程獻(xiàn)禮，牛翠波

(1.南開大學(xué) 哲學(xué)院，天津 300071；2.華南師范大學(xué) 政治與行政學(xué)院，廣東 廣州 510631)

一、對(duì)貝葉斯原理的主觀性質(zhì)疑

“主觀貝葉斯主義理論”，有時(shí)也被稱為“歸納推理”或“歸納邏輯”，之所以稱之為“主觀的”，是因在貝葉斯定理運(yùn)算中，它沒(méi)有對(duì)先驗(yàn)概率的形式強(qiáng)加任何約束。因而貝葉斯陣營(yíng)和非貝葉斯陣營(yíng)的許多學(xué)者都認(rèn)為，定理中的這種無(wú)約束不足以為歸納推理提供一個(gè)客觀解釋的目標(biāo)假定，由于這些先驗(yàn)本身是“主觀的”，而這種“主觀性”被認(rèn)為是與科學(xué)理念的客觀性相悖的，因而也是站不住腳的。

筆者認(rèn)為上述觀點(diǎn)值得商榷。首先，存在于所有科學(xué)評(píng)估中的某種主觀性質(zhì)，是相關(guān)原理的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)，即，其使用是預(yù)先明確表示的而沒(méi)有隱諱該觀點(diǎn)。其次，該原理中實(shí)際掌握的是一套非?？陀^的“前提”，即先驗(yàn)概率的歸納推理邏輯。該邏輯與貝葉斯定理共同作為推理機(jī)，完全類似于作為“推理機(jī)”的演繹邏輯：篩選前提，產(chǎn)生有效的推論(即后驗(yàn)分布)。De Finetti(1972)指出：

根據(jù)該學(xué)說(shuō)，我們努力做出盡可能不偏袒反映明智的判斷，它表現(xiàn)了它們?nèi)绾斡诤翁幐蓴_和暴露判斷之間的可能不一致。“演繹”邏輯中存在啟發(fā)性的分析使人確信：所接受的某些“確定”主觀意見(jiàn)，蘊(yùn)涵了其他意見(jiàn)的確定性，而主觀概率理論，同樣與不確定意見(jiàn)相關(guān)[1]。

但是這并不能證明不存在其他可接受的約束，實(shí)質(zhì)上，這可能削弱或在某種情形下拒絕選擇先驗(yàn)分布的自由度。的確，貝葉斯理論發(fā)展歷程，在很大程度上是嘗試尋求這類約束的過(guò)程。

本文將對(duì)貝葉斯推理中主觀性質(zhì)疑的無(wú)差別原理和不變性原理進(jìn)行探討。

二、無(wú)差別原則

凱恩斯所謂的“無(wú)差別原理”(The Principle of Indifference)[2]，在伯努利那里被稱為“不充足理由律”(The Principle of Non-sufficient Reason)，有時(shí)也稱之為“等概(率)原理”，是一種具有高度似合理性的對(duì)稱原理，規(guī)定應(yīng)通過(guò)相關(guān)對(duì)稱的先驗(yàn)概率分布，如，擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面和反面出現(xiàn)的概率均為1/2，來(lái)考察劃分成員間的對(duì)稱關(guān)系。更準(zhǔn)確地說(shuō)，等分可能空間應(yīng)該獲得相對(duì)于零狀態(tài)背景知識(shí)的同等概率。它不僅在直觀上具有說(shuō)服力，而且還具有極其重要的方法論影響力。托馬斯·貝葉斯采用這條原則首次證明了統(tǒng)計(jì)推理中一個(gè)重要結(jié)論——所謂伯努利定理的“反演”[3]。

(一)J·伯努利的證明嘗試

伯努利使用現(xiàn)代符號(hào)證明了由0和1的n次序列s組成的可能空間Ω，規(guī)定，其事件集合包含形式“在第i個(gè)指數(shù)上存在1”的所有事件(也能在隨機(jī)變量語(yǔ)言中通過(guò)公式Xi-1進(jìn)行描述，其中Xi是Ω上定義的n個(gè){0，1}值隨機(jī)變量)，而對(duì)“Xi=1”類事件指派客觀概率的概率函數(shù)，與獨(dú)立于i的概率p具有等概率，且事件“X1=x1”，…，“Xn=xn”，x=0或1，均是獨(dú)立的。其結(jié)論是：任意小的ε>0(直至n)的相對(duì)頻率(n-1)∑Xi與p差的絕對(duì)值的概率小于ε，隨著n趨向無(wú)窮大，ε趨向于1[4]。

