孟魯江 魏致遠(yuǎn)

(浙江諸暨榮懷學(xué)校 浙江 紹興 311800)

1 問題的提出

為了使中學(xué)生能夠解決一些比較復(fù)雜的問題，編題者往往會設(shè)置一些理想化的電場或磁場邊界，但如果深究，就會發(fā)現(xiàn)有的理想邊界導(dǎo)致了矛盾的結(jié)果，應(yīng)引起我們注意并弄清楚產(chǎn)生謬誤的根源.

首先，我們來看一個貌似有理的永動機(jī)模型.如圖1所示,勻強(qiáng)電場有一個理想的與電場斜交的邊界.帶電粒子以某一個初速度進(jìn)入電場，在電場力的作用下做加速曲線運(yùn)動，后被粒子收集器規(guī)范進(jìn)入磁場，繞半個圓周后通過渦輪機(jī)做功，再進(jìn)入電場做加速運(yùn)動，達(dá)到周而復(fù)始的目的.

圖1

永動機(jī)被能量守恒定律證明為不可能，顯見此處的問題出在理想化的電場邊界上，這種與電場斜交的邊界是相當(dāng)“危險”的.

2 不爭的現(xiàn)實(shí)

這種理想化的危險邊界不是空穴來風(fēng)，也并非個例.請看下面的高考試題.

【例1】(2011年高考全國理綜卷第25題)如圖2，與水平面成45°角的平面MN將空間分成Ⅰ和Ⅱ兩個區(qū)域.一質(zhì)量為m,電荷量為q(q>0)的粒子以速度v0從平面MN上的P0點(diǎn)水平右射入Ⅰ區(qū).粒子在Ⅰ區(qū)運(yùn)動時，只受到大小不變、方向豎直向下的電場作用，電場強(qiáng)度大小為E；在Ⅱ區(qū)運(yùn)動時，只受到勻強(qiáng)磁場的作用，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向里.求粒子首次從Ⅱ區(qū)離開時到出發(fā)點(diǎn)P0的距離.粒子的重力可以忽略.

圖2

我們把此題的解答復(fù)制如圖3，并在粒子進(jìn)入磁場點(diǎn)P1和出磁場點(diǎn)P2添畫了兩條等勢線(面)，可以發(fā)現(xiàn)此過程中沒有任何外力對粒子做功，但粒子的電勢能卻無緣無故地改變了.如果粒子從P2點(diǎn)又進(jìn)入電場，后又進(jìn)入磁場，那么，這種“無緣無故”的電勢能改變將一再重演.

圖3

這是個例嗎？怕不盡然，隨手再拿一個例題.

【例2】(五所一級重點(diǎn)中學(xué)高三年級2010年4月份聯(lián)考第23題)如圖4所示(黑色部分)，整個xOy平面存在著垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場，其間有一寬度為d的斜向的,上下邊界平行的勻強(qiáng)電場區(qū)域.電場方向和邊界平行，且上邊界過原點(diǎn)O.一質(zhì)量為m，帶電荷量為+q的粒子(重力不計)，以初速度v0從(0，L)點(diǎn)垂直y軸進(jìn)入第一象限，恰垂直電場邊界進(jìn)入電場和磁場復(fù)合場區(qū)域，而且沿直線穿過該區(qū)域.之后粒子又經(jīng)過磁場和復(fù)合場的偏轉(zhuǎn)后，恰在原點(diǎn)O第二次穿越x軸.

(1)求磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大?。?/p>

(2)求粒子第二次從原點(diǎn)O穿越x軸時的速度；

(3)比較d與L的大小，并說明理由.

圖4

本題給帶電粒子設(shè)計的運(yùn)動途徑應(yīng)該如圖中虛線所示，似乎求解也沒有什么問題，但大家有沒有注意到(也確有部分考生在考場里就被這個問題攪得頭昏腦脹),帶電粒子從進(jìn)入電場和磁場復(fù)合處到再次進(jìn)入該區(qū)域的過程中，電場力和磁場力都沒有對它做功，動能沒有變化，但它的電勢能也“無緣無故”地改變了，而且可以推定增加了2qEL(其中E代表電場強(qiáng)度)，即電場力要做功 -2qEL.

這些問題都出在過度理想化的電場、磁場界面.

3 關(guān)注更普遍的問題

理想化是中學(xué)物理教和學(xué)中處理問題的一種重要手段，沒有它真的寸步難行，但一旦理想化成癮，事情就走向另一個極端.比如,圖1所反映的電場線，實(shí)際上應(yīng)該與端面垂直，現(xiàn)在卻任意斜交；圖4中的電場，在那么長的距離上，絲毫不顧及邊緣效應(yīng)，導(dǎo)致極不合理的隱性結(jié)果出現(xiàn).

類似地，兩個不同的勻強(qiáng)電場或磁場是不是可以用一個理想的界面截然分開呢？我們來看一看圖5所表示的情況.

兩個勻強(qiáng)電場，強(qiáng)度不同，如圖5(a).若可以用理想界面截然分開而并存，那么，按虛線途徑移送電荷一圈，電場力做功將不為零，這顯然是不可能的.

圖5

圖5(b)的勻強(qiáng)磁場，強(qiáng)度不同.如果可以用理想界面截然分開，那么,帶電粒子做圖示軌跡運(yùn)動, 現(xiàn)對比一下粒子在左右磁場中的一些數(shù)據(jù),如表1所示.

表1粒子在有理想化邊界的兩個勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動時各物理量的比較

磁場線速度動能圓運(yùn)動半徑對圓心轉(zhuǎn)動慣量角速度以轉(zhuǎn)動計動能角動量Bv12mv2rmr2ω12mr2ω2mr2ωnBv12mv2rnmr2n2nω12mr2ω2mr2ωn

我們往往只注意到由于洛倫茲力不做功，所以，它在兩側(cè)的線速度大小不變，符合功能關(guān)系；但沒有注意到粒子的圓運(yùn)動半徑、周期變了，其角速度、角動量也變了，而粒子運(yùn)動過程中,受到的磁場力總是指向圓心屬于有心力，角動量應(yīng)該是守恒的.同樣，如果改換思路滿足角動量守恒，則功能關(guān)系將被破壞，這是魚和熊掌，不可兼得.所以,這樣的磁場界面分隔兩個勻強(qiáng)磁場，使之并存也是不可能的.從實(shí)際情況出發(fā)考慮，兩個磁場靠近，應(yīng)該有一個交融疊加的“城鄉(xiāng)結(jié)合部”，而不可能有一道“柏林墻”把它們截然分開成兩個不同的區(qū)域.

問題是這種理想化的、隨意性極大的磁場界面，在考題和訓(xùn)練題中見得太多了，完全達(dá)到見怪不怪的程度，坦然面對，從容求解.至少可以說它已經(jīng)“登堂”——進(jìn)教輔，做練習(xí)題，進(jìn)高考卷；只是尚未“入室”——還沒有登陸教材.

以上分析希望引起大家的注意、討論并提出相應(yīng)的應(yīng)對舉措.