何曉星

（上海市發(fā)展改革研究院，上海 200032）

●理論經(jīng)濟(jì)學(xué)

平等與效率關(guān)系的數(shù)理經(jīng)濟(jì)邏輯
——基于完全自由競爭的前提

何曉星

（上海市發(fā)展改革研究院，上海 200032）

運用數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)理論方法可以建立平等與效率關(guān)系新的邏輯框架。假設(shè)平等、效率是兩種消費品，弱者、強者是兩種消費者。在強、弱兩者關(guān)于平等、效率的純交換經(jīng)濟(jì)中，在完全自由競爭的前提下，兩者經(jīng)過競爭交易和討價還價博弈，有可能實現(xiàn)均衡。這種均衡只是在一定條件下的產(chǎn)物，其具有存在性的三個主要條件是，相應(yīng)的平等與效率關(guān)系滿足凸性、緊致性和連續(xù)性；其具有穩(wěn)定性的三個主要條件是，上述關(guān)系滿足總量可替代性、瓦爾拉斯律和齊次性。

完全自由競爭；平等；效率；均衡；存在性；穩(wěn)定性

一、引言和文獻(xiàn)簡述

平等與效率的關(guān)系是一個重大問題。這個問題在實踐中爭議不休，主要原因是在理論上爭議不休。盡管關(guān)于平等與效率關(guān)系的理論浩如煙海，但運用數(shù)理經(jīng)濟(jì)邏輯來分析這一問題的文獻(xiàn)迄今比較鮮見。范里安·H（2009年，第507～508頁）在一般商品的交易中，尋找其中體現(xiàn)的平等與效率；但他尚未將平等、效率作為消費品，即從這個角度來分析平等與效率的關(guān)系。丁烈云等（2006年，第44～47頁）將平等、效率作為一對函數(shù)，以基尼系數(shù)代表平等作為因變量，以人均GDP代表效率作為自變量，從而以中國的宏觀數(shù)據(jù)來實證研究平等與效率的關(guān)系。何大昌（2002年，第42～52頁）研究了公平與效率兩者均衡的存在性問題。他指出：經(jīng)濟(jì)學(xué)就是在機會集合范圍內(nèi)以替換形式分析成本問題的，一種選擇的成本可用效率的損失來表示提高結(jié)果公平的成本；當(dāng)邊際收益等于邊際成本時產(chǎn)生了均衡，可用邊際社會成本等于邊際社會收益來定義公平和效率的均衡，即最優(yōu)組合。

雖然以上見解均有啟發(fā)意義，但至今仍然缺乏運用系統(tǒng)的數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)理論，將平等、效率直接作為兩種消費品，以此為對象，來研究不同消費者對平等、效率進(jìn)行交易時如何達(dá)到均衡并實現(xiàn)穩(wěn)定。而這正是本文試圖解決的問題。鑒于平等、效率的定義、概念紛繁復(fù)雜，為減少歧義，筆者采用最簡化最直觀的也為大多數(shù)人憑直覺可以判斷的定義：平等就是收入分配結(jié)果的平等，也即分配的無差別化、對稱化或平均化，而衡量平等簡言之就是觀察切分蛋糕的平均化程度；效率就是在既定投入下產(chǎn)出最大化，衡量效率就是觀察做大蛋糕的最優(yōu)增長程度。一些數(shù)理經(jīng)濟(jì)方法也是類似這樣定義的，如洛倫茨曲線描述的平等，最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)和納什均衡描述的效率等。在本文中主要研究平等與效率的關(guān)系，特別是這種關(guān)系的核心即競爭交易均衡，而非平等效率消費的本身。

筆者運用數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)理論方法，分析平等與效率關(guān)系的主要邏輯如下：平等和效率是兩種消費品，弱者和強者是兩個（種）消費者，強弱兩者關(guān)于平等、效率的消費和競爭交易受到收入預(yù)算約束。在強弱兩者的純交換經(jīng)濟(jì)中，在完全自由競爭的前提下，假設(shè)滿足一系列條件，那么經(jīng)過兩者關(guān)于平等、效率的交易和討價還價博弈，則有：（1）強弱兩者各自關(guān)于平等、效率消費的替代達(dá)到了最優(yōu)；（2）強弱兩者各自關(guān)于平等、效率的邊際替代率達(dá)到彼此相等；（3）通過上述替代強弱兩者各自的消費都實現(xiàn)了預(yù)算約束下的效用最大化；（4）總之，這表明強弱兩者之間的交易和博弈達(dá)到了均衡。應(yīng)指出，這種均衡既不是必然存在和穩(wěn)定的，也不是必然不存在和不穩(wěn)定的，而均衡的存在和穩(wěn)定只是在一定條件下的產(chǎn)物。因而本文討論的重點是，決定上述均衡具有存在性和穩(wěn)定性，究竟需要哪些條件。當(dāng)然，本文的主要任務(wù)是試圖提出一個邏輯框架，并給出一些分析，而非正式地證明這個邏輯。

二、基本假設(shè)：平等與效率關(guān)系的數(shù)理經(jīng)濟(jì)邏輯

雖然運用數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)理論可以分析任何消費品，但如何將平等、效率作為具有自身特點的消費品，以它們的關(guān)系為研究對象，建立起數(shù)理經(jīng)濟(jì)分析的邏輯框架，卻是本文的嘗試。