有些學(xué)者(包括伯努利本人)，希望把這種結(jié)果解釋為對(duì)推理的許可，對(duì)于足夠大的n，p接近觀測(cè)到的相對(duì)頻率，概率是非常大的，但這類許可的推論并不存在。伯努利定理通過(guò)真值參數(shù)p刻畫概率分布的結(jié)果，因此p本身不是一個(gè)概率所依賴的隨機(jī)變量。為了“反演”伯努利定理，要求定義更寬泛的概率空間Ω′，Ω′空間中命題類C，以及C上的概率函數(shù)P，p是一個(gè)隨機(jī)變量，“p=r±δ”是C的一個(gè)事件。

(二)貝葉斯的證明嘗試

伯努利定理的結(jié)論恰好是貝葉斯的證明嘗試，并進(jìn)一步給出了統(tǒng)計(jì)假說(shuō)的后驗(yàn)分布。此處，p的取值被看成是關(guān)于如何實(shí)施該演算的一個(gè)主要概述的隨機(jī)變量。實(shí)際上，它是似然性由函數(shù)nCrpr(1-p)n-r規(guī)定的貝葉斯定理的直接運(yùn)用；而由無(wú)差別原則規(guī)定的p的先驗(yàn)概率，則是單位區(qū)間[0，1]上密度為1的均勻分布。故根據(jù)貝葉斯定理，該條件概率密度與f(p|r)=nCrpr(1-p)n-r成比例，但是由于f(p|r)是一個(gè)連續(xù)概率密度，它必須取整數(shù)1，因此，我們必然得出：

該密度是參數(shù)為r和n-r的β密度，明顯趨近r/n的均值r+1/n+2.如圖1所示。

圖1 β分布

該方差為(r+1)(n-r+1)/(n+2)2(n+3)；隨著n的增大而接近于0，后驗(yàn)概率p是位于r/n周圍并趨向于0的任意小區(qū)間。貝葉斯似乎解決了伯努利定理面臨的問(wèn)題：表明大樣本p中，不僅包括Xi的可能結(jié)果，還包括二項(xiàng)式概率的可能值的擴(kuò)展概率空間的隨機(jī)變量，現(xiàn)在都顯然近似等值于觀測(cè)到的隨機(jī)變量，是非常有可能的。應(yīng)指出，這并非不是分析計(jì)算的、貝葉斯特有的推理方法，而是采用了幾何構(gòu)建的牛頓原理的方法。

(三)討論

貝葉斯后驗(yàn)分布自身隱含著另一個(gè)假定前提——伯努利過(guò)程，但由于伯努利本人也假定了同樣的情況，因此指責(zé)貝葉斯提出附加的模擬假定(modelling assumptions)是有失公允的。根據(jù)不充分理由原理，運(yùn)用無(wú)差別原則來(lái)確定p的先驗(yàn)分布(伯努利本人也贊同這條原則)是一個(gè)重大創(chuàng)新。無(wú)論如何，在這個(gè)事例，以及在一個(gè)有界區(qū)間中取值的假定參數(shù)的任意其他事例中，無(wú)差別原則產(chǎn)生了一個(gè)完全確定的后驗(yàn)分布(當(dāng)然還有一些其他分布)。

考察概率P(Xn-1=1/∑Xi=r)，其中這個(gè)和在1至n之間。根據(jù)條件概率法則，它等于比例P(Xi=r+1)/P(1/∑Xi=r)，這里第一個(gè)和等于n+1，第二個(gè)和等于n.運(yùn)用上文中的推理，該比值等于：

(1)

它等于r+1/n+2.公式(1)即為“逐次法則”(Rule of Succession)。隨著n增大，只要先前n次觀測(cè)中有r次接近觀察的相對(duì)頻率r/n，下一觀測(cè)的條件概率就將為1。故，不僅要調(diào)整下次拋擲正面朝上的信念度以適應(yīng)觀測(cè)到的正面朝上的相對(duì)頻率，而且該結(jié)果還指出應(yīng)如何調(diào)整。逐次法則同樣很少投入到日常生活的應(yīng)用之中。凱恩斯論述道：

邏輯方法中只有這個(gè)規(guī)則可以發(fā)揮如此驚人的作用。因?yàn)樗鼜娜徊恢凶C明了上帝的存在，并且用數(shù)值精度測(cè)量了太陽(yáng)明天升起的概率[5]。

