曾梁彬 孫 宇 彭斌彬 王栓虎

南京理工大學(xué)，南京，210094

基于振動響應(yīng)的一般平面機(jī)構(gòu)動平衡方法

曾梁彬 孫 宇 彭斌彬 王栓虎

南京理工大學(xué)，南京，210094

針對一般高速機(jī)構(gòu)的動平衡問題，提出了一種普遍適用的基于振動響應(yīng)的動平衡優(yōu)化方法。與傳統(tǒng)動平衡方法不同，該方法直接以降低振動響應(yīng)為目標(biāo)。通過頻域內(nèi)的振動響應(yīng)分析，構(gòu)造了系統(tǒng)的廣義激振載荷向量和廣義振動特征矩陣，建立了一個以構(gòu)件質(zhì)量參數(shù)為設(shè)計參數(shù)、以機(jī)座振動響應(yīng)為目標(biāo)函數(shù)的動平衡優(yōu)化模型。

動平衡；振動響應(yīng)；廣義激振載荷向量；廣義振動特征矩陣

0 引言

在高速機(jī)構(gòu)的運(yùn)動過程中，運(yùn)動構(gòu)件的慣性載荷傳遞到機(jī)座上會產(chǎn)生較大的擺動力和擺動力矩，引起機(jī)床振動和噪聲，加劇構(gòu)件疲勞和磨損，這些都會嚴(yán)重影響機(jī)構(gòu)的動態(tài)性能［1－3］。因此，動平衡一直都是機(jī)械設(shè)計領(lǐng)域的關(guān)鍵問題之一。

早期動平衡研究主要集中于擺動力或擺動力矩的完全平衡，但完全平衡方法存在一定的局限性［4－10］。首先，并不是所有機(jī)構(gòu)都能夠進(jìn)行完全平衡；其次，為了實(shí)現(xiàn)完全平衡，需要附加許多額外的平衡構(gòu)件，增加了機(jī)構(gòu)自身質(zhì)量，這樣就使機(jī)構(gòu)設(shè)計變得更加復(fù)雜，在實(shí)際應(yīng)用中往往不具有實(shí)用意義。因此，許多學(xué)者轉(zhuǎn)向部分平衡的研究。較之完全平衡方法，部分平衡除了考慮擺動力與擺動力矩之外，往往還考慮了機(jī)座反約束力與驅(qū)動力矩的影響。通過在各項動力學(xué)性能指標(biāo)中進(jìn)行權(quán)衡，以加權(quán)的方式建立一個統(tǒng)一的動平衡評價指標(biāo)體系［11－14］。然而，在這種多目標(biāo)優(yōu)化的問題中，確定各項指標(biāo)的加權(quán)系數(shù)是一個難題［15－16］。

在目前絕大部分的動平衡研究中，主要以擺動力、擺動力矩、機(jī)座反約束力、驅(qū)動力矩等力學(xué)狀態(tài)為研究目標(biāo)，而動平衡的一個重要目的在于降低振動，因此，以降低振動為平衡目標(biāo)具有更加直接的效果。一般而言，在實(shí)際工作過程中，機(jī)構(gòu)的振動狀態(tài)往往難以測量，而機(jī)座的振動則較容易獲得，故在動平衡設(shè)計中，往往用機(jī)座的振動情況來間接反映整個機(jī)械系統(tǒng)的實(shí)際振動，如文獻(xiàn)［17－18］以慣性載荷引起的機(jī)座振動響應(yīng)為優(yōu)化目標(biāo)來進(jìn)行動平衡設(shè)計。本文在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步提出一種通用的基于振動響應(yīng)的動平衡優(yōu)化模型，可適用于一般平面機(jī)構(gòu)。

1 基本振動響應(yīng)模型

設(shè)一個一般平面機(jī)構(gòu)由一個固定機(jī)座和n個運(yùn)動構(gòu)件構(gòu)成，運(yùn)動構(gòu)件通過一系列運(yùn)動副與固定機(jī)座相連，并有p個獨(dú)立的約束力或約束力矩通過這些運(yùn)動副直接作用在固定機(jī)座上。這p個獨(dú)立載荷即為固定機(jī)座的激振載荷，記為fk（k＝1，2，…，p）。通常，機(jī)構(gòu)做周期運(yùn)動，因此，fk為周期函數(shù)，通過傅里葉級數(shù)可分解為

對平面機(jī)構(gòu)而言，其振動響應(yīng)可表征為x方向、y方向及θ方向上（轉(zhuǎn)動方向）的三個分量。由于實(shí)際機(jī)座為非剛體，其各處的振動情況不同，因此，在進(jìn)行以下分析時，在機(jī)座上預(yù)選取一個參考點(diǎn)作為統(tǒng)一的評價標(biāo)準(zhǔn)來衡量機(jī)座的振動響應(yīng)。該參考點(diǎn)可以由設(shè)計者根據(jù)需要選取。