（一）概念和前提

1.在完全自由競爭條件下的兩人純交換經(jīng)濟(jì)。為了討論方便，筆者將平等與效率關(guān)系限定為“在完全自由競爭條件下的兩人純交換經(jīng)濟(jì)”。（1）兩人：強者和弱者。從某種意義來說，全部人口可劃分為上述兩類消費群體。當(dāng)然每類群體人口都是無限多，這里簡化為兩個消費者或交易者。同時這也表明“兩人”不受外部性的影響。（2）純交換經(jīng)濟(jì)：一是強弱兩者分別成為交易雙方，兩者只有交換，沒有生產(chǎn)函數(shù)，因此也不區(qū)分供方和需方；二是在交換中只是以物易物，沒有貨幣，不存在利率、匯率、幣值及通貨膨脹、通貨緊縮等有關(guān)問題；三是兩者交換的只是兩種特定的消費品：平等和效率。（3）完全自由競爭場所的前提。這個前提對于強弱兩者關(guān)于平等、效率的交易能夠達(dá)到均衡至關(guān)重要。高山晟（2009年，第166、280頁）指出：根據(jù)價格做出的分散決策之間的協(xié)調(diào)，是競爭性均衡概念的本質(zhì)所在；競爭均衡具有的唯一形式：分散化決策過程。這表明，分散化決策保證了沒有壟斷、完全自由的競爭，還保證了信息和物質(zhì)流動的完全自由、公開，從而保證了經(jīng)典經(jīng)濟(jì)學(xué)理論要求的自由競爭均衡的實現(xiàn)。

2.作為競爭交易對象的消費品：平等和效率；作為競爭交易主體的消費者：強者和弱者。兩種消費品：設(shè)xi為平等，xj為效率。兩者雖然是具有特定個性的消費品，但也具有一般商品的共性：（1）商品的可細(xì)分性（高山晟，2009年，第 157頁）；（2）商品效用的可轉(zhuǎn)移性（高山晟，2009年，第 174頁）；（3）在純交換經(jīng)濟(jì)中的“商品守恒”，商品既不會產(chǎn)生也不會消滅（埃里克森·B，2008年，第12頁）。總之，這兩種消費品構(gòu)成了兩維商品空間，即以xi為橫軸、xj為縱軸的平面坐標(biāo)系，這是消費者可以進(jìn)行平等、效率替代交易的平臺。

兩個消費者：設(shè)a為弱者，b為強者。本文中的強弱者概念，只是以各自對于平等、效率消費品的不同偏好來區(qū)分。弱者的定義是“平等偏好者”，即有，這表示就弱者a來說，其偏好平等更甚于效率。強者的定義是“效率偏好者”，即有，這表示就強者b而言，偏好效率更甚于平等。應(yīng)強調(diào)，本文中的強、弱只是就上述偏好意義來說的，不同于一般語言意義上的強弱者概念。

3.平等與效率的邊際替代率。假設(shè)平等、效率可以相互替代，那么一個消費者在消費這兩種消費品時，在取得同樣效用下可以選擇它們不同的消費組合。在這些組合中，可以是平等xi多些，而效率xj少些；也可以是效率xj多些，而平等xi少些。另一方面，平等效率的組合效用u=u（xi，xj）；那么在u=c（常數(shù)）條件下，xi，xj有任意不同的組合，故在不變的效用下，xi，xj可有不同的替代率。為比較變化的程度和速度，采用邊際替代率這一形式。鑒于此，平等xi和效率xj構(gòu)成不同的邊際替代率。有邊際替代率上式表明每個消費者各自的平等/效率邊際替代率，等于該消費者分別對于平等以及效率消費的邊際效用之比。同時平等xi與效率xj構(gòu)成該消費者組合效用的無差異曲線，而邊際替代率MRSi，j（x）=|dxj/dxi|就是該曲線斜率的絕對值。另一方面，消費品價格等于邊際效用，因此無論對于弱者a還是強者b，［?u（x）/?xi］/［?u（x）/?xj］=Pi/Pj，而上式左邊又等于MRSi，j（x）。可見，對于每一個消費者，平等與效率的價格之比Pi/Pj，即它們的相對價格，又等于它們的邊際替代率。

4.平等與效率關(guān)系的預(yù)算約束。在資源稀缺、沒有免費午餐的經(jīng)濟(jì)學(xué)公理之下，任何競爭交易只能在預(yù)算約束下進(jìn)行。在純交換經(jīng)濟(jì)中，預(yù)算約束就是初始稟賦約束；在引入生產(chǎn)、供給后，它就是收入約束，也可以說收入中包括初始稟賦。那么在純交換經(jīng)濟(jì)中，強弱者之間的競爭交易，只能依據(jù)原有的初始稟賦，即原有的消費品平等xi和效率xj進(jìn)行交易。在平面坐標(biāo)圖上顯示，需求是選擇集（偏好關(guān)系）與預(yù)算集可分離，但在均衡時又有共切點的產(chǎn)物。其含義是一個商品束屬于消費者的消費集，當(dāng)且僅當(dāng)消費者能夠付得起相應(yīng)代價，并且也沒有比這更好的其他商品來可供選擇。換言之，每個消費者在預(yù)算集約束下最大化其效用（埃里克森·B，2008年，第12頁）。這對于平等效率的交易也是如此，它們的預(yù)算集對消費集，也是兩點：一是約束后者，二是支撐其效用最大化。