該法則作為普通枚舉歸納的辯護(hù)，的確是根據(jù)過(guò)去已觀測(cè)頻率來(lái)調(diào)整任意未來(lái)事件的置信度的。在休謨看來(lái)，所有從過(guò)去觀測(cè)的到將來(lái)預(yù)測(cè)的“可能論證”，都必然是循環(huán)的，這些論證都預(yù)設(shè)了它們打算要證明的論證內(nèi)容?？墒乔『孟喾?，循環(huán)論證完全缺乏可替代論證之間的保證，而無(wú)差別原則更像是休謨懷疑論的答案。該問(wèn)題在若干年后，豪森對(duì)休謨無(wú)法解決的歸納問(wèn)題給出了全面論證[6]。

(四)辯護(hù)及其質(zhì)疑

伴隨著漸漲的質(zhì)疑聲及無(wú)差別原則所產(chǎn)生出明顯相悖的結(jié)論，問(wèn)題最終還是出現(xiàn)了。這里使用形式邏輯語(yǔ)言表述的現(xiàn)代例證在于表明，該潛在問(wèn)題并非是由不精確定義產(chǎn)生的。用常見(jiàn)的現(xiàn)代邏輯符號(hào)表示的兩種語(yǔ)言L1和L2，且包括等號(hào)(=)，通常，該符號(hào)在兩種語(yǔ)言中均作為一個(gè)邏輯常項(xiàng)存在。設(shè)僅有一個(gè)謂詞符號(hào)Q的語(yǔ)言L1和L2，其差異在于，L1具有分別以符號(hào)a和b表示的兩個(gè)個(gè)體名詞，而L2則沒(méi)有?，F(xiàn)在這兩個(gè)命題顯然能夠通過(guò)各自語(yǔ)言中相同的形式命題進(jìn)行符號(hào)化處理。

S1：至少存在一個(gè)具有Q的個(gè)體

S2：恰好存在兩個(gè)個(gè)體

它們分別簡(jiǎn)單地表示為：

對(duì)該事例的標(biāo)準(zhǔn)解釋為：作為任何無(wú)差別原則的應(yīng)用基礎(chǔ)，應(yīng)選做更精細(xì)的區(qū)分的L1，而非粗糙的L2。然而，由于某種原因，這種辯護(hù)并未獲得成功。首先，會(huì)驚奇地發(fā)現(xiàn)，一個(gè)具有個(gè)體名詞的語(yǔ)言必然比沒(méi)有個(gè)體名詞的做了更為精確的區(qū)分，這種觀點(diǎn)顯然是不準(zhǔn)確的；其次，這種異議規(guī)避了為什么應(yīng)該選擇更細(xì)劃分的這一個(gè)問(wèn)題；最后，反對(duì)意見(jiàn)聲音最大的是，無(wú)差別原則為同等精細(xì)劃分提供了不同的答案。

對(duì)于大樣本，先驗(yàn)分布形式都不是特別重要；而對(duì)于隨機(jī)大樣本，參數(shù)的后驗(yàn)分布通常會(huì)在該參數(shù)最大似然估計(jì)的一個(gè)小區(qū)間內(nèi)聚合，與先驗(yàn)分布的恰當(dāng)形式無(wú)關(guān)。即便沒(méi)有假定的均勻先驗(yàn)分布，貝葉斯二項(xiàng)式參數(shù)p的后驗(yàn)分布也會(huì)聚集在已觀測(cè)相對(duì)頻率(p的最大似然估計(jì)量)的小區(qū)間內(nèi)。假如，已知結(jié)果是不確定的(非已知的)，那么，貝葉斯對(duì)使用無(wú)差別原則(雖然他并未如此稱呼)的關(guān)切度就會(huì)降低。對(duì)于大多數(shù)問(wèn)題，能享有大量數(shù)據(jù)，先驗(yàn)分布的形式會(huì)影響后驗(yàn)分布的形式。不管樣本范圍多大，貝葉斯都需要一個(gè)無(wú)偏見(jiàn)、無(wú)信息的先驗(yàn)。

無(wú)差別原則是一條對(duì)稱性原則，它認(rèn)為邏輯對(duì)稱性應(yīng)在無(wú)任何差異信息的前提下，反映在a先驗(yàn)概率的均勻分布之中。問(wèn)題在連續(xù)空間中，對(duì)稱性需要體現(xiàn)在均勻分布中，這就是邏輯的使命。無(wú)差別原則給予這個(gè)原理一種假定的身份，但歷史上貝葉斯原理則以無(wú)差別原則為依據(jù)，并把它當(dāng)做歸納推理的一個(gè)客觀原理。沒(méi)有這種授予，先驗(yàn)概率在后驗(yàn)分布演算中實(shí)際上是作為待定參數(shù)出現(xiàn)的。

