教材是教學(xué)的依據(jù)，應(yīng)該是教師可以放心地教，學(xué)生可以放心地學(xué)，沒(méi)有知識(shí)性錯(cuò)誤。但對(duì)于在全國(guó)各類(lèi)成人高等學(xué)校招生考試教材理工農(nóng)醫(yī)類(lèi)（中國(guó)社會(huì)出版社）第10頁(yè)中的解方程練習(xí)題目的答案解析，筆者不敢茍同。

原題目是：

題1類(lèi)題目是無(wú)理方程，解法很多，常用的方法是，在方程兩邊同時(shí)乘方，去根號(hào)或利用換元法轉(zhuǎn)化為有理方程。解無(wú)理方程的基本思想是將無(wú)理方程轉(zhuǎn)化為有理方程。此教材的參考答案的解法為換元法。

題2類(lèi)題目是分式方程，常見(jiàn)解法有因式分解法、去分母法、換元法，解題思想是將原分式方程整式化。此教材的參考答案的解法為去分母法。

教材中的標(biāo)準(zhǔn)答案：

1.解:令（１）

原方程化為（２）

解得

即，不合理，舍去（３）

y2=3即（４）

即x2-3x＋5=9（５）

解得x1=-1， x2 = 4 ；經(jīng)驗(yàn)證x1=-1， x2 = 4都是原方程的根。

2.解：原方程兩邊同乘以（x+1)(x-2) （６）

得x(x-2)-7=-(x+1) （７）

即x2-x-6=0 解得x1=-2 ， x2= 3；經(jīng)驗(yàn)證x1=-2 ，x2=3都是原方程的根注：此處兩個(gè)方程分別為無(wú)理方程和分式方程，故需驗(yàn)根。

我們要談的主要是答案的最后的“注：此處兩個(gè)方程分別為無(wú)理方程和分式方程，故需驗(yàn)根?！笔欠駸o(wú)理方程和分式方程的驗(yàn)根是必需的？筆者認(rèn)為是并非必需的。

在初中教材中只是要求掌握會(huì)用平方或換元法求無(wú)理方程的根，并會(huì)驗(yàn)根，要求驗(yàn)根的原因在于方程兩邊同乘方若干次數(shù)，有可能產(chǎn)生的增根；對(duì)于分式方程，要求掌握用去分母或換元法求不超過(guò)三個(gè)分式構(gòu)成的分式方程的根解法，并會(huì)驗(yàn)根，驗(yàn)根的原因是在于為去分母而兩邊同乘的式子可能導(dǎo)致增根產(chǎn)生；而驗(yàn)根的本質(zhì)也就是將多余的增根去掉，顯然也是必不可少的。然而，對(duì)于同解方程（等價(jià)方程）來(lái)說(shuō)是并非必要的。

含有未知數(shù)的等式稱(chēng)之為方程，滿(mǎn)足方程的未知數(shù)稱(chēng)為方程的解。并且，如果兩個(gè)方程的解相同，那么這兩個(gè)方程叫做同解方程，又稱(chēng)“等值方程”“等價(jià)方程”。站在知識(shí)的更高度上，定義如此：如果兩個(gè)方程的解集相等，則稱(chēng)它們?yōu)椤巴夥匠獭保蚍Q(chēng)這兩個(gè)方程“同解”。判定方程是否同解，與給定的數(shù)域有關(guān)。如在實(shí)數(shù)域內(nèi)，方程(x-3)(x2+4)=0與x-3=0同解，而在復(fù)數(shù)域內(nèi)它們就不同解。易證f(x)=0與af(x)=0(a≠0）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)同解，同理也得出f(x)=0與f(x)g(x)=0 (g(x)≠0)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)同解。方程是等式，顯然滿(mǎn)足等式的性質(zhì)。那么在方程的兩邊同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)數(shù)，或方程兩邊同時(shí)乘以（或除以）一個(gè)不為零的數(shù)，仍為與原方程的等價(jià)方程。

