曲率半徑在數(shù)學(xué)上有嚴(yán)格的意義和表達(dá)式，而曲率半徑的計(jì)算需要用到高等數(shù)學(xué)的知識(shí)。在中學(xué)階段，我們可巧用各種運(yùn)動(dòng)來(lái)求曲率半徑，具體舉例如下。
　　1 利用平拋運(yùn)動(dòng)
　　題目 求拋物線y=ax2(a＞0)上，任意一點(diǎn)的曲率半徑。
　　解析 可以構(gòu)建一個(gè)初速度為v0的平拋運(yùn)動(dòng)，建立拋出點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，初速度方向?yàn)閤軸的坐標(biāo)系（如圖1所示）。
　　則x=v0t，
　　y=12gt2。
　　拋物線的軌跡方程為y=ax2式中
　　a=g2v02。
　　拋物線上任一點(diǎn)A的速度
　　v=v02+2gy，
　　設(shè)A點(diǎn)的曲率半徑為ρ，則v2ρ=gcosθ，
　　又因cosθ=v0v，所以ρ=v3gv0，
　　化簡(jiǎn)此式得到：
　　ρ=12a(1+4a2x2)32。
　　2 利用勻速率運(yùn)動(dòng)
　　題目 四質(zhì)點(diǎn)A、B、C、D在同一平面上運(yùn)動(dòng)。每時(shí)刻，A速度總對(duì)準(zhǔn)B，速度大小為常量u，B速度總對(duì)準(zhǔn)C，速度大小同為u，C速度總對(duì)準(zhǔn)D，速度大小同為u，D速度總對(duì)準(zhǔn)A，速度大小同為u。某時(shí)刻，A、B、C、D恰好逆時(shí)針?lè)较虬葱蛭挥诟鬟呴L(zhǎng)為l的正方形四個(gè)頂點(diǎn)上，試求此時(shí)A的運(yùn)動(dòng)軌道在此位置的曲率半徑ρ。
　　解析 經(jīng)過(guò)Δt時(shí)間，A、B、C、D位置變化如圖2所示。A的速度變化是Δu，方向與u垂直，Δu=uΔθ，又因uΔt=lΔθ，則A的加速度為a=Δu/Δt=u2/l，方向與u垂直。
　　又因A做勻速率運(yùn)動(dòng)，無(wú)切向加速度，a心=a，根據(jù)ρ=u2/a心，所以ρ=l。
　　3 利用勻速直線運(yùn)動(dòng)與勻速圓周運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)
　　題目 半徑為R的輪子在水平直線MN上方純滾動(dòng)，輪子邊緣上任意點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡不妨稱為上滾輪線。如圖3所示，將上滾輪線繞MN向下翻轉(zhuǎn)180°，成為下滾輪線。下滾輪線可看成R輪子在下方沿直線MN純滾動(dòng)時(shí)輪子邊緣點(diǎn)P的軌跡。
　　求此軌跡最低點(diǎn)的曲率半徑ρ。
　　解析 點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)可以看成是水平方向的勻速運(yùn)動(dòng)(設(shè)速度為v0)，與豎直平面內(nèi)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)（角速度為ω）的合運(yùn)動(dòng)。根據(jù)純滾動(dòng)可知
　　ω=v0R
　　而當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到軌跡最低點(diǎn)時(shí)，速度（對(duì)地）2v0，向心加速度為
　　a心=v02R
　　又因ρ=（2v0)2a心，ρ=4R。
　　同樣方法其實(shí)可以求出任一點(diǎn)的曲率半徑。即用上面方法可以求出滾輪線上任一點(diǎn)的曲率半徑。
　　用勻速直線運(yùn)動(dòng)和勻速圓周運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)還可以來(lái)求等距螺旋線的曲率半徑。
　　4 利用勻速直線運(yùn)動(dòng)與簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)
　　題目 如圖4所示一余弦曲線y=Acosx，當(dāng)0＜x＜π/2時(shí)，求曲線上各點(diǎn)的曲率半徑ρx。
　　解析 設(shè)質(zhì)點(diǎn)在x方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度大小為v0，y方向做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)
　　y=Acosv0t，
　　則質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡為y=Acosx。
　　則vx=v0，ax=0，
　　vy=-v0Asinv0t，
　　ay=-v02Acosv0t
　　當(dāng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)時(shí)，
　　v=vx2+vy2=v01+A2sin2v0t
　　tanθ=｜vyvx｜=Asinv0t
　　a心=aycosθ=-v02Acosv0t1+A2sin3v0t
　　ρx=v2a心=(1+A2sin2v0t)3/2Acosv0t
　　當(dāng)0＜x＜π/2時(shí)
　　ρx=(1+A2-A2cos2x)3/2Acosx
　　根據(jù)圖線的對(duì)稱性，則可得余弦曲線任一點(diǎn)的曲率半徑。
　　5 利用勻速直線運(yùn)動(dòng)和一般變速直線運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)
　　題目 求解曲線y=ex的曲率半徑隨x的分布ρ（x)。
