張世勛，賴永星

(鄭州大學(xué)力學(xué)與工程科學(xué)學(xué)院，鄭州450001)

理論力學(xué)是高等工科院校重要的技術(shù)基礎(chǔ)課程之一，它是許多后繼課程如材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)、機(jī)械原理的基礎(chǔ)，同時(shí)對提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力會(huì)有極大幫助。理論力學(xué)課程本應(yīng)該是一門能夠激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的課程，但以筆者多年的理論力學(xué)課程教學(xué)實(shí)踐，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在理論力學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，普遍缺乏學(xué)習(xí)興趣，主要原因是理論力學(xué)的靜力學(xué)，一學(xué)就會(huì)，不用理論力學(xué)方法也能完成，但遇到復(fù)雜的問題往往又做不好，這樣就慢慢降低了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。如何把物理學(xué)與理論力學(xué)有機(jī)連接起來，把思維方式轉(zhuǎn)換到適應(yīng)理論力學(xué)的學(xué)習(xí)中，找到科學(xué)的興趣點(diǎn)，是理論力學(xué)教師應(yīng)當(dāng)注意的問題。筆者根據(jù)多年的教學(xué)實(shí)踐，在分析探討該學(xué)科規(guī)律的基礎(chǔ)上，提出以下幾點(diǎn)看法。

1．理論力學(xué)相對物理中的力學(xué)是分析層次的提高

理論力學(xué)是大學(xué)物理的后續(xù)課程，于是很多同學(xué)就沿用物理學(xué)中的思維方法求解，既不規(guī)范又不嚴(yán)謹(jǐn)。因此學(xué)生普遍反映理論好懂、習(xí)題難做、考關(guān)難過。筆者認(rèn)為，教師應(yīng)當(dāng)向?qū)W生講明雖然物理學(xué)中的力學(xué)部分與理論力學(xué)中的內(nèi)容有不少相近之處，但并不是簡單的重復(fù)，而是分析層次提高了。即使對一些簡單的問題，也應(yīng)嚴(yán)格規(guī)范按照理論力學(xué)的求解方法求解。通過下面兩個(gè)簡單的例子，可以很好地解決學(xué)生對理論力學(xué)不正確的看法。

一群和尚一堆瓜，分不平均要打架，分一個(gè)少一個(gè)，分半個(gè)多半個(gè)。問多少和尚多少瓜。這道題對于中學(xué)生是一簡單的代數(shù)題，而對于小學(xué)生卻是一道難題。中學(xué)生之所以能夠簡單完成，是因?yàn)閷⒑蜕泻凸献鳛槲粗靠创捎昧蟹匠痰姆椒ㄇ蠼狻?/p>

接著再舉一如圖1所示簡單的力學(xué)例子。根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)大部分學(xué)生都采用力的分解法求解繩子的受力，雖然也能夠算出繩子的受力，但這種方法應(yīng)用起來對復(fù)雜問題并不方便，甚至難以求解;而理論力學(xué)是將繩子的受力作為未知量，采用列平衡方程的簡潔規(guī)范的計(jì)算方法。明確向?qū)W生指出采用物理中力學(xué)的求解方法不是我們理論力學(xué)的方法，這兩種方法如同分瓜問題一個(gè)是用算術(shù)的方法，一個(gè)是用代數(shù)的方法。

圖1

通過上面兩個(gè)簡單的例子，不但能夠很好地解決學(xué)生對理論力學(xué)不正確的看法，而且也能夠使學(xué)生按照理論力學(xué)嚴(yán)格規(guī)范的方法求解力學(xué)問題，從而慢慢地過度到復(fù)雜力學(xué)問題。

2．引導(dǎo)學(xué)生把握理論力學(xué)問題演變的規(guī)律

隨著課程的深入，問題的復(fù)雜化，學(xué)生普遍反映習(xí)題難做，有些問題甚至難以著手，慢慢就會(huì)失去學(xué)習(xí)的興趣。如果教師在教學(xué)的過程中，能夠引導(dǎo)學(xué)生把握理論力學(xué)問題演變的規(guī)律，把深?yuàn)W的理論講得明白易懂，那么復(fù)雜的問題就會(huì)變得簡單化。該學(xué)科中的許多問題，表面上看是不同的問題，其實(shí)遵循的卻是同樣的力學(xué)原理;不同的力學(xué)量的運(yùn)算，遵循的也是同樣的數(shù)學(xué)法則。如果學(xué)生能明白了這些，也就真正地學(xué)進(jìn)去了，對這門課的興趣也會(huì)自然形成。這樣的例子在理論力學(xué)中可以找到很多。