三、貝葉斯主義對(duì)不變性的考察

不變性原則是具有直觀吸引力的一種決策原理，即便是在經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)中也經(jīng)常使用。其重要性不在于其自身，而在于它與包括費(fèi)舍的“置信推斷”[7]和Fraser的“結(jié)構(gòu)推斷”[8]等統(tǒng)計(jì)學(xué)提出的其他方法關(guān)系密切。以不變性方法為基礎(chǔ)，產(chǎn)生了兩個(gè)直觀推論：有理不變性原則和不變性原理。前者是指在一個(gè)決策問(wèn)題中，所采取的行為不應(yīng)與所用的測(cè)量手段或其他隨意發(fā)生的類似偶然事件有關(guān)；后者是指如果兩個(gè)決策問(wèn)題具有相同的形式結(jié)構(gòu)，則在每一個(gè)問(wèn)題中都應(yīng)該采用同一個(gè)決策法則。對(duì)不變性的研究在選擇合理的無(wú)信息先驗(yàn)時(shí)起著重要的作用，且以更多的觀點(diǎn)來(lái)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)問(wèn)題無(wú)疑是具有建設(shè)性的。

(一)Harold Jeffreys的證明方案

p(θ)=|dφ/dθ|p(φ)，

所以，規(guī)定指派先驗(yàn)密度的法則根據(jù)：p(θ)=Φ(θ).

對(duì)于某個(gè)函數(shù)項(xiàng)Φ(θ)，它是共變的，僅當(dāng)它滿足這個(gè)變換式的條件：

p(θ)=|dφ/dθ|Φ(φ).

(二)不變性的修正方案

盡管獨(dú)立給出的一些先驗(yàn)分布受到極大的關(guān)注，產(chǎn)生的若干先驗(yàn)分布的Jeffreys規(guī)則不是唯一的共變法則，仍然存在一些諸如期望值的存在、該法則產(chǎn)生的先驗(yàn)分布之間都是所謂的不當(dāng)分布(improper distribution)等技術(shù)性問(wèn)題。不當(dāng)分布在可能概率誤差內(nèi)(σ1的先驗(yàn)比例項(xiàng)近似地由柯西分布對(duì)數(shù)規(guī)定)，或通常只是作為易得的近似恰當(dāng)分布而被引入的，只需在計(jì)算中進(jìn)行合理關(guān)注，以使得計(jì)算保持總體上的一致。然而，與標(biāo)準(zhǔn)概率公理相矛盾可能說(shuō)明該先驗(yàn)是演繹得出的，Jeffreys法則是一個(gè)特設(shè)性方法。

數(shù)學(xué)家Alfred Renyí和哲學(xué)家卡爾·波普爾(Karl Popper)在1945年至1955年間幾乎各自同時(shí)提出：以原始條件概率函數(shù)的概率演算為基礎(chǔ)，把條件概率當(dāng)作初始概率，并修正適合不恰當(dāng)分布原理。任何人，只要他們規(guī)定條件概率是有限的(即能夠使它們正態(tài)化)，原則上能夠在這里得到無(wú)界累積分布函數(shù)。無(wú)需置疑，這個(gè)發(fā)展成果具有相當(dāng)大的吸引力，只是波普爾和Renyí的公理化方法一直沒(méi)有被廣泛采納(或許更有理由采用Renyí的系統(tǒng)，這因?yàn)樗跀?shù)學(xué)上最接近于標(biāo)準(zhǔn)的Kolmogorov原理，而且Renyí能夠證明其條件函數(shù)表示為有限測(cè)度商所需的條件，也就是如何在標(biāo)準(zhǔn)形式體系中引進(jìn)這些商)[10]。

雖然有多種控制不恰當(dāng)分布的可接受方案，但采納Jeffreys法則或其他不變法則的合理性仍未得到解決。任何人都會(huì)相信，選擇任一法則，必須根據(jù)邏輯解釋以證明這種選擇的合理性，我們主張將這種選擇作為公平賠率的一般條件加以證明。

無(wú)差別原則似乎具有這種類型的相關(guān)證明，但事實(shí)上該證明是前后矛盾的。Renyí本人給予了Jeffreys法則唯一的證明：在變換參數(shù)時(shí)缺少可論證的一致性，它能夠表達(dá)獨(dú)立可得的某些參數(shù)先驗(yàn)，特別是，滿足不恰當(dāng)分布的可接受性——分離地對(duì)于一個(gè)正態(tài)平均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差(不是聯(lián)合地，因?yàn)槁?lián)合密度與σ2成比例，它不僅是其平均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差的結(jié)果)，以及在較小范圍內(nèi)的一個(gè)二項(xiàng)式概率[9]。但是在其他各個(gè)方面，由于不變性屬性缺少唯一性，它似乎是有欠缺的，而且這種態(tài)勢(shì)沒(méi)有得以扭轉(zhuǎn)。

