【摘 要】新課程標(biāo)準(zhǔn)提出：注重現(xiàn)代信息技術(shù)與課程的整合，強調(diào)培養(yǎng)發(fā)展學(xué)生探究和解決問題的能力。本文主要是介紹了在課堂教學(xué)中如何充分利用信息技術(shù)提高學(xué)生探究問題的能力，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和培養(yǎng)學(xué)生以科學(xué)的態(tài)度去探究分析問題的能力。

【關(guān)鍵詞】信息技術(shù) 幾何畫板 探究 解決 能力

【中圖分類號】G632 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】1674－4810（2011）12－0130－02

20世紀(jì)70年代以后，我國著名數(shù)學(xué)家吳文俊在幾何定理機器證明上做出了重大貢獻(xiàn)，并創(chuàng)立了“吳方法”。吳文俊機器證明的思想，主要是從笛卡兒的坐標(biāo)法和中國古代解方程的計算方法而來的，他認(rèn)為，歐氏幾何體系的特點是純粹地在空間形式間推理，或在圖形之間，或者是把數(shù)量關(guān)系歸之于空間形式，或者干脆排除掉數(shù)量關(guān)系。另一個體系剛好與之相反，是把空間形式轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系來處理。吳文俊認(rèn)為，歐氏幾何體系是非機械化的，把空間形式數(shù)量化是機械化的。吳文俊說：“對于幾何，對于研究空間形式，你要想真正騰飛，不通過數(shù)量關(guān)系，就想不出有什么好辦法?！薄拔覐氖聨缀味ɡ碜C明時，首先取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)，于是幾何定理的假設(shè)與終結(jié)通常都成為多項式方程，稱之為假設(shè)方程與終結(jié)方程。滿足定理假設(shè)的幾何圖像，就相當(dāng)于假設(shè)方程組的一個解答或零點。要證明定理成立，就要證明假設(shè)方程的零點，也使終結(jié)多項式為零?！庇捎谟嬎銠C的發(fā)展歸功于眾多數(shù)學(xué)家的努力，大約在1976～1977年，幾何定理機器證明的夢想終于實現(xiàn)了。從吳文俊數(shù)學(xué)家的話以及新課標(biāo)的精神來看，信息技術(shù)在一些數(shù)學(xué)問題上成為了一種重要的研究手段。

在這里本人淺談幾點教學(xué)中運用幾何畫板的一點體會，《幾何畫板》是一個適用于幾何教學(xué)的軟件平臺，它為老師和學(xué)生提供了一個觀察和探究幾何圖像內(nèi)在關(guān)系的環(huán)境。學(xué)生通過觀察圖形及動畫、猜測，并用數(shù)學(xué)思想方法驗證。在觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的過程中增加對各種圖形的感性認(rèn)識，形成豐富的幾何經(jīng)驗，從而加深對內(nèi)容的理解，提高探究能力和學(xué)習(xí)興趣。

在學(xué)習(xí)了模塊2第三、四章后，針對最近練習(xí)題中一些比較難的問題，我特地上了一節(jié)習(xí)題課：如何利用《幾何畫板》來幫助我們解題，即提高我們探究和解決問題的能力。

【教學(xué)分析】

解析幾何是數(shù)與形相結(jié)合的研究方法，是用代數(shù)方程研究幾何性質(zhì)的數(shù)學(xué)分支，它以坐標(biāo)系為工具，坐標(biāo)法為方法，所以，教學(xué)中要始終貫徹解析思想，讓學(xué)生重視數(shù)形互助，培養(yǎng)代數(shù)與幾何意義互相轉(zhuǎn)化的能力。直線和圓的方程是最基本的曲線方程，是后繼學(xué)習(xí)圓錐曲線的基礎(chǔ)。解析幾何是高中階段的重點也是難點，很多學(xué)生常常在這里停止了前進(jìn)的步伐。因此，在起始階段就應(yīng)該讓學(xué)生有信心并且樂意學(xué)下去，在這節(jié)課里采用與信息技術(shù)相結(jié)合的方法激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和提高他們的探究能力。