通過疊加各激振載荷引起的振動響應(yīng)，可以得到機(jī)座在頻域內(nèi)的總振動響應(yīng)：

其中，w為加權(quán)系數(shù)矩陣，其形式為w＝［wxwywθ］，wx、wy和wθ分別表示三個振動響應(yīng)分量的加權(quán)系數(shù)，可由設(shè)計者根據(jù)需要確定。

2 動平衡優(yōu)化模型

要計算出機(jī)座的振動響應(yīng)，還必須確定出激振載荷fk的大小。為簡化分析過程，將運(yùn)動構(gòu)件作為剛體考慮，通過達(dá)朗伯爾原理可以計算得到基座上的各激振載荷。其中，F(xiàn)i，jx和Fi，jy分別為Pi，j上構(gòu)件j對構(gòu)件i的約束反力的x和y分量，F(xiàn)dix和Fdiy分別為作用于構(gòu)件i質(zhì)心處的驅(qū)動力的x和y分量，Mdi為作用于構(gòu)件i質(zhì)心處的驅(qū)動力矩，這些變量為未知量。FSix和FSiy分別為作用于構(gòu)件i質(zhì)心處的外力的x和y分量，MSi為作用于構(gòu)件i質(zhì)心處的外力矩，這些變量為已知量。JSi為構(gòu)件i的轉(zhuǎn)動慣量。

圖1 一般平面機(jī)構(gòu)示意圖

聯(lián)立n個運(yùn)動構(gòu)件的平衡方程，將式（4）寫成矩陣形式：

其中，K為未知變量的系數(shù)矩陣，取決于機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)參數(shù)；N 為未知變量向量；B為已知變量向量，即平衡方程中等式右邊的項。當(dāng)未知變量個數(shù)為3n時，即未知數(shù)個數(shù)與平衡方程數(shù)相等時，式（5）中各未知變量可以求解，即

由于動平衡研究的是慣性載荷對機(jī)構(gòu)動態(tài)性能的影響，且機(jī)構(gòu)外載具有隨機(jī)性，因此在此僅考慮空載狀態(tài)。在空載狀態(tài)下，B中各項僅與運(yùn)動構(gòu)件的質(zhì)量、轉(zhuǎn)動慣量、加速度和角加速度有關(guān)。因此，fk可進(jìn)一步寫成：由此可以看出，εk，i僅與機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)參數(shù)有關(guān)，當(dāng)機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)參數(shù)確定時，εk，i固定不變。另外，εk，i也是周期為T的周期函數(shù)，因此可以按照傅里葉級數(shù)分解為

在運(yùn)動學(xué)參數(shù)一定的情況下，式（12）中僅有質(zhì)量參數(shù)zi為設(shè)計變量，其余變量均可視為已知量，這樣，就將機(jī)座的振動響應(yīng)建立為一個僅與各質(zhì)量參數(shù)zi有關(guān)的函數(shù)，讓設(shè)計者能夠更加方便地通過質(zhì)量調(diào)整和質(zhì)量分配來對機(jī)構(gòu)的動態(tài)性能進(jìn)行優(yōu)化。

這樣，就將式（12）的機(jī)座振動響應(yīng)函數(shù)轉(zhuǎn)化為加權(quán)系數(shù)向量、廣義激振載荷向量和廣義振動特征矩陣相乘的矩陣形式，使目標(biāo)函數(shù)在形式上更加簡單和直觀。

3 算例

圖2所示為一個普通四桿機(jī)構(gòu)，桿1為驅(qū)動連架桿，輸入轉(zhuǎn)速ω1為600r／min；坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)置于固 定 鉸 鏈 P0，1，鉸 鏈 P0，3的 坐 標(biāo) 為 （750，0）mm。設(shè)桿1的質(zhì)量全部集中在鉸鏈P0，1處，其質(zhì)量參數(shù)激振載荷的影響可以忽略。其余各構(gòu)件參數(shù)如表1所示。

圖2 算例四桿機(jī)構(gòu)

表1 算例四桿機(jī)構(gòu)桿件參數(shù)

從圖2中可以看出，四桿機(jī)構(gòu)的運(yùn)動構(gòu)件通過轉(zhuǎn)動副P0，1和P0，3與固定機(jī)座連接，因此對機(jī)座的激振載荷即為F01x、F01y、F03x和F03y，為與上節(jié)中的分析對應(yīng)，將其分別重新標(biāo)記為f1、f2、f3

