICA方法在許多應(yīng)用中已證明是成功的［3-5］，然而，ICA基于統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的假設(shè)條件，并不適用于所有的情況。特別是在實(shí)際應(yīng)用中，很多信號(hào)或圖像具有稀疏性，或者可以對(duì)信號(hào)或圖像進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q，使其在變換域中具有較好的稀疏性。在稀疏成分分析（Sparse Component Analysis，SCA）中就利用了這一點(diǎn)［6-7］。最近，Starck 等［8-9］另辟新徑，提出了另外一種基于信號(hào)稀疏表示的分離方法——形態(tài)成分分析（Morphological Component Analysis，MCA），該方法的主要思想是利用信號(hào)組成成分的形態(tài)差異性（可以由不同的字典稀疏表示）進(jìn)行分離。目前，該方法在圖像處理［10-12］和腦信號(hào)分離［13］中已經(jīng)有一些應(yīng)用，在機(jī)械信號(hào)處理方面尚未見(jiàn)報(bào)道。

當(dāng)利用齒輪箱振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行故障診斷時(shí)，傳感器測(cè)取的信號(hào)是各種源信號(hào)的混合信號(hào)，這些源信號(hào)在傳輸過(guò)程中往往會(huì)發(fā)生不同程度非線(xiàn)性畸變、混疊等現(xiàn)象，而且這種非線(xiàn)性畸變?cè)邶X輪箱發(fā)生復(fù)合故障時(shí)尤為明顯。而MCA假設(shè)源信號(hào)是線(xiàn)性混疊的，因此不能有效地分離出非線(xiàn)性過(guò)程的源信號(hào)，從而得不到理想的診斷效果。

本文結(jié)合核函數(shù)把基于MCA的線(xiàn)性盲分離方法拓展到非線(xiàn)性混疊情況，給出了一種非線(xiàn)性混疊信號(hào)盲分離算法。該算法首先將混疊信號(hào)映射到高維核特征空間，其次，在核特征空間中構(gòu)造一組正交基，通過(guò)這組正交基將高維核特征空間的信號(hào)映射到這組正交基張成的參數(shù)空間中，從而把非線(xiàn)性混疊信號(hào)盲分離問(wèn)題轉(zhuǎn)化為參數(shù)空間的線(xiàn)性混疊信號(hào)盲分離問(wèn)題。最后，在參數(shù)空間中，應(yīng)用基于信號(hào)稀疏特性的線(xiàn)性盲分離方法對(duì)信號(hào)進(jìn)行分離。該算法收斂精度較高，穩(wěn)定性好。

1 形態(tài)成分分析的基本理論

Stark 等［16］在 BCR（Block-Coordinate-Relaxation）方法的基礎(chǔ)上，給出了MCA的數(shù)值實(shí)現(xiàn)：

（1） 初始化迭代次數(shù)Lmax及閾值δk=λk·Lmax/2

（2）Whileδk＞λk/2

fork=1，…，n

假設(shè)sk'≠k不變，更新sk：

·軟閾值法計(jì)算系數(shù)αk，閾值為δk，得到系數(shù)；

·由sk=Φk重構(gòu)sk。

更新閾值δk=δk-λk/2。

MCA算法只能分離同一信號(hào)中具有不同形態(tài)的信號(hào)分量。Boin等［17］將 MCA擴(kuò)展到多通道數(shù)據(jù)情況下，提出了GMCA（Generalized MCA）算法，GMCA是一種快速有效的盲源分離方法，它充分利用了形態(tài)多樣性和稀疏性的特點(diǎn)，把源看作是形態(tài)分量的線(xiàn)性組合，并利用稀疏性來(lái)估計(jì)源和混合矩陣，取得了較好的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。Xinyi［13］將該方法應(yīng)用到了腦信號(hào)分離中。

對(duì)于線(xiàn)性混疊模型：

設(shè)源信號(hào)是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，且每個(gè)源信號(hào)sk是不同形態(tài)成分的線(xiàn)性組合：

Tk和Rk分別表示與冗余字典Φk相關(guān)的正逆變換，在上述優(yōu)化問(wèn)題中，估計(jì)第k個(gè)源信號(hào)中的信號(hào)分量由前文提到的 MCA 算法實(shí)現(xiàn)，得 GMCA算法如下：

