【摘要】由于在高中數(shù)學(xué)《新的課程標(biāo)準(zhǔn)》的課程理念中提出高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中要充分的關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，引導(dǎo)學(xué)生去探索求知。而學(xué)習(xí)過程還是一個(gè)不斷發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的過程，因此在問題驅(qū)動(dòng)下的教學(xué)模式便成為當(dāng)下教育教學(xué)研究的熱點(diǎn)。所謂問題驅(qū)動(dòng)式教學(xué)即是由教師創(chuàng)設(shè)合理的學(xué)習(xí)情境，巧設(shè)問題，營造適合學(xué)生心理體驗(yàn)的氛圍，將學(xué)生自主學(xué)習(xí)和探究過程置于一個(gè)特定的情境中。以問題制造困惑，在問題的驅(qū)動(dòng)下激發(fā)思考，引發(fā)學(xué)生探究的欲望和興趣，以目標(biāo)導(dǎo)引解決困惑。

【關(guān)鍵詞】問題驅(qū)動(dòng)；焦點(diǎn)三角形；橢圓

由于在高中數(shù)學(xué)《新的課程標(biāo)準(zhǔn)》的課程理念中提出高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中要充分的關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，引導(dǎo)學(xué)生去探索求知。而學(xué)習(xí)過程還是一個(gè)不斷發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的過程，因此在問題驅(qū)動(dòng)下的教學(xué)模式便成為當(dāng)下教育教學(xué)研究的熱點(diǎn)。所謂問題驅(qū)動(dòng)式教學(xué)即是由教師創(chuàng)設(shè)合理的學(xué)習(xí)情境，巧設(shè)問題，營造適合學(xué)生心理體驗(yàn)的氛圍，將學(xué)生自主學(xué)習(xí)和探究過程置于一個(gè)特定的情境中。以問題制造困惑，在問題的驅(qū)動(dòng)下激發(fā)思考，引發(fā)學(xué)生探究的欲望和興趣，以目標(biāo)導(dǎo)引解決困惑。本文就通過對(duì)《有關(guān)橢圓焦點(diǎn)三角形問題》的教學(xué)設(shè)計(jì)探討一下驅(qū)動(dòng)式教學(xué)模式下學(xué)生的學(xué)習(xí)過程。

一、課題引入

我們?cè)趯W(xué)習(xí)橢圓時(shí)經(jīng)常會(huì)遇到以其焦點(diǎn)和曲線上的點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形，一般定義為焦點(diǎn)三角形，該三角形中的邊角關(guān)系是必須掌握的重點(diǎn)知識(shí)，也是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容之一，尤其是近幾年的出題頻率呈上升趨勢(shì)。焦點(diǎn)三角形雖然不是教材中明確的授課內(nèi)容，但它是考察基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本方法和三者綜合運(yùn)用能力的重要載體，它是對(duì)曲線定義更深層次的考察。焦點(diǎn)三角形問題實(shí)質(zhì)是圓錐曲線定義的深化，所以系統(tǒng)的研究有關(guān)橢圓焦點(diǎn)三角形問題是很有必要的。

二、問題探究

設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1（a>b>o），左右焦點(diǎn)分別為F1（-c，o）F2（c，o）其中a2=b2+c2。設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)P（x0，y0）記|PF1|=m，|PF2|=n，∠F1PF2=θ

問題一 三角形PF1F2的周長是定值嗎？

由于△F1PF2的周長=|PF1|+|PF2|+|F1F2|

=2a+2c

即△F1PF2的周長是定值。

問題二 |PF1|與|PF2|有最小值嗎？

當(dāng)P與A1重合時(shí)，|PF1|min=a-c

當(dāng)P與A2重合時(shí)，|PF2|min=a-c

問題三 m#8226;n有最大值和最小值嗎？

∵m+n=2a ∴n=2a-m

∴m#8226;n=-m2+2am

∴m#8226;n=-（m-a）2+a2

∴a-c≤m≤a+c

∴b2≤m#8226;n≤a2

即m#8226;n有最大值為a2 m#8226;n的最小值為b2

問題四 三角形PF1F2 的面積有沒有最大值？

S△FPF=|F1F2|#8226;h

S△FPF=#8226;2c#8226;y0

S△FPF=c#8226;y0

∴當(dāng)P在Y軸上時(shí)|y0|max=b

此時(shí)三角形PF1F2 面積的最大值=b#8226;c

問題五 ∠F1PF2=θ有最大值嗎？

當(dāng)點(diǎn)P在Y軸上時(shí)，θ有最大值

問題六 若∠F1PF2=θ，三角形PF1F2面積為定值嗎？

∵m+n=2a ∴m2+n2+2mn=4a2

又∵m2+n2-2mncosθ=4c2

∴m#8226;n=

∴ =m#8226;nsinθ=

當(dāng)θ為定值時(shí)，S△FPF也為定值

問題七 延長PF2交圓錐曲線于M點(diǎn)，連結(jié)F1M，三角形F1PM的周長是否為定值？

∵ =PF1+PF2+MF1+MF2=4a

∴三角形F1PM的周長為定值

問題八 當(dāng)PF2⊥x軸時(shí)，弦長|PM|的值為多少？

當(dāng)PF2⊥x軸時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（c，）

∴|PM|=

三、課堂測(cè)試

1.已知F1、F2是橢圓C：+=1（a>b>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，p為橢圓C上的一點(diǎn)，且PF1⊥PF2。若△PF1F2的面積為9，則b=____________。

2.如果一個(gè)橢圓短軸上的一個(gè)頂點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正三角形，求橢圓的離心率。

問題驅(qū)動(dòng)式教學(xué)的流程設(shè)計(jì)在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生正是通過一個(gè)一個(gè)的數(shù)學(xué)問題的提出和解決，從而認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)定理的發(fā)現(xiàn)、形成和發(fā)展過程，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的思維、數(shù)學(xué)的交流、數(shù)學(xué)的推理和數(shù)學(xué)問題的解決。通過這個(gè)綜合過程，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，培養(yǎng)了學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思想。

（作者單位：江西省寧都中學(xué)）