在坐標(biāo)圖上，預(yù)算集的右上方邊界就是預(yù)算線；而預(yù)算線經(jīng)過強者或弱者關(guān)于平等、效率之初始稟賦的那一點（xi0，xj0）。同時預(yù)算線的斜率為－（Y/Pj）/（Y/Pi）=-Pi/Pj，其中Y為平等效率共同被其約束的收入?？梢婎A(yù)算線的斜率等于平等、效率相對價格的絕對值。另一方面，又因為平等、效率無差異曲線斜率的絕對值|dxj/dxi|=MRSi，j（x）=Pi/Pj，可見在均衡點，無差異曲線斜率同預(yù)算線斜率相等，并共一條切線。此外由于MRSi，j（x）=Pi/Pj，故可反過來說，當(dāng)交易達(dá)到均衡時，平等與效率的相對價格，即預(yù)算線之斜率等于平等、效率的邊際替代率。

（二）強弱兩個消費者關(guān)于平等、效率的競爭交易

在交易前強弱兩者各自擁有的平等、效率初始稟賦，按“擲錢幣游戲”這種最普遍的隨機方式界定：每個消費者（強者或弱者）各擁有50%概率之平等，50%概率之效率。假定以1為每個消費者擁有消費品的全部份額，那么，上述每個消費者都同樣擁有0.5 的平等，記為 0.5xi；0.5 的效率，記為 0.5xj。

確定初始稟賦后的交易過程如下：由于強者更偏好效率，為增加效用，故拿一部分平等xi去換取弱者之效率xj。交易結(jié)果強者之效率增加了，有0.5xj；而平等減少了，有。另一方面，由于弱者更偏好平等，為增加效用，故拿一部分效率xj去換取強者之平等xi。交易結(jié)果弱者之平等增加了，有，而效率減少了，有。綜上所述，首先對于每個消費者（強者或弱者），兩者的相互交易和各自自身的替代同在而互不可缺，是同一件事情的兩面。其次，由偏好發(fā)生的替代和交易都產(chǎn)生效用，即每個消費者自身產(chǎn)生了平等、效率的替代效用，從而產(chǎn)生了強弱兩者之間的交易效用，否則競爭交易不能發(fā)生。

但強者并不能將自身替代和互相交易進(jìn)行到極端，即達(dá)到效率xj為1而平等xi為0。因為一方面因旨在提高效率引起的自身替代和互相交易的邊際效用遞減；另一方面這種交易與替代是有成本的，事實上，強弱兩者都不是孤立存在的，而是互相映射的，比如平等或不平等正是強弱兩者比較的差距。其中強者受到來自弱者的嫉妒壓力，因為如果強者的平等xib很少以至為零，意味著不平等極大，這當(dāng)然引起弱者對強者嫉妒壓力的增大，從而增加了兩者的交易成本和強者自身的替代成本，這種成本隨著不平等程度和嫉妒壓力增大而增加。因而，當(dāng)強者的交易替代效應(yīng)小于其交易替代成本時，強者自身關(guān)于平等、效率的替代以及強弱者之間的交易停止。這時強者的

同樣弱者也不能將自身替代和互相交易進(jìn)行到極端，即達(dá)到平等xi為1而效率xj為零。因為一方面因旨在提高平等引起的替代和交易的邊際效用遞減；而另一方面替代和交易成本增加，這是由于弱者受到來自強者的嫉妒壓力，因為平等極大意味著不平等極小，這使得強者對弱者的嫉妒壓力增大，從而增加了兩者的交易成本和弱者自身的替代成本，這表明同弱者產(chǎn)生嫉妒壓力一樣，強者也會產(chǎn)生嫉妒壓力，只不過同弱者的方向相反。應(yīng)指出嫉妒僅具有中性，并可廣泛地解釋為不滿。

休謨·D（2007年，第103頁）指出，成為嫉妒對象的快樂往往比我們所有的快樂占著優(yōu)勢：一方面，一種優(yōu)勢使我們相形見絀，并呈現(xiàn)出個人不愉快的比較來；另一方面，甚至就在他處于劣勢的情況下，我們（筆者注：此處指強者）仍然希望同他有一種較大的距離，以便增大自我的觀念；當(dāng)這個距離減少時，那種比較對我們的利益要少些，因而使我們感到較小的快樂甚至不愉快；人們在看到比他地位低微的人在追求光榮或快樂方面接近或趕上他們時，就感覺到那種嫉妒。由此筆者認(rèn)為，出自嫉妒心理的比較可分為兩種：第一種是弱者同比自己強勢者的比較，這種比較產(chǎn)生了弱者的嫉妒壓力，這種嫉妒壓力因占優(yōu)的差距較大而導(dǎo)致痛苦；第二種是強者同比自己弱勢者的比較，這種比較產(chǎn)生了強者的嫉妒壓力，這種嫉妒壓力因占優(yōu)差距較小而導(dǎo)致痛苦。由于以上兩方面，當(dāng)弱者的交易替代效應(yīng)小于其交易替代成本時，弱者自身關(guān)于平等、效率的替代，以及強弱者之間的交易停止。這時弱者的