靜力學(xué)中很多看起來復(fù)雜問題都可看成由簡單問題組合而成。比較圖2所示的問題，可看成由一個(gè)附加在懸臂梁結(jié)構(gòu)上的三鉸結(jié)構(gòu)組合而成。懸臂梁結(jié)構(gòu)和三鉸結(jié)構(gòu)都屬于基本的問題，如此，學(xué)生們求解起來就不會(huì)覺得復(fù)雜，好像在求兩個(gè)基本的問題一樣。

圖2

運(yùn)動(dòng)學(xué)中點(diǎn)合成運(yùn)動(dòng)部分動(dòng)點(diǎn)動(dòng)系的選取是學(xué)生們普遍感到最為困難的問題。告訴學(xué)生為了方便求解關(guān)鍵是動(dòng)點(diǎn)的相對運(yùn)動(dòng)軌跡易于確定。遵循動(dòng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中始終是兩個(gè)運(yùn)動(dòng)部件的接觸點(diǎn)的選取原則［1］，就能確保動(dòng)點(diǎn)的相對運(yùn)動(dòng)軌跡易于確定，從而使問題易于求解。除個(gè)別的問題例外，大部分習(xí)題都遵循這一原則。

動(dòng)力學(xué)是研究作用于物體上的力與物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系，不僅與剛體的受力和剛體的運(yùn)動(dòng)形式有關(guān)，而且與剛體的質(zhì)量分布有關(guān)。因此，如果能將為剛體平動(dòng)、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)、平面運(yùn)動(dòng)間及結(jié)構(gòu)形式相互變換［2］，將會(huì)使問題求解大大簡化。如圖3所示為一剛體和質(zhì)點(diǎn)組成的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，物體上刻有光滑圓槽并置于光滑水平面上，B為一質(zhì)點(diǎn)。若圖3(b)中有關(guān)的幾何和質(zhì)量參數(shù)與圖3(a)相同，并不計(jì)桿OB的質(zhì)量，則兩個(gè)系統(tǒng)是完全等價(jià)的力學(xué)系統(tǒng)，其中滑塊與物體A的運(yùn)動(dòng)規(guī)律相同。進(jìn)一步地，還可演變?yōu)閳D3(c)所示的系統(tǒng)。

圖3

再比如第三屆全國周培源大學(xué)生力學(xué)競賽理論力學(xué)題，如能掌握質(zhì)量分布，運(yùn)動(dòng)形式的轉(zhuǎn)化，將會(huì)使一復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為一教科書中的普通習(xí)題。如圖4(a)所示，已知薄方盤上有一半徑為R的光滑圓槽，方盤的質(zhì)量為M，質(zhì)心在圓心O點(diǎn)處，對O的回轉(zhuǎn)半徑為ρ，在圓槽內(nèi)有一質(zhì)量為m的小球B，該系統(tǒng)初始時(shí)刻靜止地放在光滑的水平面上，給小球一沿圓周切線方向的沖擊，使小球突然有一沿圓周切線方向的初速度v0，試求此后系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)。［2］

根據(jù)已知條件，可知如圖4中所示薄方盤作平動(dòng)，因而可用一位于其質(zhì)心并具有相同質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)來代替，注意到在運(yùn)動(dòng)過程中O，B兩點(diǎn)的距離始終保持為R，故可用一不計(jì)質(zhì)量的剛桿連接，于是，圖4(a)等價(jià)演變?yōu)閳D4(b)，圖中黑點(diǎn)大小不同表示質(zhì)量不同，而圖4(b)是教科書中的普通習(xí)題。

3．結(jié)合歷史的發(fā)展和存在的問題進(jìn)行講述

在理論力學(xué)的教學(xué)中，如能結(jié)合歷史的發(fā)展和個(gè)別章節(jié)存在的問題進(jìn)行講述，就能增加學(xué)生對本課程的學(xué)習(xí)興趣，又能鍛煉學(xué)生的邏輯思維和解決問題的能力，以及對科學(xué)問題的興趣。

