韓雪英

(東北電力大學(xué)理學(xué)院 吉林 吉林 132012)

陳克梅 王 影

(吉林市實(shí)驗(yàn)中學(xué) 吉林 吉林 132011)

平衡點(diǎn)是指合力為零的點(diǎn)，在非勻變速運(yùn)動(dòng)中，加速度、速度都在變化，常出現(xiàn)這樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即加速度為零的點(diǎn)對(duì)應(yīng)速度的最大值，抓住這個(gè)隱含條件是解決問(wèn)題的突破口.下面給出這一隱含已知條件在具體問(wèn)題中的應(yīng)用.

1 在彈簧類(lèi)問(wèn)題中的應(yīng)用

運(yùn)動(dòng)過(guò)程中由于彈力是變力，引起加速度的變化，物體做非勻變速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)加速度a=0時(shí)，對(duì)應(yīng)速度v有極大值.解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵在于抓住最大速度對(duì)應(yīng)的平衡點(diǎn).

圖1

【例1】如圖1所示，自由下落的小球，從它接觸豎直放置的彈簧開(kāi)始，到彈簧壓縮到最大限度的過(guò)程中，小球的速度和加速度的變化情況是

A.加速度變大，速度變小

B.加速度變小，速度變大

C.加速度先變小后變大，速度先變大后變小

D.加速度先變小后變大，速度先變小后變大

解析：小球接觸彈簧后，受到豎直向下的重力和豎直向上的彈力，其中重力為恒力.在接觸的開(kāi)始階段，由于彈簧的形變較小，重力大于彈力，合力向下，小球的加速度向下，由于加速度的方向跟速度的方向相同，因此,小球的速度不斷變大.在這一過(guò)程中隨著彈力的不斷增大，合力逐漸減小，小球的加速度逐漸減小.當(dāng)彈力增大到和重力相等時(shí)，小球所受合外力為零，加速度等于零，此時(shí)小球具有向下的最大速度.由于慣性小球仍向下運(yùn)動(dòng)，繼續(xù)壓縮彈簧到最大限度的過(guò)程中，彈力大于重力，合外力向上且逐漸變大，加速度方向與速度方向相反，小球做加速度逐漸增大的減速運(yùn)動(dòng).所以，選項(xiàng)C正確.

【例2】如圖2所示,一條輕質(zhì)彈簧左端固定,右端系一小物塊,物塊與水平面各處動(dòng)摩擦因數(shù)相同,彈簧無(wú)形變時(shí),物塊位于O點(diǎn).今先后分別把物塊拉到P1和P2點(diǎn)由靜止釋放,物塊都能運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)左方,設(shè)兩次運(yùn)動(dòng)過(guò)程中物塊速度最大的位置分別為Q1和Q2點(diǎn),則Q1和Q2點(diǎn)

A.都在O處

B.都在O處右方,且Q1離O點(diǎn)近

C.都在O處右方,且Q2離O點(diǎn)近

D.都在O處右方,且Q1和Q2在同一位置

圖2

解析：最大速度對(duì)應(yīng)加速度a=0的點(diǎn)，找到此點(diǎn)為關(guān)鍵.物塊向左運(yùn)動(dòng)，摩擦力向右，所以平衡點(diǎn)處彈力向左，彈簧處于拉伸狀態(tài)，平衡點(diǎn)應(yīng)在O點(diǎn)的右側(cè)，再根據(jù)

κx=f

即

所以,平衡點(diǎn)的位置不會(huì)因P點(diǎn)的不同而不同.答案為選項(xiàng)D.

這類(lèi)題還可以與能量問(wèn)題及圖像問(wèn)題結(jié)合，如將彈簧換成蹦極帶或蹦蹦床.但解題的關(guān)鍵點(diǎn)都在于抓住最大速度對(duì)應(yīng)平衡點(diǎn)這一條件.