（三）關(guān)于平等效率的交易是強弱參與人的討價還價博弈

蓋爾·D（2008年，第34頁）指出：如果某些經(jīng)濟(jì)原理不能從博弈理論中推導(dǎo)出來，我們就只能原地踏步走，這就好比說，某些經(jīng)濟(jì)原理是不能從理性中推出來一樣。事實上，競爭交易以至達(dá)到均衡，不僅是微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)而且也是博弈論研究的核心問題。并且，如果我們運用“動態(tài)匹配和討價還價博弈”理論來分析競爭交易及其均衡，則更能揭示其內(nèi)在的利益實質(zhì)。這一實質(zhì)正如蓋爾·D（2008年，第38頁）援引哈恩（1974年）所言：博弈論將均衡行為描述為一組行為人相互一致的最優(yōu)行為。斯塔爾·R（2003年，第137頁）則直接用博弈論概括了競爭交易均衡：每個交易者試圖獲得最大利益而在交易中討價還價直至完成交易，這將導(dǎo)致一個大型經(jīng)濟(jì)的均衡；將市場經(jīng)濟(jì)的“核”定義為戰(zhàn)略性討價還價的結(jié)果。

那么，討價還價博弈的解，或納什討價還價解（穆素·A，2005年，第25頁）同市場競爭交易的均衡結(jié)果是否等價？蓋爾·D（2008年，第68～69頁等）證明了兩者是等價的。他指出，將市場競爭過程看作是一個馬爾可夫（MPE）過程，同時如果所有效用函數(shù)ui都是收斂的，那么這個假定能保證配置｛xt｝也是收斂的，即x∞=limxt∈P。這表明，由于MPE的重要性質(zhì)是對博弈歷史沒有記憶，它在t時的結(jié)果只同t時的條件有關(guān)，而與t之前的條件結(jié)果無關(guān)。這樣，在參與人數(shù)量很大，或參與人匿名，或博弈的時間過程有貼現(xiàn)等條件下，這些條件和性質(zhì)就會使每個參與人等價于價格接受者，使得討價還價過程等價于完全自由競爭市場，從而在連續(xù)、凸性、緊集（后文詳論）的假定下，不能再通過交換滿足ui（xi′）≥ui（xi），使得所有參與人對兩種配對商品的邊際替代率都是相同的，使得配對效率和帕累托效率等價（蓋爾·D，2008年，第49～51頁）。這樣，馬爾可夫（MPE）過程就會收斂于一個子博弈完美均衡（SPE），并得到市場競爭交易下的瓦爾拉斯均衡（蓋爾·D，2008年，第24頁、117頁）。

再從討價還價理論（穆素·A，2005年，第25頁）可以推論強弱兩者關(guān)于平等、效率博弈的納什討價還價（均衡）解，這可以簡單表示為如下最大化問題的解：Max（ua-da）τ（ub-db）1-τ=Max（ua-Jb）τ（ub-Ja）1-τ。式中，ua、ub為弱者或強者在競爭交易博弈中獲得的效用，da、db為衡量能否達(dá)成納什討價還價解的“無協(xié)議點”，它們具有成本的含義；Jb為強者產(chǎn)生的嫉妒壓力，Ja為弱者產(chǎn)生的嫉妒壓力。根據(jù)上述最大化問題有唯一納什討價還價解的條件是：ua≥da，即ua≥Jb；ub≥db，即 ub≥Ja。而上式中的 τ，1-τ則分別表示兩個參與人對于在均衡時凈收益的分配份額，它主要同貼現(xiàn)率、破裂風(fēng)險等有關(guān)。

（四）關(guān)于平等、效率的競爭交易均衡

1.競爭交易均衡的產(chǎn)生（以埃奇沃思圖解釋）。圖1為所借用的埃奇沃思方框圖（以下簡稱“埃圖”），以平等xi為橫軸，效率xj為縱軸，強弱兩個交易者分別位于右上方原點O和左下方原點O。那么在強弱兩者關(guān)于平等、效率的兩簇（各有多條）無差異曲線集合中，其中會有多對相應(yīng)的無差異曲線相切，在切點兩者各自的無差異曲線斜率的絕對值相等，而這些公共切點的連線就是帕累托最優(yōu)曲線。同時這些公共切點的其中之一又是它們同預(yù)算線的切點。因而強弱兩者關(guān)于平等、效率的交易在如下意義上達(dá)成了均衡：在均衡點兩者各自關(guān)于平等、效率的邊際替代率的絕對值相等，它們同預(yù)算線斜率（從而又是平等、效率的相對價格比）相等并使消費組合效應(yīng)達(dá)到最大化。

圖1 強弱兩者關(guān)于平等、效率競爭交易的埃圖

2.競爭交易均衡的產(chǎn)生（以凈交易圖解釋）。在兩個消費者的純交換經(jīng)濟(jì)中，應(yīng)用埃圖直觀而方便，但不能運用于多個交易者關(guān)于兩個消費品的純交換經(jīng)濟(jì)，為此可將埃圖轉(zhuǎn)換至凈交易圖，同時凈交易圖還可以更多展示競爭交易均衡的某些重要性質(zhì)（埃里克森·B，2008年，第14～17頁）。為簡明計，在以下凈交易圖中我們?nèi)灾粯?biāo)明強弱兩個交易者，并只標(biāo)上一對無差異曲線。將圖1轉(zhuǎn)換為圖2，仍以平等xi、效率xj作為平面坐標(biāo)系的橫、縱軸。

通過位移△w，將原埃圖的坐標(biāo)系連同原點（0，0）移至初始稟賦點 W，而預(yù)算線 H（P，0）是通過此點的直線。此時，原坐標(biāo)系上所有的點、向量、曲線與集合等都隨同位移△w。同時，將埃圖之右上半部分之強者無差異曲線逆時針翻轉(zhuǎn)180°，這條曲線在位移和翻轉(zhuǎn)后仍與預(yù)算線H相切；而原來埃圖之左下半部分之弱者無差異曲線也隨著預(yù)算線位移△w。上述過程已建構(gòu)了凈交易圖，即圖2。埃里克森·B（2008年，第19頁）證明，在上述轉(zhuǎn)換前后的兩種方式表達(dá)的瓦爾拉斯均衡等價。

