【摘要】數(shù)學(xué)思想方法是從數(shù)學(xué)內(nèi)容中抽象概括出來(lái)的，是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓，是知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的催化劑。在數(shù)學(xué)活動(dòng)中提煉數(shù)學(xué)思想，運(yùn)用數(shù)學(xué)思想，可以讓活動(dòng)的過(guò)程更扎實(shí)，讓活動(dòng)的結(jié)果更有效。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思想；分類(lèi)討論；數(shù)形結(jié)合；方程；化歸

在數(shù)學(xué)體系中，數(shù)學(xué)思想方法相對(duì)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)及常用數(shù)學(xué)方法處于更高的層次，在運(yùn)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)及方法處理數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，具有指導(dǎo)性的地位。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想有：分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合、方程思想、化歸思想、優(yōu)化思想等。本文就初中數(shù)學(xué)中幾種常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動(dòng)中的指導(dǎo)作用談一談自己的體會(huì)。

一、用分類(lèi)討論思想落實(shí)局部與整體之間的相互融合

當(dāng)我們面對(duì)的問(wèn)題中所涉及的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一處理時(shí)，就要對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行分類(lèi)，然后對(duì)每一類(lèi)分別進(jìn)行研究，以便明確地給出每一類(lèi)的結(jié)果，最終綜合各類(lèi)結(jié)果可得到整個(gè)問(wèn)題的解答。

蘇科版七上《數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動(dòng)》教材中有一個(gè)關(guān)于“翻杯子”的實(shí)踐活動(dòng)。教材上通過(guò)閱讀材料的方式告訴我們，“翻杯子問(wèn)題”可以利用+1、-1的數(shù)的乘積來(lái)解決，這里不做具體闡述。利用+1、-1的數(shù)的乘積的道理來(lái)解決“翻杯子問(wèn)題”似乎大家都能明白，但對(duì)于理論上能翻的實(shí)際中又不知該如何翻動(dòng)。甚至在閱讀這份材料之前我們連轉(zhuǎn)化為+1、-1的數(shù)的乘積的意識(shí)都沒(méi)有。那么擺在我們面前的主要問(wèn)題就是如何有條理地翻動(dòng)杯子，并且在翻動(dòng)的過(guò)程中不走回頭路。下面就以杯子總數(shù)是5個(gè)，每次翻動(dòng)2個(gè)為例進(jìn)行探究。初始位置：①正②正③正④正⑤正。翻動(dòng)一次，不妨設(shè)①反②反③正④正⑤正，這時(shí)是不需要思考的?？僧?dāng)?shù)诙畏瓌?dòng)時(shí)，就比較麻煩了，究竟翻動(dòng)哪兩個(gè)？這就是需要分類(lèi)討論問(wèn)題的典型特征，多種情況出現(xiàn)了。問(wèn)題是如何分類(lèi)呢？第一類(lèi)：翻動(dòng)兩個(gè)“反”，顯然又回到了初始位置，不可??；第二類(lèi)：翻動(dòng)兩個(gè)“正”，不妨設(shè)翻動(dòng)③④，結(jié)果為①反②反③反④反⑤正；第三類(lèi)：翻動(dòng)一“反”一“正”，則與第一次翻動(dòng)后的結(jié)果相同，也不可取。到此五個(gè)杯子第二次翻動(dòng)經(jīng)過(guò)分類(lèi)討論，我們清晰地看到結(jié)果只能為①反②反③反④反⑤正。下面進(jìn)行第三次翻動(dòng)，如果有了第二次翻動(dòng)分類(lèi)討論的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生第三次翻動(dòng)應(yīng)該是輕而易舉的。繼續(xù)分類(lèi)：第一類(lèi)，翻動(dòng)兩個(gè)“反”與第一次結(jié)果雷同，不可?。坏诙?lèi)，翻動(dòng)一“反”一“正”，與第二次結(jié)果相同，也不可取。由此我們得出結(jié)論，5個(gè)杯子，杯口朝上，每次翻動(dòng)2個(gè)，無(wú)論翻動(dòng)多少次，都不可能使得杯口全部朝下。

有了這一次翻杯子的經(jīng)歷，這個(gè)活動(dòng)的目的已經(jīng)達(dá)到，相對(duì)于過(guò)程中利用分類(lèi)方法落實(shí)局部與整體之間的相互融合，這個(gè)活動(dòng)的結(jié)果已不重要。在翻杯子過(guò)程中，我們把研究對(duì)象按正反標(biāo)準(zhǔn)分為幾種情況，化整為零，一一解決，實(shí)際上就是“分而治之，各個(gè)擊破”的策略。