【例3】如圖3(a)所示，質(zhì)量不計(jì)的彈簧豎直固定在水平面上，t=0時(shí)刻，將一金屬小球從彈簧正上方某一高度處由靜止釋放，小球落到彈簧上壓縮彈簧到最低點(diǎn)，然后又被彈起離開(kāi)彈簧，上升到一定高度后再下落，如此反復(fù).通過(guò)安裝在彈簧下端的壓力傳感器，測(cè)出這一過(guò)程彈簧的彈力F隨時(shí)間t變化的圖像如圖3(b)所示，則

A．t1時(shí)刻小球動(dòng)能最大

B．t2時(shí)刻小球動(dòng)能最大

C．t2～t3這段時(shí)間內(nèi)，小球的動(dòng)能先增加后減少

D．t2～t3這段時(shí)間內(nèi)，小球增加的動(dòng)能等于彈簧減少的彈性勢(shì)能

圖3

解析：t1時(shí)刻小球剛與彈簧接觸，之后做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)；t2時(shí)刻為彈簧形變量最大的時(shí)刻，速度v=0，所以動(dòng)能為零，對(duì)應(yīng)的彈性勢(shì)能最大，重力勢(shì)能最小.在t1～t2之間存在重力和彈力相等的平衡點(diǎn)，那時(shí)的速度最大，動(dòng)能最大.而t2～t3之間是t1～t2的逆過(guò)程，動(dòng)能先增大后減小，彈性勢(shì)能一直減小，重力勢(shì)能一直增大.所以答案為選項(xiàng)C.

2 在磁場(chǎng)力問(wèn)題中的應(yīng)用

磁場(chǎng)力包括洛倫茲力和安培力，這兩種力都可能與速度有關(guān)，洛倫茲力的大小為

F洛=qvB

因切割磁場(chǎng)而產(chǎn)生的安培力大小為

磁場(chǎng)力與速度有關(guān)，變速運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，與速度相關(guān)的力會(huì)發(fā)生變化，進(jìn)而導(dǎo)致加速度的變化，物體做非勻變速運(yùn)動(dòng).當(dāng)物體從靜止開(kāi)始做加速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，會(huì)存在這樣的隱含條件:(1)當(dāng)速度v=0時(shí)，常對(duì)應(yīng)加速度a的最大值；(2)當(dāng)物體運(yùn)動(dòng)到平衡點(diǎn)時(shí)，加速度a=0，對(duì)應(yīng)速度的最大值.物體達(dá)到最大速度后，力不再變化，從而與力相關(guān)的速度不再變化，之后物體將做勻速直線運(yùn)動(dòng).這也多了一種利用力求速度的方法.

【例4】如圖4所示，套在絕緣棒上的小球，質(zhì)量為m，帶有q的正電荷，小球在棒上可以自由滑動(dòng)，直棒放在互相垂直且沿水平方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)E和勻強(qiáng)磁場(chǎng)B之中，小球和直棒之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，求：小球由靜止沿棒豎直下落的最大加速度和最大速度(設(shè)小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中電荷量不變).

圖4

解析：求加速度時(shí)，對(duì)小球做受力分析如圖5.

圖5

開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)v=0，洛倫茲力為零，對(duì)應(yīng)的加速度尚未達(dá)到最大；隨著速度的增大，洛倫茲力在增大，摩擦力f在減小，加速度隨之增大，當(dāng)f=0時(shí)，彈力N=0，即qE=qvB，加速度達(dá)到最大值a=g；之后qE

N+qE=qvB

豎直方向有

f=mg

f=μN(yùn)=μ(qvB-qE)

求得

物體將以最大速度vm做勻速直線運(yùn)動(dòng).

【例5】如圖6所示，MN和PQ是兩根足夠長(zhǎng)且固定的平行光滑導(dǎo)軌，兩導(dǎo)軌間距為L(zhǎng)，導(dǎo)軌平面與水平面的夾角為θ.在整個(gè)導(dǎo)軌平面內(nèi)部都有垂直于導(dǎo)軌平面斜向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B.在導(dǎo)軌的MP端連有一個(gè)阻值為R的電阻，一根垂直于導(dǎo)軌放置，質(zhì)量為m,不計(jì)電阻的金屬棒ab在距NQ端為s的地方無(wú)初速度沿導(dǎo)軌滑下，求：下滑過(guò)程中的最大加速度和最大速度.

圖6

解析：金屬棒到達(dá)底端前經(jīng)歷了加速和勻速運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)體ab因切割磁感線而產(chǎn)生感應(yīng)電流，該電流受到的安培力為

加速度為

ma=mgsinθ-F

當(dāng)v=0時(shí)，安培力F=0，加速度最大為

a=gsinθ

當(dāng)a=0時(shí)

速度有最大值

3 在阻力問(wèn)題中的應(yīng)用

物體在空氣、液體或固體中運(yùn)動(dòng)，阻力與速度相關(guān)，速度越大，阻力受速度的影響越大，一般會(huì)出現(xiàn)阻力與速度的一次方、二次方或三次方成正比的情況，即f=kv，f=kv2或f=kv3.當(dāng)物體由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，有兩個(gè)特殊位置，一是當(dāng)速度v=0時(shí)，常對(duì)應(yīng)加速度a的最大值；二是當(dāng)物體運(yùn)動(dòng)到平衡點(diǎn)時(shí)，加速度a=0，對(duì)應(yīng)速度的最大值.物體達(dá)到最大速度后，力不再變化，從而與力相關(guān)的速度不再變化，之后物體將做勻速直線運(yùn)動(dòng).此速度常被稱(chēng)為收尾速度.