（1） 初始化遞歸次數(shù)Lmax和閾值：?k，δk=λk·Lmax·λk/2

（2）Whileδk＞λk/2

Fork=1，…，n

（3） 假設(shè)sk'≠k和αk'不變，更新sk：

·計(jì)算源信號(hào)sk的粗略估計(jì)；

·由閾值δk和MCA算法計(jì)算的稀疏分解，得到分解系數(shù){αk，j}；

（4）設(shè)源信號(hào)不變，更新A；

（5） 對(duì)?k，重新歸一化αk，sk和δk；

（6） 對(duì)?k，減小閾值δk=δk-λk/2。

2 核形態(tài)成分分析算法

2.1 核形態(tài)成分分析算法

一般化的非線(xiàn)性混疊信號(hào)模型可描述如下：

即xi（t）=fi［s1（t），s2（t），…，sn（t）］，F(xiàn)=［f1（·），f2（·），…，fn（·）］T。將混疊信號(hào){x（t），t=1，2，…，T}∈Rn用Φ（·）映射到高維特征空間中，即：

并在高維特征空間Γ中選擇一組基：

構(gòu)造如下正交基：

則可通過(guò)該正交基將Φ（x（t））在特征空間中參數(shù)化為d維信號(hào)：

由于直接計(jì)算被映射的數(shù)據(jù)Φx和Φv是困難的，為此引入核函數(shù)k（·，·）滿(mǎn)足k（a，·b）=Φ（a）T·Φ（b），則有：

Ψ［x（t）］即是被映射到參數(shù)空間中的數(shù)據(jù)，假設(shè)選擇的核函數(shù)k（·，·）使Φ（·）=F-1（·），則由式（4）、式（5）、式（6）、式（7）可得：

即Ψ（x（t））是s（t）的線(xiàn)性混疊信號(hào)。把GMCA算法應(yīng)用于被映射到參數(shù)空間中的數(shù)據(jù)Ψ（x（t）），得到本文提出的核形態(tài)成分分析算法（KGMCA）如下：

（1） 通過(guò)特征選擇算法從{x（t），t=1，2，…，T}∈RN中選擇{v（t），t=1，2，…，d}∈RN；

（2）由式（7）、式（8）和式（9）計(jì)算被映射到參數(shù)空間中的數(shù)據(jù)Ψ（x（t））（t=1，2，…，T}；

（3）用GMCA算法對(duì)Ψ（x（t））進(jìn)行盲分離，得到源信號(hào)。

2.2 特征選擇算法

下面研究KGMCA算法步驟1中特征空間Γ中基Φv的選擇問(wèn)題［18］。

設(shè)在輸入空間（即混疊信號(hào)空間）中選擇的特征向量數(shù)為L(zhǎng)，特征向量標(biāo)記為，在特征空間中的映射為Φ（）=，1≤j≤L，給定的特征向量集S={，…，}，則輸入空間中任一向量xi在特征空間中的映射可以表示為特征向量集S的線(xiàn)性組合：

其中：ai=（，…，）t為參數(shù)向量?，F(xiàn)在的問(wèn)題是對(duì)于給定的S，求解ai，使得Φi的估計(jì)值以最大概率接近Φi，為此，構(gòu)造如下的評(píng)價(jià)函數(shù)：

用矩陣形式重寫(xiě)式（12），從而最小化δi的問(wèn)題可表示為內(nèi)積形式：

其中：KSS為特征向量?jī)?nèi)積的方陣，KSi為xi與特征向量集S的內(nèi)積矩陣。問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在輸入空間X中尋找S，使其滿(mǎn)足式（13），即：

定義適應(yīng)度函數(shù)：

則式（14）等價(jià)于：

式（16）可通過(guò)遞歸算法求解，從而得到S，即{v（t），t=1，2，…，d}∈Rn。

3 仿真信號(hào)分析

為了檢驗(yàn)KGMCA盲分離算法的有效性，進(jìn)行了如下的仿真，取m=3，n=3，即三個(gè)傳感器、三個(gè)源信號(hào)的盲分離。

設(shè)三個(gè)源信號(hào)分別為：

其中：t=1，2，…，1 024，s1（t）的 Gauss脈沖重復(fù)頻率 0.02 Hz，Gauss脈沖中心頻率0.2 Hz，持續(xù)時(shí)間長(zhǎng)度■5 s，簡(jiǎn)諧波頻率0.01 Hz，s2（t）的Gauss脈沖重復(fù)頻率0.05 Hz，Gauss脈沖中心頻率0.4 Hz，持續(xù)時(shí)間長(zhǎng)度■5 s，簡(jiǎn)諧波頻率0.035 Hz，n（t）為隨機(jī)噪聲，信噪比為3 dB，信號(hào)采樣頻率為1 Hz。經(jīng)非線(xiàn)性關(guān)系x（t）=A1tanh（A2s（t））混疊，其中，隨機(jī)選取混疊矩陣為：