【教學(xué)目標(biāo)】

運用《幾何畫板》提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣及探究能力；加強學(xué)生解決解析幾何及其他涉及圖形問題的能力。

【教學(xué)重點】

運用信息技術(shù)提高學(xué)生的探究能力。

【教學(xué)難點】

合理利用信息技術(shù)解決問題。

【教具準(zhǔn)備】

《幾何畫板》軟件。

【教學(xué)過程】

一 通過觀察動畫，判斷點的運動軌跡

例1，已知線段AB的端點B的坐標(biāo)是（4，3），端點A在圓（x＋1）2＋y2＝4上運動，求線段AB的中點軌跡方程。

師：如圖1，根據(jù)題

意，在《幾何畫板》中作

出點B（4，3），及圓的方

程，然后在圓上取點A，

接下來取線段AB中點M，

設(shè)計點A生成點的動畫，

跟蹤點M的軌跡。當(dāng)點A

運動時，點M運動形成軌

跡，猜想點M的軌跡是圓，進(jìn)而用“坐標(biāo)法”證明猜想成立。

解：設(shè)圓（x＋1）2＋y2＝4的圓心為P（－1，0），半徑長為2，線段AB中點為M（x，y），取PB中點N，其坐標(biāo)

為（ ， ），即N（ ， ）。

∵M(jìn)、N為AB、PB的中點。

∴MN∥PA且MN＝ ，PA＝1。

∴動點M的軌跡為以N為圓心，半徑長為1的圓。

所求軌跡方程為：（x－ ）2＋（y－ ）2＝1

師：通過動畫演示可以清楚地看出點的運動軌跡，所以，可以直接根據(jù)點的幾何特點求出點的軌跡方程，事實上本題也可以考慮用相關(guān)代入法，課外可請同學(xué)們試試。

練習(xí)：設(shè)是圓x2＋y2＝4的一條直徑，以AB為直角邊，B為直角頂點，逆時針方向作等腰直角三角形ABC，當(dāng)AB變動時，求C點的軌跡。（讓學(xué)生上臺親自操作，體驗圖形特點）

二 運用《幾何畫板》求解取值范圍

例2，（教材精細(xì)精練P74.10題）：已知實數(shù)x，y滿足

y＝ ，試求m＝ 及b＝2 x＋y的取值范圍。（見圖

2、圖3）

師：這種題型是高考熱點題型，主要可以體現(xiàn)學(xué)生對數(shù)學(xué)結(jié)合的應(yīng)用能力。通過動畫可以看出，當(dāng)直線過點C時，b取最小值－ ，當(dāng)直線過點A，即直線與圓相切時，b取最大值 。

三 運用《幾何畫板》尋找解題思路

例3，（報紙13期22題）：已知圓O的方程為x2＋y2＝1，直線l1過點A（3，0），且與圓O相切。

（1）求直線l1的方程。（2）設(shè)圓O與x軸交于P，Q兩點，M是圓O上異于P，Q的任意一點，過點A且與x軸垂直的直線為l2，直線PM交直線l2于點P'，直線QM交直線l2于點Q'。已知以P'Q'為直徑的圓C總經(jīng)過某一定點，求此定點坐標(biāo)。

師：本題對高一學(xué)生來說有一定難度，直接推導(dǎo)的過程也比較復(fù)雜。同學(xué)們，我們先同樣利用幾何畫板，作好圖像，然后設(shè)計點M的動畫效果，最后再來觀察所求圓在變化中具有怎樣的特點？（學(xué)生觀察動畫，并猜想，討論共花了5分鐘）

學(xué)生：這些圓都通過以點A為圓心，以EF（E、F在x軸上）為直徑的圓。

師：回答得很好，信息技術(shù)的力量確實神奇，我們借助它的力量猜想了結(jié)果，那么現(xiàn)在就來證明一下結(jié)果是否正確。

【設(shè)計意圖】我們對事物做出一種判斷，總是基于對這一事物的觀察、實驗、思考，而讓學(xué)生反復(fù)觀察、實驗、發(fā)現(xiàn)的過程在傳統(tǒng)的教學(xué)中很難實現(xiàn)。《幾何畫板》正是理想地幫助學(xué)生從動態(tài)中觀察、實驗、探索、發(fā)現(xiàn)的工具。