圖2 強、弱兩者關(guān)于平等、效率的凈交易圖

在圖2中，在預(yù)算線的右上方，強弱兩者的無差異曲線都同預(yù)算線相切，這說明強弱兩者的無差異曲線在同預(yù)算線的共切點的斜率彼此相等，同時它們關(guān)于平等、效率的邊際替代率在上述共切點也彼此相等，而這正是強弱兩者關(guān)于平等、效率競爭交易達(dá)成的均衡。假設(shè)均衡時規(guī)范數(shù)字為1和-1，在圖2中，強者之無差異曲線位于Ⅱ象限的預(yù)算線之上，切點為，這表明強者的平等少，效率多。而弱者之無差異曲線位于Ⅳ象限的預(yù)算線之上，切點為，這表明弱者的平等多，效率少。應(yīng)指出在埃圖中，在均衡點強弱兩者的無差異曲線的公共切點同預(yù)算線的切點是三者重合的，而在凈交易圖中，強弱兩者的無差異曲線各自同預(yù)算線的切點雖然倆倆分開，但在均衡時它們的凈交易和為零。這表明它們的絕對值相等，符號相反。如上圖中1）+（-1，1）=（1-1）+（-1+1）=（0，0）。推廣至多個交易者的一般，其結(jié)果同上述完全一樣仍為0。

在圖2中，強弱兩者無差異曲線都同預(yù)算線相切，還表明它們在預(yù)算約束下都已達(dá)到效用最大。此外由于預(yù)算線斜率又等于平等、效率的相對價格，即－Pi/Pj，這樣當(dāng)預(yù)算線H隨著自身斜率而變動時，平等、效率的相對價格也隨之變動。若H平坦，表明相對來說，平等的價格較高而效率的價格較低，這說明弱者的力量較大；若H陡峭，表明相對來說，平等的價格較低而效率的價格較高，這說明強者的力量較大。

3.關(guān)于平等、效率競爭交易的均衡解，是逐步排除被占優(yōu)部分的最后剩余部分。

（1）圖 3（再借用埃圖）中，個體理性部分 IR（ε）就是由通過初始稟賦點W點的、強弱兩者的兩條無差異曲線Pa和Pb圍成的中間鏡狀（陰影）區(qū)域。它表明消費分配就是在初始稟賦預(yù)算約束下，在強弱者各自偏好集重合區(qū)域之內(nèi)的部分，這是排除了非個體理性分配的剩余部分之集合。

圖3 個體理性、帕累托最優(yōu)曲線、核與瓦爾拉斯均衡

（2）帕累托最優(yōu)曲線PO（ε）和契約線，就是強、弱兩者所有對應(yīng)無差異曲線共切點的連線。因為這條連線上所有點對應(yīng)偏好集的邊際替代率在此點相等且消費者效用相對最大，這就是“不損失某一方就不能使它變得更好”的帕累托最優(yōu)狀況，故稱為帕累托最優(yōu)曲線。同時這條連線又是強弱兩者關(guān)于平等效率的邊際替代率相等從而達(dá)成交易的契約，故又稱契約線②。總之，這是排除了非最優(yōu)部分的剩余部分之集合。

（3）核C（ε），就是上述帕累托最優(yōu)曲線位于強、弱兩個偏好集的交集（陰影部分）之中的那一曲線段。這表明，核就是由那些在個體理性分配（在預(yù)算約束之下，兩個偏好集之間）范圍內(nèi)但又排除了那些被占優(yōu)（即不符合帕累托最優(yōu)條件）的剩余部分之集合。

（4）瓦爾拉斯均衡WEx（ε）。核作為一條曲線段表明雙方關(guān)于平等、效率交易仍會有多個解。但極限定理（高山晟，2009年，第176頁）表明，當(dāng)競爭交易者數(shù)目逐步增大時，就會排除預(yù)算約束下效用最大化集合的其他點，核就會逐步縮小。當(dāng)交易者數(shù)量I→∞時，核收縮為一個點，競爭性均衡收斂為瓦爾拉斯均衡。即C（ε）→WEx（ε）∣I→∞∣。由圖3可見，瓦爾拉斯均衡就是帕累托最優(yōu)曲線或核（線段）同預(yù)算（或相對價格）線之交點，換言之排除了核線段同預(yù)算線交點之外的其他最優(yōu)點。理論證明，這個點即這個均衡解是唯一的?？傊?，強弱者關(guān)于平等、效率的競爭交易發(fā)展到瓦爾拉斯均衡是逐步達(dá)到的。這一過程服從夏普利定理（埃里克森·B，2008年，第 26 頁）：對任意交換經(jīng)濟(jì) ε，有 WE（ε）?C（ε）?PO（ε）；并有WEx（ε）?C（ε）?IR（ε）?？梢?，關(guān)于平等、效率競爭交易的解，是從預(yù)算約束偏好集，到不被占優(yōu)，到最優(yōu)集合，直到唯一最優(yōu)，這樣逐步排除，直至最后剩下唯一最優(yōu)解，這就是競爭交易的瓦爾拉斯均衡。