將三路信號(hào)非線(xiàn)性混疊并疊加3dB的高斯白噪聲，源信號(hào)及混疊信號(hào)分別如圖1（a）和（b）所示，構(gòu)造Fourier字典和基于8階消失矩Symlet小波字典，應(yīng)用KGMCA算法的信號(hào)分離結(jié)果如圖1（c）。

由圖1（c）可以看出，源信號(hào)被較好地分離出來(lái)，且噪聲較小。

由于核函數(shù)方法的實(shí)質(zhì)就是實(shí)現(xiàn)一種由輸入空間到特征空間的映射，通過(guò)定義特征變換后樣本在特征空間中的內(nèi)積來(lái)實(shí)現(xiàn)一種特征變化。這就是說(shuō)，通過(guò)引入核函數(shù)就可以實(shí)現(xiàn)所有的計(jì)算，而不需要知道非線(xiàn)性函數(shù)和特征空間（核空間）的具體形式。因此KGMCA算法不受非線(xiàn)性函數(shù)的具體形式的約束，具有較廣泛的適用性。

圖1 源信號(hào)、混疊信號(hào)和分離結(jié)果波形圖Fig.1 Sources、mixtures and separation result

4 齒輪箱復(fù)合故障信號(hào)分析

在某型單級(jí)齒輪箱上進(jìn)行試驗(yàn)驗(yàn)證。該系統(tǒng)由電機(jī)帶動(dòng)輸入軸，輸出軸帶動(dòng)負(fù)載。主動(dòng)齒輪齒數(shù)Z1=30，被動(dòng)齒輪齒數(shù)Z2=50，輸入軸軸承為6206型單列向心滾動(dòng)軸承，輸出軸軸承為7207型單列向心滾動(dòng)軸承，在主動(dòng)齒輪的一個(gè)輪齒根部加工一道寬為0.5 mm，深為1.5 mm的小槽模擬齒根裂紋故障。軸承故障是在輸入軸軸承內(nèi)圈和外圈通過(guò)線(xiàn)切割實(shí)現(xiàn)的，對(duì)振動(dòng)信號(hào)在時(shí)域里進(jìn)行等時(shí)間間隔采樣，采樣頻率為12800 Hz，測(cè)量時(shí)轉(zhuǎn)速為1 200 r/min，采樣時(shí)間長(zhǎng)度為0.25 s。齒輪故障頻率為轉(zhuǎn)頻20 Hz，6206型軸承內(nèi)徑為9.5 mm，外徑為 46.5 mm，接觸角為 0°，滾動(dòng)體數(shù)目為 9，根據(jù)軸承的結(jié)構(gòu)尺寸和工作轉(zhuǎn)速，可以計(jì)算出軸承不同元件的故障特征頻率：內(nèi)圈故障特征頻率108.4 Hz，外圈故障特征頻率為71.6 Hz。

在輸入軸兩端的軸承座和輸出軸一端的軸承座上各安裝一個(gè)傳感器，傳感器的型號(hào)為B＆K4508加速度傳感器，三個(gè)傳感器采集的振動(dòng)信號(hào)頻譜如圖2（a）、圖2（b）和圖2（c）所示，可以看出采集信號(hào)的幾個(gè)故障特征頻率在每一個(gè)頻譜圖上混疊，難以確定哪些故障存在。而且由于齒輪箱系統(tǒng)為典型的含間隙、油膜和時(shí)變剛度的多體彈性非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)［19］，傳統(tǒng)的線(xiàn)性盲分離方法不再適用。

圖2 三路傳感器采集信號(hào)的頻譜圖Fig.2 Spectrum of the vibration signals

為了匹配所分析信號(hào)的結(jié)構(gòu)特征，需要根據(jù)信號(hào)性質(zhì)或先驗(yàn)知識(shí)設(shè)計(jì)字典。目前，已經(jīng)構(gòu)造了多種過(guò)完備字典，常用的字典有Dirac字典、Fourier字典、小波字典、小波包字典和Gabor字典等。其中，Dirac字典適合匹配振動(dòng)信號(hào)中的脈沖成分；Fourier字典是典型的頻率字典，是頻率過(guò)離散的簡(jiǎn)諧三角函數(shù)集合，適合分析簡(jiǎn)諧信號(hào)；小波字典是典型的時(shí)間-尺度字典，適合分析具有等比例帶寬性質(zhì)的信號(hào)。