二、用數(shù)形結(jié)合思想體現(xiàn)數(shù)與形之間的相互印證

所謂數(shù)形結(jié)合思想就是將代數(shù)與幾何問(wèn)題進(jìn)行互化，把數(shù)量關(guān)系的精確刻畫(huà)與幾何圖形的形象直觀有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，從而充分暴露問(wèn)題的條件與條件、條件與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，恰當(dāng)?shù)刈兏鼏?wèn)題，使問(wèn)題化難為易、化繁為簡(jiǎn)。

“從拼圖到公式”這一數(shù)學(xué)活動(dòng)，其中活動(dòng)一，根據(jù)拼圖寫(xiě)出等式，就是一個(gè)由直觀到精確、由形到數(shù)的過(guò)程；活動(dòng)二，利用拼圖的方法驗(yàn)證一個(gè)乘法等式是否成立，是一個(gè)由數(shù)到形，以形驗(yàn)數(shù)的過(guò)程；活動(dòng)三，借助拼圖的方法對(duì)一個(gè)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，又是一個(gè)以形助數(shù)的實(shí)例。整個(gè)活動(dòng)將數(shù)形結(jié)合的思想體現(xiàn)的恰到好處、淋漓盡致。

三、用方程思想建立知識(shí)與知識(shí)之間的相互聯(lián)系

方程思想是指把未知量當(dāng)成方程的解來(lái)處理，這是數(shù)學(xué)上一種最基本但卻非常重要的思想方法。許多數(shù)學(xué)問(wèn)題當(dāng)你無(wú)路可走的時(shí)候，你會(huì)發(fā)現(xiàn)那只不過(guò)是一個(gè)方程就能解決的問(wèn)題。

鐘面角是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一類(lèi)經(jīng)典應(yīng)用題，其中也有不少問(wèn)題耐人尋味、發(fā)人深思。蘇科版七上《數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動(dòng)》教材中也涉及了一個(gè)關(guān)于鐘面角的數(shù)學(xué)活動(dòng)。下面就活動(dòng)中的兩個(gè)問(wèn)題來(lái)體會(huì)一下方程思想的妙用。

問(wèn)題1：先將手表的時(shí)針與分針重合在12點(diǎn)，轉(zhuǎn)動(dòng)手表的指針，

（1）過(guò)____分鐘，分針首次追上時(shí)針？

（2）過(guò)____分鐘，分針與時(shí)針首次成一直線？

（3）過(guò)_____分鐘，分針與時(shí)針?biāo)傻慕嵌仁状螢?0°？

問(wèn)題2：在3點(diǎn)時(shí)，兩針?biāo)傻慕嵌仁?0°，那么再過(guò)____分鐘，兩針?biāo)傻慕堑诙蔚扔?0°？

其中問(wèn)題1中的三個(gè)問(wèn)題解題思路完全一樣，就是將問(wèn)題首先轉(zhuǎn)化為行程問(wèn)題，再借助方程解決即可。（1）設(shè)x分鐘后分針首次追上時(shí)針，由題意得：6x-0.5x=360（2）（3）只要將方程中的“360”分別改成“180”和“90”，問(wèn)題就迎刃而解了。

問(wèn)題2：設(shè)x分鐘后兩針?biāo)傻慕堑诙蔚扔?0°，由題意得：6x-0.5x=180（原來(lái)兩針差90度，分針又需追上時(shí)針90度，故路程差為180度）。

恩格斯曾說(shuō)，轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)的杠桿。這說(shuō)明善于轉(zhuǎn)化問(wèn)題在分析和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題過(guò)程中的重要作用。從上述幾個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)的例子不難發(fā)現(xiàn)，幾種常見(jiàn)數(shù)學(xué)思想實(shí)質(zhì)上都蘊(yùn)涵著化歸思想。如分類(lèi)討論是面對(duì)復(fù)雜問(wèn)題所采取的針對(duì)性轉(zhuǎn)化求解策略和手段；數(shù)形結(jié)合思想正好體現(xiàn)了數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化；方程思想是通過(guò)建立方程來(lái)實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化與解決。我們教師在平時(shí)教學(xué)過(guò)程中，只有有意識(shí)地滲透數(shù)學(xué)思想，并引導(dǎo)學(xué)生利用滲透的思想來(lái)分析和解決問(wèn)題，才能有效促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)與數(shù)學(xué)活動(dòng)的效果，也才能讓學(xué)生學(xué)到更有用的數(shù)學(xué)。

【參考文獻(xiàn)】

[1]雷玲.《中學(xué)數(shù)學(xué)名師教學(xué)藝術(shù)》.華東師范大學(xué)出版社.2007.12

[2]王金戰(zhàn).《數(shù)學(xué)是怎樣學(xué)好的——魔力和方法篇》.北京大學(xué)出版社.2010.5

（作者單位：江蘇省淮陰中學(xué)）