三、關(guān)于平等與效率競爭交易均衡具有存在性的條件

均衡是強弱者關(guān)于平等、效率關(guān)系的核心。經(jīng)濟(jì)理論認(rèn)為，一切狀態(tài)都是在一定約束條件下的產(chǎn)物。平等與效率關(guān)系的均衡，并不必然存在或不存在，它只是在一定條件下的產(chǎn)物。

（一）均衡存在性的概念、意義、定理和條件

上述定義表明，如果向量組是一個均衡，那么（1）均衡中消費的價值大于非均衡中消費的價值，對某商品均衡中消費的偏好，甚于任何非均衡中消費的偏好，此為實現(xiàn)了消費者均衡；（2）實現(xiàn)了生產(chǎn)者利潤最大化，即生產(chǎn)者均衡；（3）供求平衡，即實現(xiàn)了競爭交易均衡的可行性。

另一方面從博弈論角度，這種均衡也是納什解。納什解的定義是“對其他一切參與人的一切策略都是最優(yōu)”（姚國慶，2007年，第 39～40頁），這一均衡定義同高山晟的定義是一致的。

對于我們所論的關(guān)于平等、效率的交易，運用埃里克森·B（2008年，第11～12頁）的定義更為方便：交換經(jīng)濟(jì)的瓦爾拉斯均衡，是包含可行分配X∈F（ε，I）和價格函數(shù)P∈L′｛0｝的有序?qū)Γ╔，P），對所有的i∈I，xi∈фi（P），上式中фi（P）為預(yù)算集，I為商品種類，L為商品空間。這個定義表明（1）需求等于供給，即為初始稟賦。筆者認(rèn)為，這其實就是預(yù)算約束問題。還有，供求平衡還可以轉(zhuǎn)換為另一種說法：即超額需求為零或為非正，設(shè)超額需求為Z，有，即Z≤0。（2）每個消費者都在預(yù)算約束下最大化其效用。這是因為xi屬于價格為P時的需求集，而嚴(yán)格偏好集Pi（xi），嚴(yán)格位于通過xi的無差異曲線之上的商品束集合中。

至于均衡的存在性問題，高山晟歸之為均衡價格的存在性問題。他指出（2009年，第242頁），均衡價格P是使D（P）=S（P）成立即供求相等的價格，是否存在這樣的均衡價格P，就是均衡的存在性問題。按照前述說法，均衡價格P也是使總超額需求Z（P）=0的價格，蔣殿春（2006年，第 113頁），斯塔爾·R（2003年，第114頁）等也有這樣的說法。因而也可以說是否存在使Z（P）=0的價格P，就是均衡的存在性問題。筆者認(rèn)為，適用于本文強弱兩者關(guān)于平等、效率關(guān)系的純交換經(jīng)濟(jì)，那么使每個消費者的交易，在預(yù)算約束下取得效用最大化的平等效率相對價格是否存在，就是有關(guān)均衡的存在性問題。

2.均衡存在性的意義。高山晟（2009年，第213頁）指出，重心在于各經(jīng)濟(jì)人行為之間的協(xié)調(diào)性，在相互獨立的約束條件下，眾多個體最大化目標(biāo)同時實現(xiàn)，這是均衡存在性問題現(xiàn)代化表述的核心。何大昌（2002年，第40頁）指出，根據(jù)經(jīng)濟(jì)主體的行為必須相互一致的均衡性定義。上述表明，在關(guān)于平等效率的純交換經(jīng)濟(jì)中，在相互獨立的諸條件下，在收入或稟賦預(yù)算的制約和支撐下，強弱兩者對于平等與效率邊際替代率的調(diào)整不但相互一致而且同時達(dá)到了消費效用的最大化，那么均衡的價格，即均衡中的平等與效率之邊際替代率，存在于上述使之效用最大化的邊際替代率集合之中。筆者認(rèn)為，這是關(guān)于平等、效率均衡存在性的實質(zhì)意義。

3.證明競爭交易均衡存在的基本原理：布勞威爾不動點定理。可以通過兩個途徑來證明上述均衡的存在。正如埃里克森·B（2008年，第203頁）所言，如果市場需求是單值的，那說明瓦爾拉斯均衡的存在性就等價于布勞威爾定理或是KKM（卡庫塔尼）定理，其中KKM定理是從另一個角度“納什均衡是最佳反應(yīng)函數(shù)的不動點”（埃里克森·B，2008年，第209頁），并還要加上更為復(fù)雜的一些條件才能運用。故本文只采用布勞威爾定理方法。

布勞威爾定理指出，設(shè)S是Rn的一個非空緊凸子集，F(xiàn)是從S到自身的單值連續(xù)函數(shù)，則存在一個p?∈S 滿足p?=F（p?）（高山晟，2009 年，第 212 頁）。簡單來說，不動點就是，無論當(dāng)自變量P怎樣變化，函數(shù)F（p?）總是等于自變量p?。那么，我們尋找平等、效率的競爭交易均衡是否存在，就是要尋找：若平等、效率關(guān)系是一個從S到自身的連續(xù)單值函數(shù)，則在非空、緊、凸子集條件下，存在一個p?，滿足p?=F（p?）。以上關(guān)于平等、效率關(guān)系的F函數(shù)，其定義域和值域都是S，它是“自己到自己的映射”；有些情況這種映射要發(fā)生變化，那就是動點；有一種情況它不發(fā)生變化，它就是不動點。由于是自己到自己的映射，故可以轉(zhuǎn)換成一個以1為單位，以P和F（P）為兩邊的正方形。某函數(shù)曲線經(jīng)過該正方形45°對角線上任一點，都可以得到 F（p?）=p?。從布勞威爾不動點定理的證明過程（埃里克森·B，2008年，第175～182頁；高山晟，2009年，第212～224頁）可看出，不動點其實就是各參與方相互一致并實現(xiàn)效用最大化的那一點。