和f4，根據(jù)式（4）可以列出各桿件的平衡方程：

為與上節(jié)中的分析對應(yīng)，將質(zhì)量參數(shù)m2、JS2、m3和JS3分別重新標(biāo)記為z1、z2、z3和z4。由式（17）～式（19）可以求解出四個激振載荷。進(jìn)一步可以求出εk，i（k＝1，2，3，4；i＝1，2，3，4）中的各階分量，其前3階結(jié)果如表2所示。

本例中δk（k＝1，2，3，4）通過有限元仿真的方法確定，其機(jī)座有限元模型如圖3所示，參考點(diǎn)設(shè)置在轉(zhuǎn)動副P0，1孔的幾何中心，并通過耦合約束關(guān)聯(lián)到孔面的網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上。

表2 εk，i 的各階分量

在仿真計算中，我們僅取前3階單位激振來擬合實(shí)際激振載荷，并選取加速度振幅作為振動響應(yīng)。δk的各階分量如表3所示。

表3 δk的各階分量

在本例分析計算中，綜合考慮各方向上的振動響應(yīng)的數(shù)量級，選取相應(yīng)的加權(quán)系數(shù)為wx＝0.495，wy＝0.495，wθ＝1×10－2。

將表2和表3中的數(shù)據(jù)代入式（12）或式（16），即可得到關(guān)于質(zhì)量參數(shù)z1、z2、z3和z4（即m2、JS2、m3和JS3）的振動響應(yīng)函數(shù)。

圖4中給出了四個質(zhì)量參數(shù)z1、z2、z3和z4對機(jī)座振動響應(yīng)的影響情況。從圖4中可以看出，z4曲線的斜率最大，z3曲線其次，z1曲線再次，z2曲線的斜率最小，表明四個質(zhì)量參數(shù)對機(jī)座振動響應(yīng)的影響程度為z4＞z3＞z1＞z2，根據(jù)這一信息，設(shè)計者能夠?qū)|(zhì)量參數(shù)的設(shè)計作出更合理的優(yōu)化。

圖4 各質(zhì)量參數(shù)對機(jī)座振動響應(yīng)的影響

4 結(jié)束語

鑒于運(yùn)動過程中機(jī)構(gòu)的振動情況難以測量，以機(jī)座的振動響應(yīng)作為評價系統(tǒng)振動情況的間接標(biāo)準(zhǔn)，提出了一種直接以降低機(jī)座振動響應(yīng)為目標(biāo)的平衡方法。該方法中建立了一個以運(yùn)動構(gòu)件質(zhì)量參數(shù)為設(shè)計變量，以機(jī)座參考點(diǎn)振動響應(yīng)為目標(biāo)函數(shù)的理論模型，并通過構(gòu)造廣義激振載荷向量和廣義振動特征矩陣，給出了該模型的簡潔形式。

由于廣義激振載荷向量是僅關(guān)于各質(zhì)量參數(shù)的函數(shù)，而廣義振動特征矩陣取決于機(jī)座本身的結(jié)構(gòu)屬性，是一個常值矩陣，故本文方法的主要工作重點(diǎn)是確定出機(jī)構(gòu)的廣義振動特征矩陣，這可以通過試驗(yàn)、理論計算或模擬仿真等方式得到。最后，通過一個四桿機(jī)構(gòu)算例介紹了該方法的應(yīng)用。本文所提出的基于振動響應(yīng)的動平衡模型為一般高速平面機(jī)構(gòu)的動平衡提供了一種更直接的設(shè)計思路。

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A Dynamic Balancing Method for General Planar Mechanism Based on Vibration Response

Zeng Liangbin Sun Yu Peng Binbin Wang Shuanhu
Nanjing University of Science ＆ Technology，Nanjing，210094

A general dynamic balancing method was proposed for high speed mechanism based on vibration response.Unlike the traditional approaches，this method aimed at reducing vibration response directly.By analyzing the vibration response in frequency domain，and forming generalized exciting load vector and generalized vibrational characteristic matrix，a dynamic balancing optimization model was established，where the mass parameter of mechanism and the vibration response of ground were employed as its design variable and objective function，respectively.

dynamic balancing；vibration response；generalized exciting load vector；generalized vibrational characteristic matrix

TH122

10.3969／j.issn.1004－132X.2012.13.003

2011—07—11

江蘇省“六大人才高峰”項目；江蘇省產(chǎn)學(xué)研前瞻性聯(lián)合研究項目（BY2010107）；中國博士后科學(xué)基金資助項目（2011M500923）

（編輯 袁興玲）

曾梁彬，男，1986年生。南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院博士研究生。主要研究方向?yàn)橄冗M(jìn)制造工藝及裝備。發(fā)表論文10余篇。孫 宇，男，1964年生。南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。彭斌彬，男，1975年生。南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院副教授、博士。王栓虎，男，1956年生。南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院副教授。