【例6】跳傘運(yùn)動(dòng)員從跳傘塔上跳下，當(dāng)降落傘全部打開(kāi)時(shí)，傘和運(yùn)動(dòng)員所受的空氣阻力大小跟下落速度的平方成正比，即f=kv2.已知比例系數(shù)k=20 N·s2/m2.運(yùn)動(dòng)員和傘的總質(zhì)量m=72 kg，設(shè)跳傘塔足夠高且運(yùn)動(dòng)員跳離塔后即刻打開(kāi)傘，取g=10 m/s2，求：

(1)跳傘員的下落速度達(dá)到3 m/s時(shí)，其加速度多大；

(2)跳傘員最后下落速度多大.

解析：(1)對(duì)運(yùn)動(dòng)員受力分析，根據(jù)牛頓第二定律，可得

ma=mg-kv2

將v=3 m/s代入，加速度為

a=7.5 m/s2

(2)當(dāng)a=0時(shí)

速度有最大值

代入數(shù)據(jù)得

vm=6 m/s

之后,以此速度做勻速直線運(yùn)動(dòng).

4 在圓周運(yùn)動(dòng)中的應(yīng)用

物體在做圓周運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,任何時(shí)刻都處于非平衡態(tài).某一圓周運(yùn)動(dòng)速度的最大值位于平衡點(diǎn)處，平衡點(diǎn)即使物體靜止的合外力為零的點(diǎn).而速度最小值位于速度最大值對(duì)應(yīng)的直徑的對(duì)側(cè)端點(diǎn)處，并且速度最小值點(diǎn)恰是做圓周運(yùn)動(dòng)的物體最難通過(guò)的點(diǎn)，即物體在這點(diǎn)最容易脫離圓周運(yùn)動(dòng)軌道.這正是實(shí)際生活中圓周運(yùn)動(dòng)最應(yīng)注意的問(wèn)題，當(dāng)然，也是物理考題中的易考點(diǎn).解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是做好場(chǎng)力分析，找到平衡位置，根據(jù)具體情況靈活應(yīng)對(duì).

圖7

圖8

解析：小球所受的重力和電場(chǎng)力都為恒力，故可將此二力等效為一個(gè)恒力F，如圖8所示.可知F=1.25mg，方向與豎直方向左偏下α=37°，設(shè)P點(diǎn)為

平衡點(diǎn)，則P點(diǎn)等效力F與電荷所受的彈力N等大反向，其直徑所對(duì)端點(diǎn)D為速度最小值點(diǎn)，是能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)最難通過(guò)的點(diǎn)，若恰好能通過(guò)D點(diǎn)，即達(dá)到D點(diǎn)時(shí)球與環(huán)的彈力恰好為零.由圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)得

再由動(dòng)能定理有

代入數(shù)據(jù)得

h=17.5R

物理題中經(jīng)常會(huì)有隱含的已知條件，題中的隱含已知條件可謂“題眼”，是破譯解題密碼的關(guān)鍵所在.若能抓住題眼，便會(huì)輕松解題.首先，要學(xué)會(huì)找題眼；其次，通過(guò)情境分析能將題眼轉(zhuǎn)化成物理?xiàng)l件；再次，引出相關(guān)的物理公式,最終完成解題目標(biāo).上述的平衡點(diǎn)對(duì)應(yīng)最大速度就是特點(diǎn)鮮明的一種隱含條件，利用平衡點(diǎn)處合力為零，列出平衡方程即可解題；或根據(jù)具體情況抓住其規(guī)律，像圓周運(yùn)動(dòng)抓住的是平衡點(diǎn)對(duì)應(yīng)直徑的對(duì)側(cè)端點(diǎn)為最難通過(guò)點(diǎn)，經(jīng)常是先求出此點(diǎn)的最小速度，再進(jìn)一步解題.尋找規(guī)律一定要考慮實(shí)際背景，既扎實(shí)又要學(xué)會(huì)靈活，以不變的規(guī)律應(yīng)萬(wàn)變的題設(shè).