滕福林 李宏勝 溫秀蘭 黃家才

南京工程學(xué)院，南京，211167

0 引言

數(shù)控機(jī)床輪廓誤差的成因除了機(jī)床結(jié)構(gòu)誤差、加工刀具磨損等機(jī)械原因外［1］，主要還有進(jìn)給軸驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)引起的誤差［2］。動(dòng)態(tài)響應(yīng)性能與兩方面有關(guān)：第一，進(jìn)給軸驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的閉環(huán)控制特性［3］；第二，控制器命令信號(hào)和伺服驅(qū)動(dòng)器的執(zhí)行元件特性在位置、速度、加速度三方面的匹配程度［4］。

電子齒輪比定義了指令脈沖當(dāng)量和反饋脈沖當(dāng)量的關(guān)系，完成了位置信號(hào)的匹配，使得實(shí)際加工輪廓尺寸和目標(biāo)輪廓尺寸相同［5］。同時(shí)根據(jù)速度插補(bǔ)原則，通過(guò)電子齒輪比還可以實(shí)現(xiàn)目標(biāo)速度和實(shí)際加工速度的匹配［6］。但電子齒輪比在代替機(jī)械減速箱的同時(shí)，一直忽視了插補(bǔ)加速度與進(jìn)給軸驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)最大加速能力之間的匹配。而加速度信號(hào)不匹配也是引起動(dòng)態(tài)位置跟蹤誤差的主要原因之一［7］。同時(shí)，如果驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)不能以最大加速能力進(jìn)行加減速，必然要影響數(shù)控機(jī)床的加工效率。

本文研究了電子齒輪比對(duì)數(shù)控機(jī)床輪廓誤差和加工效率的影響，提出電子齒輪比和插補(bǔ)加速度優(yōu)化算法，以期在保證輪廓誤差最小的前提下盡量提高加工效率。

1 電子齒輪比設(shè)計(jì)中存在的問(wèn)題

數(shù)控機(jī)床包括三個(gè)核心技術(shù)模塊：上位機(jī)軟件對(duì)任意圖案的軌跡規(guī)劃功能模塊、控制器進(jìn)行精插補(bǔ)功能模塊、多軸聯(lián)動(dòng)伺服驅(qū)動(dòng)功能模塊。如圖1所示。電子齒輪比都是由伺服驅(qū)動(dòng)器內(nèi)部提供的，所以傳統(tǒng)意義上的電子齒輪比都是添加在圖1中③處［8］。

圖1 數(shù)控機(jī)床工作原理示意圖

以上添加電子齒輪比的方法中，沒(méi)有涉及加速度操作，如果電子齒輪比的值大于1，則在目標(biāo)位置、目標(biāo)速度信號(hào)放大的同時(shí)，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的目標(biāo)加速度信號(hào)也將被放大。如果放大后的目標(biāo)加速度值大于甚至遠(yuǎn)大于各軸伺服驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的最大加速度值amax，不管是直線加減速響應(yīng)還是S曲線加減速響應(yīng)，實(shí)際加工輪廓的變形都在所難免。這是目前添加電子齒輪比的方法中存在的第一個(gè)問(wèn)題。