那么，從布勞威爾不動點定理如何轉(zhuǎn)化等價于競爭性均衡的存在性呢？受斯塔爾·R（2003年，第116～118頁）啟發(fā)，就平等效率這兩種消費品的競爭交易均衡而言，可作如下解釋：原來強弱兩者關(guān)于平等效率的對應(yīng)無差異曲線都有許多交點；或者沒有交點?，F(xiàn)設(shè)有一個價格調(diào)整函數(shù)Tk（P），按超額需求Zk（P）之大小，來調(diào)節(jié)價格P，這實質(zhì)是調(diào)節(jié)平等、效率兩種消費品的相對價格，亦即調(diào)節(jié)它們的邊際替代率，使強弱兩者關(guān)于平等、效率的無差異曲線從不相交到相交，從多值（多個交點）到單值（一個切點）。這種通過競爭交易的調(diào)節(jié)，直到在預(yù)算等各種約束條件下，強弱兩者關(guān)于平等、效率的邊際替代率彼此正好相等，并各自達(dá)到了效用最大化；此時以相對價格P=MRSi，j（x）為弱（或強）者的邊際替代率，以F（P）為強（或弱）者的邊際替代率，則實現(xiàn)了 F（p?）=p?，表明兩者的邊際替代率作為不動點存在，從而達(dá)到了“相互一致并實現(xiàn)效用最大化”的要求，就此使得相對價格p?成為不動點。當(dāng)然這表明關(guān)于平等、效率的競爭交易均衡存在。同時可見，這里Tk（P）是一個專為調(diào)節(jié)平等、效率邊際替代率的函數(shù)。

4.滿足達(dá)成布勞威爾定理——競爭交易均衡的三個主要條件?？梢姡热徊紕谕柌粍狱c的存在等價于瓦爾拉斯均衡的存在，那么布勞威爾不動點存在的條件同樣也等價于瓦爾拉斯均衡存在的條件，這些條件主要是：非空、緊致、凸性、單值連續(xù)函數(shù)。其中非空、單值的條件比較容易滿足，就是相應(yīng)的無差異曲線能夠相交（有交點），但只有一個交點（屬于切點）；或者說從定義域到值域的映射既有對應(yīng)，又只是一一對應(yīng)而非一對多點（或多點對多點）的對應(yīng)。故而筆者認(rèn)為，凸性、緊致性和連續(xù)性是滿足上述定理和均衡的三個主要條件。進(jìn)而言之，強弱者關(guān)于平等、效率關(guān)系是否滿足凸性、緊致性和連續(xù)性，是布勞威爾不動點及至它們的競爭交易均衡是否存在的三個主要條件。

（二）平等與效率關(guān)系是否滿足凸性條件

1.凸性的理論性質(zhì)。凸組合和凸集：一般的說，給定線性空間 X 中的 xi和 xj，定義 Z=θxi+（1-θ）xj，其中0≤θ≤1，Z稱為xi和xj的凸組合?；蛘哒f，如果 xi，xj∈S，且對所有的 θ，0≤θ≤1，有 θxi+（1-θ）xj∈S，那么 S為凸集（高山晟，2009年，第 13頁；埃里克森·B，2008年，第43頁）。上兩式的文字意義是集合S內(nèi)任意兩點連線被集合完全包含，則S為凸集（斯塔爾·R，2003年，第 49頁；阿羅·K，1988年，第53頁）。而凸性的定義，則需借助幾何方式，見圖4：弧為函數(shù)f［θxi+（1-θ）xj］，相應(yīng)的弦為函數(shù)θf（xi）+（1-θ）f（xj）。顯然弦上任何一點都大于等于弧上一點，因而θf（xi）+（1-θ）f（xj）≥f［θxi+（1-θ）xj］，這樣的性質(zhì)稱為凸性。這樣弧f［θxi+（1-θ）xj］為凸函數(shù)，以其為邊界包含的右上方部分，即是所有相應(yīng)的弦θf（xi）+（1-θ）f（xj）都屬于其的集合就是凸集（史樹中，1990年，第33、41頁）。上式中左式不小于右式表明弦總是不小于弧，具有重要意義。因為弦的兩端必然座落在對應(yīng)的弧上。故可以說，弦是弦自身中間點運動變化的軌跡，而弧是弦之兩端點運動變化的軌跡。弦上任何一點θf（xi）+（1-θ）f（xj）總是大于等于弧f［θxi+（1-θ）xj］，表明弦線段中間任一點總是大于等于弦的兩個端點，換言之，弦線段的中間點即兩端函數(shù)之（加權(quán)平均）組合效應(yīng)，大于兩端各自單獨效應(yīng)，這就是凸性的本質(zhì)。

