劉 濤

（太原供電分公司，山西 太原 030012）

1 引言

電力系統(tǒng)中潮流分布是指系統(tǒng)中電壓和功率的穩(wěn)態(tài)分布。根據(jù)電力系統(tǒng)的網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)和功率、電壓等物理量量測等系統(tǒng)運行狀況的邊界條件，來求解潮流分布的計算即潮流計算。潮流計算反映了電力系統(tǒng)的詳細運行狀態(tài)，可以幫助運行、規(guī)劃人員分析系統(tǒng)在給定條件下的穩(wěn)態(tài)運行特點。潮流計算是電力系統(tǒng)中最基本、最重要的計算，是電力系統(tǒng)運行、規(guī)劃以及安全性、可靠性分析和優(yōu)化的基礎(chǔ)，也是各種電磁暫態(tài)和機電暫態(tài)分析的基礎(chǔ)和出發(fā)點。

最優(yōu)潮流是數(shù)學最優(yōu)化理論在電力系統(tǒng)中的應用，同時考慮了經(jīng)濟性和安全性，統(tǒng)籌兼顧、全面規(guī)劃，是電力系統(tǒng)中不可缺少的分析工具，在實際電力系統(tǒng)運行中具有重要意義。

本文研究了潮流計算與最優(yōu)潮流的最新成果，并重點研究了運用計算機在解決潮流計算問題中的核心技術(shù)——稀疏技術(shù)，包括稀疏存儲和稀疏計算。

2 潮流計算與最優(yōu)潮流理論

2.1 潮流計算理論

潮流計算在數(shù)學上是求解一組由潮流方程描述的非線性方程組。20世紀50年代，隨著計算機的出現(xiàn)和計算機技術(shù)的發(fā)展，研究者開始使用計算機數(shù)學模擬方法進行潮流計算。最初通過計算機實現(xiàn)的潮流計算方法是以導納矩陣為基礎(chǔ)的高斯迭代方法（Gauss方法），該方法內(nèi)存需要少，但是收斂性較差。而以阻抗矩陣為基礎(chǔ)的潮流算法，收斂性較好，但大大增加了內(nèi)存使用量，無法適用于大規(guī)模電力系統(tǒng)。牛頓-拉夫遜（Newton-Raphson，N-R）方法是求解非線性代數(shù)方程組的一種方法，在潮流計算中得到應用。20世紀60年代之后，隨著Tinney等人提出稀疏矩陣技術(shù)和節(jié)點優(yōu)化編號方法，使得牛頓-拉夫遜方法的求解效率大大增加、求解規(guī)模大大增加。在20世紀90年代，潮流計算已經(jīng)被廣泛應用于電力系統(tǒng)分析，各種算法都已經(jīng)實用化?，F(xiàn)階段關(guān)于潮流計算的研究，主要包含兩個方面：

（1）對于核心算法的研究。如對牛頓-拉夫遜方法或者快速分解發(fā)進行改進，以取得更好的計算速度等；或者將人工神經(jīng)網(wǎng)絡、粒子群、遺傳算法等新的數(shù)學方法引入潮流計算；或者對于新的數(shù)學模型，如電流注入模型的研究。

（2）對于提高潮流計算速度的研究。如對于稀疏技術(shù)或者節(jié)點優(yōu)化方法的進一步研究；或者將并行計算技術(shù)應用于潮流計算。

2.2 最優(yōu)潮流理論

潮流計算是最優(yōu)潮流的基礎(chǔ)，最優(yōu)潮流是潮流計算的一種擴展。在潮流計算中，當改變系統(tǒng)運行的邊界情況時，系統(tǒng)的潮流分布也會隨之改變。電力系統(tǒng)中存在一些可調(diào)可控變量，如發(fā)電機的有功功率，調(diào)相機的控制電壓或者無功輸出功率，可投切的電容電抗器，有載調(diào)壓變壓器的變比等可以由運行人員進行控制，將這些可控變量記作μ。則控制變量μ值不同時，潮流分布不同。而潮流分布決定了系統(tǒng)的運行效益，如系統(tǒng)網(wǎng)損、系統(tǒng)的總發(fā)電費用等，故控制變量μ值會影響系統(tǒng)的運行效益。最優(yōu)潮流就是在滿足系統(tǒng)負荷平衡和系統(tǒng)運行的安全約束等條件下，尋找控制變量μ值，使得系統(tǒng)的運行效益最高。最優(yōu)潮流在數(shù)學上是一個非線性規(guī)劃問題，在網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)和參數(shù)，系統(tǒng)的負荷給定等條件下，試確定系統(tǒng)的控制變量μ值，使得描述系統(tǒng)運行的某一給定目標函數(shù)取極小值。