　　解析 設(shè)質(zhì)點(diǎn)沿y=ex軌道運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，x方向運(yùn)動(dòng)為x=vt，即勻速直線運(yùn)動(dòng)。y方向分運(yùn)動(dòng)為y=ev t，則vx=v，vy=vev t，ax=0，ay=v2ev t，如圖5所示。
　　則a心=acosθ=ayvxu=v3ev tu
　　ρ=u2a心，ρ=u3v3ev t，
　　又u=vx2+vy2=v1+e2v t
　　則ρ=(1+e2x)3/2e-x
　　6 利用簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)和簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)
　　題目 求橢圓x2a2+y2b2=1上，任意一點(diǎn)的曲率半徑。
　　解析 可以構(gòu)建一個(gè)這樣一個(gè)運(yùn)動(dòng)，水平方向做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，振幅為a，恢復(fù)力Fx=-k1x，x=acost，vx=-asint，所以ω=1，又因ω=2πT、T=2πmk1，則k1=m。豎直方向也做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，振幅為b，恢復(fù)力Fy=-k2y，y=bsint，vy=bcost，同理k2=m。這樣的兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)的軌跡為橢圓
　　x2a2+y2b2=1。
　　如圖6所示在橢圓上取一點(diǎn)A（x，y），物體運(yùn)動(dòng)到該點(diǎn)的速度
　　v=vx2+vy2
　　=a2sin2t+b2cost，
　　在該點(diǎn)物體受到的向心力
　　F向=｜Fx｜sinθ+｜Fy｜c(diǎn)osθ，
　　又因Fx=-mx，F(xiàn)y=-my，
　　所以F向=m｜x｜sinθ+m｜y｜c(diǎn)osθ。
　　設(shè)A點(diǎn)的曲率半徑為ρ，則v2ρ=F向m，
　　即v2ρ=｜x｜sinθ+｜y｜c(diǎn)osθ，
　　又sinθ=｜vy｜v、cosθ=｜vx｜v，
　　則v2ρ=｜x｜｜vy｜v+｜y｜｜vx｜v=abv，
　　所以ρ=v3ab=(a2sin2t+b2cos2t)3/2ab，
　　則ρ=(a4y2+b4x2)3/2a4b4。
　　7 利用勻變速曲線運(yùn)動(dòng)與勻速圓周運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)
　　題目 半徑為r的圓盤以角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)，現(xiàn)與水平面成α角以速度v拋出圓盤，圓盤運(yùn)動(dòng)時(shí)圓盤面保持豎直。求當(dāng)圓盤上升到最大高度時(shí)，盤上最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的曲率半徑。
　　解析 圓盤上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可以看作是圓盤圓心的斜拋運(yùn)動(dòng)和繞圓盤的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。由題意可知，圓盤中心在最高點(diǎn)的速度為vcosα，繞盤中心可以順時(shí)針或逆時(shí)針轉(zhuǎn)，則最高點(diǎn)的速度為
　　vA=vcosα±ωr。
　　最高點(diǎn)的加速度為aA=aAO+aO，其中aAO為最高點(diǎn)相對(duì)于盤中心的加速度，大小為ω2r，方向豎下向下，aO為盤中心相對(duì)地的加速度，大小為g，方向豎直向下，由此可得aA=ω2r+g，因此可得盤上最高點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡的曲率半徑為
　　ρ=vA2a心，則ρ=（vcosα±ωr)2(ω2r+g)
　　同理可得圓盤上各點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的曲率半徑。
　　8 利用勻速圓周運(yùn)動(dòng)和勻速圓周運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)
　　題目 如圖7所示，固定環(huán)R=4r，小環(huán)在貼著在環(huán)內(nèi)壁作純滾動(dòng)，小環(huán)的邊緣某點(diǎn)滾出的曲線叫滾輪線，求內(nèi)滾輪線的最大曲率半徑ρ。
　　解析 滾輪線上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可以看成是繞圓心O′的勻速圓周運(yùn)動(dòng)和圓心O′繞圓心O的勻速圓周運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)。
　　設(shè)小環(huán)自轉(zhuǎn)角速度為ω1、線速度為v，小環(huán)圓心繞大環(huán)圓心轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω0，
　　根據(jù)運(yùn)動(dòng)關(guān)聯(lián)有，rω1=(R-r)ω0，
　　所以ω1=(R-r)ω0r，
　　又滾動(dòng)線曲率半徑最大處在弧中段，
　　此點(diǎn)線速度大小為v1