張 強(qiáng)，張 頻，陳奎孚

(1.上海師范大學(xué) 建筑工程學(xué)院，上海 201418；2.江西農(nóng)業(yè)大學(xué) 國土資源與環(huán)境學(xué)院，南昌 330045；3.中國農(nóng)業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，北京 100083)

對于非密集頻率復(fù)雜諧波信號，基于復(fù)正弦模型(Complex Sinusoid Model：CSM)的校正技術(shù)已經(jīng)發(fā)展得幾近完美［1－6］，有關(guān)的綜述參考文獻(xiàn)［7－8］。該方法僅僅利用主瓣附近幾條的離散譜線數(shù)據(jù)，經(jīng)過簡單運算就可以得到相當(dāng)精確的參數(shù)。對于頻率密集模型，是否還存在這種不需迭代的校正技術(shù)，尚未見文獻(xiàn)給出明確答案。最簡單的頻率密集模型是雙頻率模型(Double-Frequency Model：DFM)。針對這種模型，文獻(xiàn)［9］通過搜索兩個頻率分量在復(fù)平面上的方位角將其分離，它需要使用數(shù)值法搜索。文獻(xiàn)［9－10］直接用數(shù)值方法迭代求解非線性頻率方程，因而兩者算法復(fù)雜性和運算量都遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出CSM的簡單校正方法。

本文將探索對于DFM，是否存在類似CSM的顯式校正公式。本文的理論分析表明：DFM加矩形窗情形確實有顯式校正公式；但對其他窗函數(shù)，校正公式要么不存在，要么過度復(fù)雜，因而不具有實用性。

1 CSM存在簡單校正公式的原因

對周期信號和平穩(wěn)信號，所使用的窗函數(shù)一般均為對稱。仔細(xì)研究CSM校正公式的推導(dǎo)過程，可以發(fā)現(xiàn)：它之所以簡單是因為常見對稱窗函數(shù)w(t)的頻譜W(ω)具有如下的兩個特性。

特性1常見的對稱窗函數(shù)的頻譜W(ω)一般可以表示為如下形式：

其中：WR(ω)為實有理分式，有的甚至為實多項式；WP(ω)是由三角函數(shù)構(gòu)成的超越實函數(shù)。

不失一般性，本文僅考慮WP(ω+Δω)=－WP(ω)的情形。

對于單頻復(fù)解析信號 xa(t)=A0exp(jφ0+jω0t)加w(t)的傅里葉變換為：

記主瓣內(nèi)相鄰的兩條FFT譜線ω1和ω2對應(yīng)的頻譜為X1和 X2，即：

由于FFT的譜線間隔Δω=ω2－ω1=2π/T，因此二者的比值為：

其中利用了特性1和特性2。正因為這兩個特性，X1和X2的超越部分抵消而使得X2/X1僅為ω0的有理函數(shù)，進(jìn)而才有可能建立簡單的校正公式。

比如將漢寧窗 WR(ω)=(ωT/2)［1－(πT/2)2］代入式(2)，立即可以得到它的校正公式。

對于DFM，不再有類似于式(3)的簡單比例關(guān)系。但是如果能將兩個所對應(yīng)頻譜分離，則各自參數(shù)應(yīng)滿足這個比例關(guān)系。

2 DFM的頻率方程

記DFM的信號為：

其中的 Aa，φa，ωa，Ab，φb，ωb分別為兩個頻率成分的幅值、相位和頻率參數(shù)。根據(jù)傅里葉變換的線性性質(zhì)，有：

考察雙頻率主峰附近的四條連續(xù)譜線。記頻率為ω1～ω4，對應(yīng)的頻譜為 X1～X4，即：

方程組(4)有8個待定參數(shù)，但是每個方程都是復(fù)方程，虛部和實部各提供一個方程，因此有8個方程。但是本文不直接解這8個方程，而是利用特性2。根據(jù)該特性，方程組(4)的每個方程右端兩個分子為：

盡管方程組(4)無超越函數(shù)，但也未必能夠得到顯式解。比如高于5次多項式的方程，有所謂的阿貝耳定理，即方程的根不可能用方程系數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和開方運算表達(dá)出來。退一步，即使有顯式解，若其表達(dá)式非常復(fù)雜，則實用性也不大。如簡單的三次多項式方程，它的顯式根很復(fù)雜。

3 DFM加矩形窗的校正

下面研究DFM加矩形窗簡化情形。

這樣方程組(4)的第2和第3兩式變?yōu)椋?/p>

圖1 頻率參數(shù)之間的關(guān)系Fig.1 The relationship between the frequency variables

不失一般性，取T=2。將WR(ω)=ω代入式(5)，利用克萊姆法則可以解出：

對于方程組(4)的第1和4式，只需將X1→X2，X3→X4，3δω→δω 代入式(6)即有：

將方程(8)的第1式展開得：

將方程(8)第2式作類似展開，然后與式(9)相減，并消去公因式δa－δb得到：

式中：

將式(10)的第一項δaδb表示出來：

然后代入式(9)的第1項，經(jīng)整理可得另外一個方程：

其中：

聯(lián)立式(10)和式(11)，可以解出：

其中Δ，Δ1和Δ2是中間變量，具體為：

由式(12)可以看出頻率校正量仍然僅與頻譜比值有關(guān)。但是對于DFM，離散譜線在復(fù)數(shù)平面內(nèi)不再共線［11］，因此虛部和實部都出現(xiàn)在校正公式上。