(三)Berger對(duì)不變性的研究

現(xiàn)當(dāng)代貝葉斯主義學(xué)派領(lǐng)軍人物之一美國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家Berger，首先以原子粒子衰變?yōu)槔龑?duì)不變性進(jìn)行了分類，劃分出“有理不變性原則”和“不變性原則”，認(rèn)為在沒(méi)有可用的先驗(yàn)信息的前提下，不變性原則就成為直觀上和實(shí)踐中都具有吸引力的方法，然后系統(tǒng)地闡述了不變性所需的概念和結(jié)構(gòu)及其應(yīng)用，如當(dāng)樣本大于1的統(tǒng)計(jì)問(wèn)題，以及不變性和無(wú)信息先驗(yàn)不變性法則及其容許性。Berger論證了不變性方法和貝葉斯無(wú)信息先驗(yàn)方法實(shí)質(zhì)上是等價(jià)的，且更傾向于后者；并認(rèn)為，對(duì)具有建設(shè)性的不變性研究在選擇合理的無(wú)信息先驗(yàn)時(shí)起著非常有用的作用[11]。

四、結(jié)語(yǔ)

首先，類似的普通觀測(cè)通常也會(huì)削弱對(duì)客觀先驗(yàn)的追求。其次，解釋貝葉斯形式系統(tǒng)最自然的方式在于，該系統(tǒng)只是關(guān)于概率前提導(dǎo)出的概率推論的有效規(guī)則的集合。如果需要更精確的結(jié)論，那么就應(yīng)做出(自己認(rèn)為)更精確的假定，而研究工作的客觀性，則存在于假定所刻畫的結(jié)論的客觀有效性之中。根據(jù)這種觀點(diǎn)，許多人對(duì)“客觀”先驗(yàn)分布的追求不僅是不必要的，而且是不合適的。這個(gè)結(jié)論被上述追求過(guò)程中產(chǎn)生的困境所強(qiáng)化，而且那些難題似乎只能通過(guò)使研究自我推翻的根本主觀決策才可能被解決，甚至那些具有相同背景知識(shí)的人及追隨Jaynes的專家們，仍然可以具有不同的觀點(diǎn)。試圖把多種意見(jiàn)變成單個(gè)統(tǒng)一意見(jiàn)，將被誤解為強(qiáng)求一致的作風(fēng)，將產(chǎn)生不利科學(xué)發(fā)展的推論。最后，拋棄相關(guān)信息，的確是不明智的做法，但這實(shí)際是為一些人所期待的。貝葉斯主義者告訴我們?cè)诤畏N情況下使用參照先驗(yàn)，或者為最簡(jiǎn)單的假說(shuō)提供最高的先驗(yàn)概率；相反，概率公理表征的一致性約束如演繹邏輯的約束一樣，都是嚴(yán)格的、非?？陀^的，而且在一個(gè)有效推理原理中，有效推理不僅和原來(lái)一樣恰當(dāng)，而且還恰到好處。

參考文獻(xiàn)：

[1] Finetti B.de.Probability，Induction，and Statistics[M].New York：Wiley，1972：144.

[2] 章 詹.維特根斯坦的概率理論和“無(wú)差異原則”[D].上海：華東師范大學(xué)，2010:1.

[3] Bayes T.An Essay towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances[J].Philosophical Transactions of the Royal Society，1958(53)：370-418.

[4] Howson C.and Urbach P.Scientific reasoning：the bayesian approach[M].3th edn，La Salle/Chicago：Open Court，1993：39-41.

[5] Keynes J M.A Treatise on probability [M].London：Macmillan，1921：89.

[6] Howson C.Hume’s Problem：Induction and the Justification of Belief[M].Oxford：Clarendon，2000.

[7] Fisher R A.Statistical test [J].Nature，1935(136)：474.

[8] David Brenner and D.A.S.Fraser.On foundations for conditional probability with statistical models-when is a class of functions a function[J].Statistical Papers，1979，20(3)：148-159.

[9] Jeffreys H.Theory of probability[M].Oxford：Clarendon，1961：182-184.

[10] Rényi A.On a New axiomatic theory of probability [J].Acta mathematica academiae scientiarum hungaricae，1955，6(3-4)：292-295.

[11] James O.Berger.統(tǒng)計(jì)決策論及貝葉斯分析:第二版[M].賈乃光，譯.北京：中國(guó)統(tǒng)計(jì)出版社，1998：432-471.