［摘 要］為了對數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，首先要把數(shù)據(jù)表示出來，計(jì)算機(jī)中采用機(jī)器碼表示數(shù)值型數(shù)據(jù)。首先從原碼出發(fā)，分析了計(jì)算過程中出現(xiàn)的問題，引出補(bǔ)碼，并深入剖析了補(bǔ)碼的定義。在計(jì)算補(bǔ)碼的過程中又引出反碼。清晰地展示了三種機(jī)器碼之間的內(nèi)在關(guān)系，對機(jī)器碼概念的理解有一定的幫助。

［關(guān)鍵詞］原碼 補(bǔ)碼 反碼 模

［中圖分類號(hào)］ G623.58 ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A ［文章編號(hào)］ 2095-3437（2012）05-0127-02

一、引言

計(jì)算機(jī)可以看做是一個(gè)數(shù)據(jù)處理機(jī)，這里的數(shù)據(jù)含義很廣，既包括數(shù)值型數(shù)據(jù)，也包括諸如漢字、圖形、符號(hào)、聲音等等非數(shù)值型的數(shù)據(jù)，既然要對這些數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，那么，首先，必須要把這些數(shù)據(jù)表示出來。這里介紹數(shù)值型數(shù)據(jù)在計(jì)算機(jī)當(dāng)中的表示方法，也稱為機(jī)器碼。

二、三種機(jī)器碼

說到數(shù)值型數(shù)據(jù)，我們自然會(huì)想到，有正數(shù)和負(fù)數(shù)之分，比如：+1001， -1100，既然計(jì)算機(jī)采用的是二進(jìn)制，

也就是只有0和1兩種狀態(tài)，那么，正號(hào)和負(fù)號(hào)在計(jì)算機(jī)當(dāng)中如何來表示呢？很顯然，有兩種解決的方法，第一：用0表示正數(shù)，我們把+1001可寫為01001，用1來表示負(fù)數(shù)，把-1100可寫為11100。第二種方法：用1來表示正號(hào)而用0來表示負(fù)號(hào)。當(dāng)把符號(hào)用0和1表示出來之后，也稱為把符號(hào)數(shù)字化之后，還有一個(gè)問題，如果要進(jìn)行加、減、乘除等等運(yùn)算，那么符號(hào)位是否參與運(yùn)算？如果參與運(yùn)算，會(huì)有什么樣的結(jié)果？為了能夠妥善的解決這一系列的問題，就產(chǎn)生了把符號(hào)位和數(shù)值位一起編碼的很多種表示方法，分別為：原碼、補(bǔ)碼、反碼和移碼。

同時(shí)，為了能夠區(qū)別我們平常書寫的帶有正負(fù)號(hào)的數(shù)和符號(hào)數(shù)字化的數(shù)，我們把前者（即帶有正負(fù)號(hào)的數(shù)）稱為真值，用x表示；后者（符號(hào)數(shù)字化之后的數(shù)）稱為機(jī)器碼，用[x]原來表示（或[x]補(bǔ)，[x]反）。為方便描述，下面我們僅以整數(shù)為例。

（一）原碼

整數(shù)原碼的定義如下：

［x］原＝0，x 2n＞x≥02n+x 0≥x＞-2n （1）

其中，x為真值，n為整數(shù)的位數(shù)。

原碼是非常簡單的一種編碼方法，它由兩部分構(gòu)成，符號(hào)位和數(shù)值位。如果是正數(shù)，符號(hào)位用0來表示，如果是負(fù)數(shù)，符號(hào)位用1來表示；數(shù)值部分均為真值x的絕對值。

定義的理解：觀察公式（1），正數(shù)原碼的定義很好理解；負(fù)數(shù)原碼的定義如何理解呢？不難發(fā)現(xiàn)，2n用二進(jìn)制來表示，其形式為：

在此基礎(chǔ)上，加上n位數(shù)的絕對值即得原碼，這與上面的描述（符號(hào)位用1來表示，數(shù)值部分是真值x的絕對值）相吻合。

原碼雖然簡單直觀，但用原碼做加法時(shí)，會(huì)出現(xiàn)如下問題：

從表1中可以看出，如果一個(gè)正數(shù)和一個(gè)負(fù)數(shù)做加法，事實(shí)上，我們會(huì)比較這2個(gè)數(shù)絕對值的大小，然后用絕對值大的數(shù)減去絕對值小的數(shù)，符號(hào)選擇絕對值大的數(shù)的符號(hào)。也就是說，實(shí)際上，我們做的是減法運(yùn)算。那么，能否只做加法運(yùn)算呢，如果可以把減法運(yùn)算都化為加法運(yùn)算，只設(shè)計(jì)加法器就足夠了?；卮鹗强隙ǖ模@要借助補(bǔ)碼來實(shí)現(xiàn)。