電腦上軌跡規(guī)劃軟件有每個(gè)軸分辨率設(shè)置項(xiàng)，且控制器在接收坐標(biāo)點(diǎn)序列時(shí)可以改變插補(bǔ)用坐標(biāo)值大小，伺服驅(qū)動(dòng)器取到目標(biāo)速度后可以改變伺服驅(qū)動(dòng)器的目標(biāo)指令值，這三個(gè)功能分別在圖1中①、②（精插補(bǔ)前）、③處（精插補(bǔ)后）實(shí)現(xiàn)。電子齒輪比既然是指令脈沖當(dāng)量和反饋脈沖當(dāng)量的匹配，那么電子齒輪比不僅可以在③處添加，同樣也可以在①或②處添加。修改軌跡規(guī)劃分辨率的辦法在工程應(yīng)用中不可取。一般電子齒輪比可取0.01～100之間的數(shù)值。當(dāng)電子齒輪比g遠(yuǎn)大于1時(shí)，在插補(bǔ)前添加電子齒輪比，實(shí)際線段長(zhǎng)度被放大了g倍，從而，連續(xù)微直線段擬合曲線的精度、平滑度變差；在插補(bǔ)后添加電子齒輪比，由于插補(bǔ)加速度已定，經(jīng)過(guò)電子齒輪比放大后，伺服系統(tǒng)命令信號(hào)中的加速度信號(hào)被放大g倍，由于伺服系統(tǒng)實(shí)際最大加速度能力有限，很容易引起伺服電機(jī)加減速過(guò)程中的動(dòng)態(tài)位置跟蹤誤差過(guò)大，而造成輪廓誤差偏大。當(dāng)電子齒輪比遠(yuǎn)小于1時(shí)，插補(bǔ)前添加電子齒輪比，很多微線段的長(zhǎng)度被進(jìn)一步縮小，在速度插補(bǔ)中極有可能被誤認(rèn)為是不需要加工的直線而被刪除，使得目標(biāo)圖案中大量有用信息丟失；插補(bǔ)后添加電子齒輪比，由于插補(bǔ)加速度不變，伺服系統(tǒng)工作速度被縮小了g倍，伺服電機(jī)工作在低轉(zhuǎn)速下，加工效率降低，同時(shí)速度遠(yuǎn)低于額定工作轉(zhuǎn)速，加工效果會(huì)受到影響。

將電子齒輪比簡(jiǎn)單地放在插補(bǔ)前或插補(bǔ)后，特別地，當(dāng)電子齒輪比的值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于1或遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于1時(shí)，都會(huì)對(duì)輪廓誤差或加工效率產(chǎn)生不利影響。這是目前取電子齒輪比的方法中存在的第二個(gè)問(wèn)題。如果控制器和驅(qū)動(dòng)器是分開(kāi)設(shè)計(jì)的，則第二個(gè)問(wèn)題難以避免。

為解決以上兩個(gè)問(wèn)題，本文研究了一種電子齒輪比和插補(bǔ)加速度同時(shí)考慮的優(yōu)化算法，以期達(dá)到插補(bǔ)加速度和驅(qū)動(dòng)軸最大加速能力的匹配。

2 電子齒輪比和插補(bǔ)加速度優(yōu)化算法

文獻(xiàn)［6－7］表明，將控制器和伺服驅(qū)動(dòng)器設(shè)計(jì)成一個(gè)整體（本文中稱為組合控制器）已經(jīng)成為一個(gè)比較熱門的研究方向，甚至有趨勢(shì)將軌跡規(guī)劃軟件、插補(bǔ)算法及伺服驅(qū)動(dòng)全部整合在一起。本文對(duì)組合控制器中，伺服系統(tǒng)、電子齒輪比、插補(bǔ)控制之間的優(yōu)化設(shè)置方法，以及在優(yōu)化設(shè)置方法下，實(shí)現(xiàn)輪廓誤差最小、機(jī)床加工效率最高的效果進(jìn)行研究。

2.1 針對(duì)不同轉(zhuǎn)動(dòng)慣量值進(jìn)行優(yōu)化

電子齒輪比仍然添加在圖1中③處。最大加速能力為峰值轉(zhuǎn)矩與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的比值。伺服系統(tǒng)最大加速能力amax的計(jì)算公式如下：

式中，IN為伺服電機(jī)額定電流；Kt為伺服電機(jī)電磁轉(zhuǎn)矩系數(shù)；γ為伺服系統(tǒng)過(guò)載倍數(shù)；τ為伺服驅(qū)動(dòng)器中速度閉環(huán)輸出限幅系數(shù)；J為電機(jī)轉(zhuǎn)子軸上轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J0與直驅(qū)絲桿上平移運(yùn)動(dòng)質(zhì)量m折算到轉(zhuǎn)子上轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Je之和。

m的折算公式為

式中，PB為絲桿螺距。

對(duì)于一個(gè)X／Y軸數(shù)控機(jī)床，如果已經(jīng)知道兩個(gè)伺服驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的最大加速能力amax－X、amax－Y，也可以通過(guò)峰值轉(zhuǎn)矩輸出記錄速度變化來(lái)測(cè)量amax－X和amax－Y。令gX、gY分別為X 軸、Y軸電子齒輪比，則最大加速能力的幅值A(chǔ)max為