最優(yōu)潮流方法眾多。如可以按照其處理約束條件的不同分為罰函數(shù)類、Kuhn-Tucker罰函數(shù)類和Kuhn-Tucker類。可以按照修正的變量空間進行分類，分為直接方法和簡化方法，前者同時修正全空間變量μ和x，而后者只修正控制變量μ，狀態(tài)變量通過約束方程求解得到。也可以按照變量修正的方向進行分類：第一類為梯度類算法，具有一階收斂性，如最速下降法；第二類為擬牛頓法，收斂性介于一階和二階之間，如各種變尺度方法；第三類為牛頓法，具有二階收斂性，例如Hessian矩陣法。

3 稀疏技術(shù)研究

稀疏技術(shù)的引入，是電力系統(tǒng)計算的一次革命。電力系統(tǒng)分析計算中廣泛涉及與矩陣、矢量相關(guān)的運算。由于電力系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)特點，如一條母線往往只跟周圍的幾條母線有直接的電氣聯(lián)系，使得反映網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)的矩陣只有少量的非零元，是一個稀疏矩陣。稀疏技術(shù)可以分為稀疏矩陣技術(shù)和稀疏矢量技術(shù)。在涉及稀疏矩陣和稀疏矢量的運算中，零元是沒有必要參與運算的，也沒有必要對其進行存儲。如果能夠做到“排零運算”和“排零存儲”，能夠減少計算程序的內(nèi)存使用量、減少浮點運算量，從而加快運算速度。電力系統(tǒng)規(guī)模越大，稀疏技術(shù)帶來的效益越明顯。稀疏矩陣技術(shù)在各種電力系統(tǒng)分析計算中被廣泛采用。

3.1 排零存儲

電力系統(tǒng)分析中存在著大量的稀疏矩陣和稀疏矢量。為實現(xiàn)“排零存儲”，需要使用特定的格式，只存儲其中的非零元和其檢索信息。

稀疏矢量的存儲比較簡單，只需要存儲非零元和非零元的下標。稀疏矩陣的存儲格式眾多，實際程序設計中根據(jù)矩陣的稀疏結(jié)構(gòu)以及所采用的算法的特點，選擇合適的存儲方法。比較常見的稀疏矩陣的存儲格式有3種，即Coordinate、CSR和CSC。下面通過舉例說明的形式介紹這3種常用的稀疏矩陣存儲格式。

3.1.1 Coordinate Format

Coordinate Format，又稱散居格式，是最簡單稀疏存儲方式。本文大量使用的內(nèi)點算法數(shù)學包IPOPT就是使用的Coordinate格式對Jacobian、Hessian矩陣進行存儲。Coordinate Format的優(yōu)點是非零元在values、rows和columns數(shù)組中的位置可以任意排列。缺點是因其存儲順序無規(guī)律，檢索難度大。

舉例說明如下：

矩陣A的維數(shù)為n=5，A矩陣中非零元個數(shù)為nz=13。

Coordinate Format以one-based indexing的存儲方式如下：

values=1-1-3-2 5 4 6 4-4 2 7 8-5

rows=1 1 1 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5

columns=1 2 3 1 2 3 4 5 1 3 4 2 5

其中values、rows、columns的長度都為nz。三個數(shù)組依次記錄了C矩陣中非零元的數(shù)值，其所處的行位置，和其所處的列位置。

3.1.2 CSR Format

CSR（compressed sparse row），行壓縮格式。CSR被各種稀疏矩陣運算數(shù)學軟件所支持，如IntelMKL和SuperLU。相比于Coordinate格式，CSR存儲格式檢索方便：可以方便檢索第i行的所有元素，從而可以方便檢索第i行的第j列的元素，即檢索元素B（i，j）。另外，CSR格式使用的存儲空間比Coordinate格式還要更少。