由于Δ，Δ1和 Δ2均為復(fù)數(shù)，因此式(12)中－4Δ1Δ是否大于零并不重要。在理論上δa，δb應(yīng)該全為實數(shù)，但是由于誤差存在，很難保證其虛部為零，通常取其實部作為δa，δb的近似即可。

由圖1的關(guān)系，可以得到校正后的頻率：

以上是針對時間零點位于窗函數(shù)中心建立的公式。對于常用軟件包的FFT，零點位于窗口最左側(cè)。根據(jù)傅里葉變換的時移性質(zhì)，F(xiàn)FT的奇數(shù)條譜線將附加一個π相位，而偶數(shù)條譜線不變。因而所有推導(dǎo)過程和最終結(jié)果應(yīng)將 －X1→X1，－X3→X3。

由式(12)的推導(dǎo)過程可以看出，如果將矩形窗換成更復(fù)雜函數(shù)，則無法得到平行于式(10)和(11)的二次多項式方程，因此校正量雖然與頻譜的比值存在確定關(guān)系，但是顯式表達(dá)式將很復(fù)雜或者根本就得不到。

4 考核結(jié)果與討論

為了驗證式(12)和式(13)的正確性，以及評價它們的實用性，計算參數(shù)取T=2，F(xiàn)FT的長度N=1 024。因此，ΔT=T/N=1/512，Δω =2π/T=π。DFM 信號的兩個成分為：成分1為強(qiáng)幅成分，參數(shù)有兩組，即Aa=10，ωa=100.05Δω，φa= π/3 和 Aa=10，ωa=100.55 Δω，φa=π/3，前者接近整周期采樣，后者接近半周期采樣；成分2為弱幅成分，Ab=1，φb=5π/4。為了細(xì)致考核校正公式的效果，ωb在一個范圍內(nèi)取值，即ωb=ωa+ρΔω，其中 ρ=0.3～3Δω。

仿真考核的誤差如圖 2 所示，其中 εω/Δω，εA，εφ分別為校正后的頻率絕對誤差、幅值相對誤差和相位誤差。

圖2 仿真考核的誤差特性Fig.2 The error characteristics of the tested example

由圖2可以看出，強(qiáng)幅成分的參數(shù)精度很高，誤差的總趨勢隨兩個頻率的分離而下降，當(dāng)ρ＞0.5之后，εω只有萬分之幾個 Δω，幅值相對誤差量級不超過10－4，相位誤差也只有零點幾度，且整周期采樣與否對幅值和頻率的精度影響不大(但成分1是否為整周期采樣對成分2的精度影響比較大)。

對影響誤差的各種因素比較發(fā)現(xiàn)：對誤差影響最大的因素是FFT的矩形積分法對精確積分接近程度［12］，特別是窗函數(shù)兩端權(quán)不為零，而數(shù)值積分又沒有計入這個值的影響。

在成分1的誤差曲線上標(biāo)有X的點，該點附近的誤差很大，其原因是式(12)中的Δ→0，因此數(shù)值上出現(xiàn)奇異。在校正實施中必須檢查這個值，以確定結(jié)果的可靠性。如果不考慮這一點，根據(jù)誤差隨頻率差而總體下降的趨勢，式(12)也適用于CSM的頻譜校正。

弱幅成分的參數(shù)識別誤差較大，但當(dāng)ρ=0.5～2(即若兩成分頻率間隔界于 0.5Δω ～2.0Δω)，則頻率誤差不超過0.1Δω，幅值相對誤差低于5%，相位誤差在幾度范圍之內(nèi)，大體可滿足工程精度的要求。

但是隨ρ繼續(xù)增大，弱幅成分的參數(shù)誤差趨勢并非繼續(xù)降低。這是因為隨ρ增大，弱幅成分對強(qiáng)幅成分主峰附近的頻譜貢獻(xiàn)越小，因而利用強(qiáng)幅成分主峰周圍譜線估計的弱幅信號參數(shù)的精度越來越差，尤其是奇點(圖中標(biāo)有X的點)頻度也加增大。因而對于弱幅成分，如果ρ＞2，不如采用CSM校正公式更為可靠。

弱幅成分的頻率估計奇點往往由Δ=0所造成，但式(13)的Wp(ω2－ωa)也會導(dǎo)致幅值和相位的估計奇點。

5 結(jié)論

分析了單頻率模型的頻譜存在簡單校正公式的原因。原因是常用窗函數(shù)的譜函數(shù)可以分解為超越函數(shù)與有理分式的乘積，前者對離散譜線間隔有周期性。利用這個特性很容易建立單頻率模型的加對稱窗的頻譜校正公式。將該特性用于雙頻率模型(DFM)，也可以得到對應(yīng)的頻率方程，但是其關(guān)系非常復(fù)雜。除了加矩形窗外，其他窗情形涉及到高于2次的多項式方程，因此顯示校正公式可能不具有實用性或根本不存在。

對于DFM加矩形窗，頻率校正量滿足二次多項式方程，因此可以寫出其顯式解，但是其復(fù)雜性遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出單頻率模型的校正公式。采用含幅值差異較大的兩個頻率成分的信號，對這組顯式校正公式進(jìn)行了考核。結(jié)果表明，對于強(qiáng)幅成分，在工程精度內(nèi)可以認(rèn)為無誤差，而對弱幅成分，當(dāng)兩頻率間隔在0.5～2個頻率分辨率范圍之內(nèi)，誤差在工程精度上可以容忍。如果頻率相距比較大，還是各自采用單頻率模型為宜。

該方法的噪聲特性需要進(jìn)一步探討。

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