已知伺服驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)前向通道增益為K，系統(tǒng)在位置斜坡輸入p（t）＝vt的作用下，穩(wěn)態(tài)位置跟蹤誤差ε為

可以近似認(rèn)為伺服電機(jī)啟動(dòng)加速過(guò)程和制動(dòng)減速過(guò)程中，速度為斜線變化趨勢(shì)，動(dòng)態(tài)位置跟蹤誤差也為斜線變化趨勢(shì)。數(shù)控機(jī)床在加工中總是處于不停地加減速的狀態(tài)，如果伺服驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)采用最大加減速能力進(jìn)行啟動(dòng)和制動(dòng)，則機(jī)床的加工效率最高。

圖2顯示了X／Y軸每個(gè)軸上插補(bǔ)加速度a＊與各個(gè)伺服驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)最大加速度amax之間的關(guān)系，圖中陰影部分面積就等于ε值，從而可以推得：

X／Y控制器的插補(bǔ)加速度幅值的計(jì)算公式為

圖2 最大加速度插補(bǔ)示意圖

將式（6）根據(jù)插補(bǔ)周期進(jìn)行離散以后，就可以得到數(shù)控機(jī)床效率最高時(shí)每個(gè)插補(bǔ)周期內(nèi)的插補(bǔ)加速度值。

組合控制器中，插補(bǔ)加速度、電子齒輪比、伺服系統(tǒng)最大加速能力的匹配是能夠?qū)崿F(xiàn)的。針對(duì)一臺(tái)設(shè)備，每個(gè)軸上J值不變化，最大加速能力不變化，則插補(bǔ)加速度容易設(shè)計(jì)。對(duì)于通用型組合控制器，針對(duì)不同機(jī)床，電子齒輪比的輸入界面是開(kāi)放的，如果伺服驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)具有轉(zhuǎn)動(dòng)慣量辨識(shí)功能，則在組合控制器第一次在機(jī)床上使用時(shí)，進(jìn)行一次電子齒輪比設(shè)定和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量辨識(shí)，就可以求出本機(jī)床最優(yōu)的插補(bǔ)加速度值。這種優(yōu)化方法的設(shè)計(jì)目標(biāo)是在不影響輪廓誤差的情況下提高加工效率。

2.2 針對(duì)不同電子齒輪比、不同機(jī)床輪廓精度要求進(jìn)行優(yōu)化

在2.1節(jié)分析的基礎(chǔ)上，在圖1中的速度插補(bǔ)功能前增加優(yōu)化控制器模塊。在速度插補(bǔ)前預(yù)先設(shè)置一個(gè)分電子齒輪比gl，然后在圖1中③處分別添加電子齒輪比glX、glY，且有

其中，gX、gY由實(shí)際機(jī)床的傳動(dòng)機(jī)構(gòu)、反饋脈沖當(dāng)量以及指令脈沖當(dāng)量來(lái)決定。不同類型機(jī)床肯定也有不同的電子齒輪比的值，gX、gY可能大于1，也可能小于1。根據(jù)前面分析，gX、gY值對(duì)輪廓誤差和加工效率都存在影響。

數(shù)控機(jī)床加工圖案的目標(biāo)精度，即軌跡規(guī)劃軟件中直線段擬合曲線的最小直線段長(zhǎng)度lMmin＝ηΔM，圖文設(shè)備的軌跡規(guī)劃軟件中一般取η＝15，ΔM為電子齒輪比定義中的指令脈沖當(dāng)量。在速度插補(bǔ)中，如果線段長(zhǎng)度小于15，則在速度插補(bǔ)的坐標(biāo)點(diǎn)序列中忽略當(dāng)前直線段的結(jié)束點(diǎn)坐標(biāo)，這樣不影響加工精度。