四 利用《幾何畫板》解決截面問題

例4.（期末復(fù)習(xí)材料3）

如圖5，棱長為2cm的正方

體容器盛滿水，把半徑為1cm

的銅球放入水中剛好被淹沒，

然后再放入一個鐵球，使他

淹沒水中，要使流出來的水

量最多，這個鐵球的半徑應(yīng)

該為多大？

師：本題如何直接進(jìn)行

解答，需要有很好的空間想象能力?，F(xiàn)在我們通過《幾何畫板》作圖，并取出過對角面的截面平面圖像，如上。

解：設(shè)鐵球半徑為r則，依題意可得：

OE＝r，HE＝1，AH＝ 所以有， ＝

即 ＝ ，解得：r＝2－

【設(shè)計意圖】使同學(xué)們的空間想象能力進(jìn)一步提高，并懂得利用截面方法解決此類問題。

五 利用《幾何畫板》研究兩圓方程相減所得的直線特點

例5：已知圓C1∶x2＋y2＋2x＋8y－8＝0，圓C2∶x2＋y2－4x－4y－2＝0，試研究兩圓相減得直線方程所在直線的特點。

師：我們先作出兩圓的圖像，作出兩圓的交點，請求出過兩交點的直線方程。

生：求出的直線方程與兩圓方程相減的結(jié)果一樣。

師：很好，這就是過兩圓交點的公共弦所在的直線方程。不過此時是兩圓相交，若兩圓不相交呢？比如，圓C3∶x2＋y2－6x－6y＋17＝0與圓C1的關(guān)系怎樣？兩圓方程相減所得直線方程有什么特點？

生：（通過計算及觀察）所得的直線與兩圓不相交，與兩圓心的所在直線垂直。

師：好！同學(xué)們總結(jié)得很好，今天我們主要共同研究了這些內(nèi)容，現(xiàn)在請大家一起回憶一下今天所學(xué)的內(nèi)容（讓學(xué)生回答）。

五 總結(jié)

學(xué)習(xí)是在一定的情境下，通過交流和協(xié)作而實現(xiàn)的過程，學(xué)習(xí)并非是主體對客體簡單、被動的反映，而是一個主動建構(gòu)的過程，學(xué)習(xí)過程不是先從感覺經(jīng)驗開始的，而是從對該感覺經(jīng)驗的選擇性注意開始的；“情境”、“協(xié)作”、“會話”和“意義建構(gòu)”是學(xué)習(xí)環(huán)境中的四大要素，而“情境”是吸引學(xué)生選擇性注意的關(guān)鍵，為學(xué)生主動探究學(xué)習(xí)造就了環(huán)境。如《幾何畫板》等數(shù)學(xué)軟件不僅能夠準(zhǔn)確、快速地計算和作圖，而且還能動態(tài)展現(xiàn)不變的幾何關(guān)系，并提供精確的測算功能，為數(shù)形結(jié)合奠定基礎(chǔ)，將數(shù)據(jù)、圖像、表達(dá)式進(jìn)行多元聯(lián)系表示，是數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)的便利工具。通過《幾何畫板》設(shè)計的數(shù)學(xué)試驗創(chuàng)設(shè)探究性學(xué)習(xí)情境，通過師生“協(xié)作”與“會話”，逐步對新知識進(jìn)行全面準(zhǔn)確的建構(gòu)。

因此，在高中的教學(xué)中，本人認(rèn)為應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生運用信息技術(shù)解決和探究數(shù)學(xué)問題的能力。而事實上當(dāng)上完這堂課后，學(xué)生是異常興奮的，因為他們能感受到一些復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題并不是一定都要考動手運算，而是要運用信息技術(shù)提高探究和解決問題的能力才能夠取得更好的效果。當(dāng)上完這堂課，我告訴學(xué)生“課外多去做題，把一些難的問題，可以考慮與信息技術(shù)結(jié)合起來，經(jīng)常做，也許有一天你也會成為數(shù)學(xué)家。”

〔責(zé)任編輯：高照〕

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文