以下是對(duì)上述兩題的解法做出同解性分析：

題1的解題過(guò)程中，方程進(jìn)行了二次驗(yàn)根，只是（3）式的驗(yàn)根是必要的，因?yàn)樵冢?）到（2）式的變形是非同解過(guò)程，由（1）式與（2）式中的數(shù)域不同，y 的范圍已經(jīng)從非負(fù)數(shù)擴(kuò)充到了實(shí)數(shù)，結(jié)果出現(xiàn)了增根y1=-2。所以在這有必要進(jìn)行驗(yàn)根。

但若在第一次驗(yàn)根前，在（2）式中加一限制條件，即變?yōu)閥2-y-6=0(y≥0)（22），那從（1）到（22）就是等價(jià)變換，只解得y1=3，不會(huì)出現(xiàn)增根，也就無(wú)須驗(yàn)證。

所以解無(wú)理方程驗(yàn)根并非必要的。

第二次驗(yàn)根更是不必要的，分析如下：

因?yàn)殚_(kāi)2次方根后等于3的數(shù)僅且只有為9，所以由（4）變形到（5）式從算術(shù)意義上看是一個(gè)等價(jià)過(guò)程。（5）其實(shí)就是（4）經(jīng)過(guò)兩邊平方，再移項(xiàng)并因式分解可得，兩邊同乘以+3＞0，顯然是同解方程。由于是同解方程，不可能出現(xiàn)增根，也就無(wú)須驗(yàn)根。

解無(wú)理方程必須驗(yàn)根是根據(jù)方程解變形的過(guò)程中方程兩邊同次乘方，所得方程和原方程不一定是同解方程，如：=x…(a)，兩邊平方后得x+2=x2…(b)，二者并不同解，從方程的定義域就可看出?？赡墚a(chǎn)生增根，因而必須驗(yàn)根。

但是解無(wú)理方程過(guò)程中均可考慮周到，在所得新方程的定義域加以限制，實(shí)現(xiàn)同解方程，然后避免驗(yàn)根。

人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)2008年6月第2版在分式方程這一節(jié)中，舉例說(shuō)明了解分式方程去分母時(shí)，兩邊同乘以最簡(jiǎn)公分母的式子，得到整式方程。分式方程兩邊同乘一個(gè)不為零的式子，所得整式方程與原分式方程同解；若所乘式子為零，則出現(xiàn)分母為0的現(xiàn)象，顯然這個(gè)整式方程與原分式方程的解不同。

前面已經(jīng)說(shuō)明，若不是同解方程，那肯定是要驗(yàn)根。因?yàn)轭}2與（7）式并非同解方程，所以在求解的最后進(jìn)行了驗(yàn)根，這當(dāng)然是必要的。但解分式方程是否必須驗(yàn)根，筆者不這么認(rèn)為，分析如下：在題2的解法中，原方程兩邊同乘以最簡(jiǎn)公分母(x+1)(x-1)且(x≠-1，2)，因?yàn)閤=-1，2導(dǎo)致原分式方程分母為零，方程沒(méi)有意義。所以，排除導(dǎo)致分母不為零后所得的方程就與原分式方程同解。即是同解方程，也就無(wú)須驗(yàn)根。所以解分式方程驗(yàn)根不是必要的。

以上的分析充分體現(xiàn)了解分式方程或無(wú)理方程時(shí)驗(yàn)根并不是必需的。當(dāng)然在學(xué)生的解題過(guò)程中若方程不是等價(jià)變形，那么就須驗(yàn)根了。但教材是教學(xué)的依據(jù)，教材是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要材料，應(yīng)具有極高閱讀價(jià)值，數(shù)學(xué)課程教材編制專(zhuān)家應(yīng)充分考慮數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)，精心編寫(xiě)。

（作者單位：海南省高級(jí)技工學(xué)校）

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文