圖4

如虛位移原理教學(xué)中存在如下兩類問題:(1)關(guān)于虛位移原理充分性的證明并不成立，主要是充分性證明存在邏輯問題［3，4］及證明方法本身具有缺陷造成的［5］;(2)在理論力學(xué)中存在主動(dòng)力在任何虛位移上的元功之和為零(∑fIδri=0)系統(tǒng)不平衡的充分條反例［6，7］，如剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，光滑圓環(huán)上不受主動(dòng)力作用或主動(dòng)力沿半徑方向的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)。在教學(xué)中如何面對上面提出的問題，我們認(rèn)為還應(yīng)當(dāng)注意以下幾點(diǎn):

(1)不能回避有關(guān)虛位移原理提出的問題，否則部分用功好學(xué)的學(xué)生，一旦發(fā)現(xiàn)反例，容易造成誤解。

(2)在教學(xué)中，可將有關(guān)虛位移原理提出的問題作為一個(gè)互動(dòng)問題向?qū)W生提出。讓學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)或引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)在虛位移原理充分性證明存在的漏洞和反例，可以鍛煉學(xué)生的邏輯思維和解決問題的能力及對科研問題的興趣。

(3)要向?qū)W生明確指出，虛位移原理是一種公理，求解靜平衡問題是沒有問題的。出現(xiàn)上面的問題是由于歷史發(fā)展的原因造成的。1717年，伯努利在寫給法國數(shù)學(xué)家范立剛的信中，首先發(fā)現(xiàn)了“虛位移原理”。1743年，達(dá)朗貝爾在《動(dòng)力學(xué)》論文中，引人了假想的“慣性力”概念，把動(dòng)力學(xué)問題變成靜力學(xué)問題。1788年，拉格朗日又將虛功原理與達(dá)朗貝爾原理結(jié)合起來，提出了解決質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)問題的普遍方程。如果先有達(dá)朗貝爾原理，然后有動(dòng)力學(xué)問題的普遍方程，那么虛位移原理只能作為普遍方程特例出現(xiàn)，就不會(huì)出現(xiàn)今天的討論。

(4)最后要告訴學(xué)生，隨著課程發(fā)展如果把虛位移原理作為動(dòng)力學(xué)問題的普遍方程特殊情況，是能夠很好解釋有關(guān)虛位移原理提出的問題。對少學(xué)時(shí)學(xué)生也要向?qū)W生講清楚這段歷史，并明確告訴學(xué)生用虛位移原理求解靜力學(xué)問題是可以的。

由此可見，在理論力學(xué)的教學(xué)過程中，如果教師能夠講透該學(xué)科的內(nèi)在規(guī)律，把復(fù)雜的問題清晰歸類，讓學(xué)生觸類旁通，那么這門課其實(shí)也并不那么難學(xué)。學(xué)生把握到學(xué)科的奧秘以后，對該學(xué)科的興趣自然也會(huì)形成。

［1］陳建平，陶秋帆，吳文龍．理論力學(xué)中動(dòng)力學(xué)問題的演變與創(chuàng)新思維訓(xùn)練［J］．力學(xué)與實(shí)踐，2004，26(5):72 －74．

［2］李淑，童堃．關(guān)于動(dòng)點(diǎn)動(dòng)系的選擇原則［J］．力學(xué)與實(shí)踐，1985，7(5):54 －57．

［3］劉楓．關(guān)于虛位移原理的探討［J］．江蘇機(jī)械制造與自動(dòng)化，1999(2):24 －35．

［4］汪思偉．虛位移原理與平衡概念［J］．重慶交通學(xué)院學(xué)報(bào)，1983，5(2):111 －115．

［5］梅鳳翔．關(guān)于虛位移與虛位移原理—分析力學(xué)扎記之一［J］．力學(xué)與實(shí)踐，1999，21(4):69 －70．

［6］鐘奉俄．平衡和虛位移原理［J］．西安礦業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)，1983(1):30－33．

［7］汪家訸．談虛位移原理［J］．力學(xué)與實(shí)踐，1984，6(1):49－50．