如果軸承的內(nèi)圈或外圈有損傷，軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，這些零件在接觸過(guò)程中會(huì)發(fā)生機(jī)械沖擊。齒輪振動(dòng)信號(hào)主要由齒輪的嚙合效應(yīng)和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)引起，損傷齒輪振動(dòng)信號(hào)中還會(huì)出現(xiàn)沖擊和瞬態(tài)振動(dòng)特征。為了有效匹配分析齒輪箱振動(dòng)信號(hào)的特征結(jié)構(gòu)，根據(jù)齒輪箱振動(dòng)信號(hào)特點(diǎn)，構(gòu)造了Fourier字典、Dirac字典和基于8階消失矩Symlet小波的標(biāo)準(zhǔn)正交小波字典以及持續(xù)一定時(shí)間長(zhǎng)度覆蓋一定頻率帶寬的波形函數(shù)的組合，分別用以匹配振動(dòng)信號(hào)中的簡(jiǎn)諧振動(dòng)、沖擊和其他瞬態(tài)振動(dòng)現(xiàn)象。

采用KGMCA算法對(duì)采集的三路振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行盲分離，圖3分別為分離出的三個(gè)源信號(hào)的頻譜圖。

圖3 KGMCA分離信號(hào)頻譜圖Fig.3 Spectrum of the separated signals by KGMCA

從圖3（a）中能看出20.5 Hz和41 Hz的頻率成分，這與齒根裂紋故障特征頻率（20 Hz）及二次諧波（40 Hz）接近，由此可認(rèn)為齒根裂紋故障被有效的分離出來(lái)；從圖3（b）中能看出71.5 Hz和143 Hz的頻率成分，這與滾動(dòng)軸承外圈故障特征頻率（71.6 Hz）及二次諧波（153.2 Hz）接近，由此可認(rèn)為外圈故障被有效的分離出來(lái)。從圖3（c）中能看出108.5 Hz和217 Hz的頻率成分，這與滾動(dòng)軸承內(nèi)圈故障特征頻率（108.4 Hz）及二次諧波（216.8 Hz）接近，其他頻率幅值成分較小，由此可認(rèn)為內(nèi)圈故障被分離出來(lái)。經(jīng)上述分析得出，本文提出的算法能較好地分離出齒輪和滾動(dòng)軸承的故障特征。

非線(xiàn)性盲源分離算法有：核獨(dú)立成分分析（KICA）和非線(xiàn)性主分量分析（PCA）等，這些方法在對(duì)應(yīng)的條件和約束下都能獲得最佳性能。非線(xiàn)性PCA方法需先對(duì)觀察信號(hào)做預(yù)白化的處理，然后最小化非線(xiàn)性PCA準(zhǔn)則來(lái)獲得相應(yīng)的分離算法。文獻(xiàn)［20］中，Oja給出了非線(xiàn)性PCA的一種實(shí)現(xiàn)算法，但這一算法收斂速度慢，精度低，且步長(zhǎng)的選擇不易把握。而KICA基于統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的假設(shè)條件，并不適用于所有的情況。與這些方法相比，KGMCA算法具有收斂速度快、精度高、對(duì)帶噪混疊信號(hào)分離效果好的特點(diǎn)，但是需要人為設(shè)定用于信號(hào)分離的字典，如果字典選擇不當(dāng)則分離效果不理想，這是其缺點(diǎn)所在。

5 結(jié)論

形態(tài)成分分析方法是有別于稀疏成分分析的一種基于稀疏表示的線(xiàn)性混疊信號(hào)分離方法，它利用追蹤算法來(lái)搜索信號(hào)最稀疏的表示將產(chǎn)生理想的分離效果。本文結(jié)合核特征空間，把這種方法推廣到了非線(xiàn)性混疊情況，給出了一種非線(xiàn)性混疊信號(hào)盲分離算法。仿真結(jié)果表明該算法是有效的，并應(yīng)用KGMCA算法對(duì)設(shè)有3種復(fù)合故障的齒輪箱振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行分析，成功分離并找到了故障特征，從而驗(yàn)證了該方法在齒輪箱復(fù)合故障診斷中的有效性。

然而由于MCA嶄新的理論面貌和獨(dú)到的應(yīng)用特點(diǎn)，還存在很多問(wèn)題值得深入研究［21］，如：選擇何種類(lèi)型的原子來(lái)構(gòu)造合適的字典和級(jí)聯(lián)字典族；研究好的閾值選擇策略提高算法的收斂性；建立基于MCA稀疏分解的評(píng)價(jià)方法等。

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