舉例說明如下：

對于上述矩陣A，維數(shù)為n=5，非零元個數(shù)為nz=13。

CSR格式存儲結(jié)構(gòu)如下（one-based indexing）：

values=1-1-3-2 5 4 6 4-4 2 7 8-5

columns=1 2 4 1 2 3 4 5 1 3 4 2 5

row Index=1 4 6 9 12 14

rowIndex中依次記錄了上三角矩陣每一行中第一個非零元在columns和value數(shù)組中的位置。比如，row Index中的第二個元素為4，意味著columns和values數(shù)組中從第四個元素開始為原矩陣B中的上三角第二行的內(nèi)容。

3.1.3 CSC Format（Harwell-Boeing）

CSC（compressed sparse column），列壓縮格式。與行壓縮格式類似，只不過rowIndex變?yōu)閏olumnIndex。著名的稀疏矩陣算例集Harwell-Boeing Sparse Matrix Collection，就都是使用的CSC（也叫做Harwell-Boeing）格式。

舉例說明如下：

對于上述矩陣A，維數(shù)為n=5，非零元個數(shù)為nz=13。

CSC Format下的存儲結(jié)構(gòu)如下（one-based indexing）：

values=1-1-3-2 5 4 6 4-4 2 7 8-5

columns=1 2 4 1 2 3 4 5 1 3 4 2 5

coIIndex=1 4 7 9 12 14

3.2 排零運算

稀疏矩陣和稀疏矢量的運算特點是“排零運算”。因為零不影響加減法，乘以任何數(shù)結(jié)果為零。即只要知道運算中有一個操作數(shù)是零，計算機不必做浮點計算，就可以知道其結(jié)果。

舉例說明如下：比如對n×n階矩陣進行LU分解，將其分解成一個下三角矩陣L和一個單位上三角矩陣U的乘積。LU分解可以分為兩步：①按行規(guī)劃運算；②消去運算或者更新運算。

具體計算時，排零運算應根據(jù)稀疏矩陣的存儲格式去設計相應的計算方法，盡可能地去減少判斷運算（判斷某個元素是不是零元）和浮點運算。

實際實現(xiàn)時，為實現(xiàn)稀疏技術(shù)的排零運算，可以采用各種第三方數(shù)學包。這些數(shù)學包往往支持各種稀疏矩陣的存儲結(jié)構(gòu)，并能夠快速求解各種稀疏矩陣、稀疏矢量的運算。

比如NISTSparseBlas和SparseLib++（Netlib）都支持稀疏的BLAS運算以及一些稀疏線性方程組的求解。前者是由美國國家標準局（NIST，National Institute of Standards and Technology）根據(jù)BLAST規(guī)范實現(xiàn)的稀疏BLAS計算包，由C++語言編寫，僅包含3個頭文件和1個源文件，使用簡單；后者功能強大，支持矩陣的文本輸入輸出，支持LU分解和Cholesky分解等。一些主流的商業(yè)計算軟件如IntelMKL和NAG等也都支持各種稀疏矩陣格式及各種稀疏矩陣運算。

4 結(jié)論

潮流計算是電力系統(tǒng)中最基本、最重要的計算，是電力系統(tǒng)運行、規(guī)劃以及安全性、可靠性分析和優(yōu)化的基礎(chǔ)，也是各種電磁暫態(tài)和機電暫態(tài)分析的基礎(chǔ)和出發(fā)點。通過研究發(fā)現(xiàn)，隨著計算機性能和潮流計算算法的改進，潮流計算的計算規(guī)模和計算速度都得到了顯著的提高。在這些算法當中，稀疏技術(shù)的應用和完善具有重要意義。通過使用第三方公司開發(fā)的數(shù)學包，可以大幅提高運用計算機實現(xiàn)稀疏技術(shù)的開發(fā)效率，這是具有實際意義的。

[1] 姚玉斌，魯寶春，陳學允.1999：《小阻抗支路對牛頓法潮流的影響及其處理方法》，電網(wǎng)技術(shù)，23（9）：27～31.

[2] 朱凌志，安寧.2005：《基于二維鏈表的稀疏矩陣在潮流計算中的應用》，電網(wǎng)技術(shù)，29（8）：16～19.

[3] 王守相，王成山.2003：《配電系統(tǒng)節(jié)點優(yōu)化編號方案比較》電力系統(tǒng)自動化，27（8）：54～58.