數(shù)控機(jī)床要求的輪廓精度，即直線擬合曲線的最小線段長(zhǎng)度lLmin＝μΔl，其中 Δl＝max（ΔlX，ΔlY），ΔlX＝DBX／（4PPRX），ΔlY＝DBY／（4PPRY）。DBX、DBY分別為X／Y 軸絲桿螺距，PPRX、PPRY分別為X／Y軸伺服電機(jī)位置檢測(cè)元件精度。不同機(jī)床對(duì)曲線輪廓精度的要求是不一樣的，也即μ值大小不一樣。

優(yōu)化控制器的設(shè)計(jì)目標(biāo)是在保證輪廓誤差最小的前提下，盡量提高加工效率。

在已知條件gX、gY、η、μ、amax－X、amax－Y、JX、JY的前提下，根據(jù)不影響輪廓誤差的前提下提高加工效率的原則，優(yōu)化gl、A＊（t）的值。

（1）當(dāng)gX?1，gY?1時(shí)，經(jīng)過(guò)圖1中③處的電子齒輪比放大后，擬合曲線的微直線段長(zhǎng)度需要滿足機(jī)床輪廓精度要求，即

當(dāng)式（8）中兩式均取等號(hào)時(shí)，可以求取glX、glY的值。再根據(jù)式（7）可以得到兩個(gè)gl值，取其中較小值作為gl值，然后根據(jù)式（7）重新求glX、glY的值。最后根據(jù)2.1節(jié)的情況分析求取A＊（t）值。

（2）當(dāng)gX?1，gY?1時(shí)，經(jīng)過(guò)圖1中③處的電子齒輪比縮小后，加工速度很低，加工效率有所降低，精度也會(huì)受到影響。所以，在保證加工精度的前提下，式（9）取等號(hào)，求取gl值。

根據(jù)式（7）還可以求取glX、glY的值。再根據(jù)2.1節(jié)的情況分析求取A＊（t）值。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析與結(jié)論

電子齒輪比和插補(bǔ)加速度優(yōu)化算法采用2.2節(jié)的方法，并在圖3所示圖文儀中進(jìn)行實(shí)驗(yàn)以觀測(cè)輪廓曲線的平滑度，電子齒輪比的值分別設(shè)定為4、0.25，并保持兩種電子齒輪比下實(shí)際加工圖案尺寸一致，得到加工圖案如圖4和圖5所示。圖4a加工時(shí)間為11s，電子齒輪比過(guò)小，造成伺服電機(jī)實(shí)際工作轉(zhuǎn)速較低，雖然機(jī)床要求輪廓精度較高，但實(shí)際加工曲線仍然不夠平滑，伺服軟件監(jiān)測(cè)X／Y軸的動(dòng)態(tài)位置跟蹤誤差峰值為620個(gè)脈沖（X、Y軸伺服反饋精度均為4000個(gè)脈沖／轉(zhuǎn)）；圖4b加工時(shí)間為8s，曲線相對(duì)較為平滑，動(dòng)態(tài)位置跟蹤誤差峰值為310個(gè)脈沖。圖5a加工時(shí)間為8s，由于電子齒輪比的值較大，加減速過(guò)程中的動(dòng)態(tài)位置跟蹤誤差比較大，峰值達(dá)1240個(gè)脈沖，輪廓曲線開(kāi)始出現(xiàn)比較明顯的抖動(dòng)和毛刺現(xiàn)象；圖5b加工時(shí)間為6s，曲線相對(duì)比較平滑，動(dòng)態(tài)位置跟蹤誤差峰值為360個(gè)脈沖。

圖3 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

圖4 電子齒輪比的值為4時(shí)的加工圖案

圖5 電子齒輪比的值為0.25時(shí)的加工圖案

電子齒輪比和插補(bǔ)加速度優(yōu)化算法在保證輪廓誤差最小的前提下，可以盡量提高加工效率。實(shí)驗(yàn)結(jié)果也證明了這種優(yōu)化算法的有效性和實(shí)用性。

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