（二）補(bǔ)碼

介紹補(bǔ)碼之前，必須先介紹模的概念。

什么是模呢？可以把模理解為一個(gè)容器的容量。比如：我們最常見到的時(shí)鐘，它的容量是12，其模也就是12。利用模的概念可以幫助我們理解很多實(shí)際問題。

比如：時(shí)鐘的時(shí)針目前指向6點(diǎn)的位置，要使其指向3點(diǎn)，共有2種方法，順時(shí)針撥9格（+9），或逆時(shí)針撥3格（-3）。這里，+9和-3具有同樣的實(shí)際意義。順時(shí)針我們做的是加法運(yùn)算：6+9=15，因?yàn)闀r(shí)鐘的模是12，達(dá)到模的部分會(huì)自動(dòng)丟失，也就是15-12=3，即3點(diǎn)。逆時(shí)針我們做的是減法運(yùn)算：6-3=3。不難看出，在這個(gè)例子當(dāng)中，-3和+9是完全等價(jià)的。負(fù)數(shù)-3用正數(shù)+9可以代替，這樣就可以化減法運(yùn)算為加法運(yùn)算了。這里，+9就是-3的補(bǔ)碼（模為12的情況下）。

通過剛才的實(shí)例，得出一個(gè)結(jié)論：如果運(yùn)算是有模的運(yùn)算，負(fù)數(shù)用它的補(bǔ)碼代替，就可以劃減為加。那么如何求得其補(bǔ)碼呢？通過觀察發(fā)現(xiàn)：負(fù)數(shù)加上模即可得到補(bǔ)碼。

在計(jì)算機(jī)中，如果能夠效仿這種方法，同樣可以化減為加。那么計(jì)算機(jī)當(dāng)中的運(yùn)算是有模的運(yùn)算嗎？是。因?yàn)樵谟?jì)算機(jī)中，數(shù)據(jù)是放在寄存器當(dāng)中的，而寄存器的位數(shù)是固定的。例如：1個(gè)4位二進(jìn)制計(jì)數(shù)器，當(dāng)計(jì)數(shù)器從0變到15之后，再加1，計(jì)數(shù)器又變?yōu)?，也就是說這個(gè)計(jì)數(shù)器的容量是16，其模為2n=16。同理，n+1位的寄存器，模為2n+1。那么，n位的整數(shù)，計(jì)算其補(bǔ)碼時(shí)，模是多少呢？為了在以后的運(yùn)算過程中，符號(hào)位也能參與運(yùn)算，我們連同符號(hào)位考慮在內(nèi)，也就是說，n位的整數(shù)，放在n+1位的寄存器當(dāng)中，模應(yīng)該選擇2n+1，如表2所示：

這樣，得出補(bǔ)碼的定義如下：

［x］補(bǔ)＝0，x 2n＞x≥02n+1+x 0＞x＞-2n（mod2n+1） （2）

其中，x為真值，n為整數(shù)的位數(shù)

注：正數(shù)的補(bǔ)碼就是其原碼，因?yàn)樵谶\(yùn)算過程中，它不需要被替換。

下面，舉例說明負(fù)數(shù)補(bǔ)碼的計(jì)算。

例：x=-1010

引入補(bǔ)碼的目的是為了化減為加，可是，在計(jì)算補(bǔ)碼的過程中，又出現(xiàn)了減法運(yùn)算，我們改進(jìn)一下計(jì)算補(bǔ)碼的過程：

通過觀察發(fā)現(xiàn)：這兩個(gè)數(shù)符號(hào)位相同，數(shù)值位相反，這就是“原碼”與“反碼”的關(guān)系，由此可見，為了更加便捷地計(jì)算補(bǔ)碼，引入了“反碼”。那“反碼”如何定義呢？很明顯，反碼加1得到補(bǔ)碼，補(bǔ)碼減1就是反碼了。

（三）反碼

為了更方便地計(jì)算負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼，引入了“反碼”，其定義為：

［x］反＝0，x 2n＞x≥0(2n+1-1)+x 0≥x＞-2n（mod2n+1-1） （3）

其中，x為真值，n為整數(shù)的位數(shù)

四、總結(jié)

詳細(xì)介紹了3種機(jī)器碼的表示方法：從原碼的定義出發(fā)，分析了原碼做加減法存在的問題，引出補(bǔ)碼，并對補(bǔ)碼的定義進(jìn)行了深入的分析。為了簡化補(bǔ)碼的計(jì)算引出反碼。清晰地展示了三種編碼之間的關(guān)系。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

［1］ 唐朔飛.計(jì)算機(jī)組成原理（第2版）［M］.北京：高等教育出版社，2008.

［2］ 白中英.計(jì)算機(jī)組成原理（第四版）［M］.北京：科學(xué)出版社，2008.

［3］ 王誠. 計(jì)算機(jī)組成原理（第3版）［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2004.

［4］ 蔣本珊. 計(jì)算機(jī)組成原理（第2版）［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2008.

［責(zé)任編輯：左 蕓］