凸性體現(xiàn)了邊際效用和邊際替代率遞減的重要性質(zhì)。這恰好體現(xiàn)了經(jīng)濟(jì)學(xué)的核心思想，即任何消費行為都是邊際效用遞減，單一消費效用總是小于組合消費效用。凸性在數(shù)理經(jīng)濟(jì)分析中具有極為重要的地位，“有兩塊基石構(gòu)成經(jīng)濟(jì)活動的基礎(chǔ)，其一是偏好的凸性定理”，因為“它表明消費者追求消費品的多樣化或平均化，而不是把自己的消費局限在某單一物品上”（高山晟，2009年，第151頁，引chipman·J語）。阿羅·K（1988年，第 53頁）指出，在消費者理論中凸的無差異曲線（或偏好集合），在經(jīng)濟(jì)上可相應(yīng)地解釋為邊際替代率遞減性質(zhì)。蔣殿春（2006年，第44頁）指出，凸偏好假設(shè)其實就是邊際替代率（絕對值）遞減性質(zhì)。蓋爾·D（2008年，第48～49頁）則進(jìn)一步說，上述凸性和邊際替代率遞減性質(zhì)表示行為人在最大化期望效用時是風(fēng)險規(guī)避的。

圖4 凸性的意義

從圖4還可以看出，凸集從而凸函數(shù)凸向原點的性質(zhì)表明，如果凸函數(shù)是具有這一性質(zhì)的無差異曲線，由于其邊際替代率是邊際遞減的，那么它的趨勢是從左上方向右下方傾斜的。但如果這種無差異曲線是嚴(yán)格凸的，則在幾何圖上呈現(xiàn)嚴(yán)格彎曲而不存在平坦段，這表明無差異曲線所表示的邊際替代率是逐步遞減的。換言之，在總消費效用不變的前提下，邊際替代率只存在部分替代，而不存在完全替代。因為完全替代就是允許單一或極端消費，這在經(jīng)濟(jì)學(xué)理論中是不存在的。完全替代在幾何圖上的表現(xiàn)就是無差異曲線對橫軸或?qū)v軸完全平坦（即平行），而對縱軸或橫軸完全陡峭（即垂直）（斯塔爾·R，2003年，第73～74頁）。

在現(xiàn)實中，凸性也為普遍的事實所實證。正如蓋爾·D（2008年，第26頁）所言，有限聯(lián)盟的數(shù)量可以非常大，而且非常大的數(shù)量會產(chǎn)生一個凸性效應(yīng)。筆者指出，這也符合統(tǒng)計學(xué)理論和實踐：如果人數(shù)眾多，絕大多數(shù)人的行為都會集中在區(qū)域中間的某一點，而呈正態(tài)分布，這表明絕大多數(shù)人都是風(fēng)險規(guī)避的，厭惡極端和單一，從而偏好折中和多元。

凸性同競爭交易均衡的關(guān)系。高山晟（2009年，第93頁）指出：設(shè)f（x）是定義在Rn中的凸集X上的函數(shù)，如果函數(shù)f在約束集C上，在點X達(dá)到局部最大值，并且C是凸集，那么f（x）在C上有唯一全局最大值點。其實從幾何上來說，無差異曲線從兩端向原點趨近的過程，就是弧弦的兩端逐漸接近中間點的過程，也是逼近消費效用最大值的過程。當(dāng)弦趨于0時，即剛剛變成切線時，弦的兩端和中間點三者重合，這表明兩端與中間的效用三者相等了，兩端效用已收斂到極限點：limP（x）=C，而這正是切點（一階導(dǎo)數(shù)）的數(shù)學(xué)含義。同時，這一極限點也是弦縮小到弧上，即同時屬于弧上的這一點。在凸性條件下，這一點就是凸集的極值或最值，由于凸集定義，這個最值也必然包含在集合之內(nèi)?？傊?，在一定條件下，凸集具有全局唯一的最大值點，而全局唯一最大值點正好就符合納什討價還價解的定義，如前所述也就符合競爭交易的瓦爾拉斯均衡定義。因此，集合具有凸性，是競爭交易均衡具有存在性的主要條件之一。

2.如果平等與效率關(guān)系滿足凸性條件，那它們就成為存在競爭交易均衡的條件之一。若要考察平等效率關(guān)系是否滿足凸性條件，就是要從理論上證明平等效率的加權(quán)平均組合效應(yīng)θf（xi）+（1-θ）f（xj）大于等于平等、效率兩個端點之單獨效用，但目前對此直接證明有困難。在現(xiàn)實中就強者或弱者每一個消費者來說，平等和效率關(guān)系函數(shù)構(gòu)成無差異曲線集合，筆者認(rèn)為，如果平等效率關(guān)系具有以下表現(xiàn)或特點，則這些集合就是凸集，或具有凸性。

第一，平等、效率兩種消費各自都呈現(xiàn)邊際效用遞減。普遍的事實證明經(jīng)濟(jì)學(xué)主要公理之一，即“邊際效用遞減”在平等、效率消費及兩者的關(guān)系上仍然存在。因此在平等、效率無差異曲線上，在u（x）不變條件下，對 xi來說（對 xj也類似），由于?xi由小逐步變大，使?u（x）/?xi由大逐步變小，致使 xi呈現(xiàn)邊際效用遞減，導(dǎo)致曲線從左上方向右下方傾斜延伸，從對xi軸陡峭（同時對xj軸平坦），到對xi軸平坦（同時對xj軸陡峭），而且中間轉(zhuǎn)彎過渡的部分，則呈彎曲形狀并由于“弦大于弧”而凸向原點，形成凸集。

第二，平等、效率相互的邊際替代率遞減。由于平等、效率的邊際替代率，即，那由“邊際效用遞減”可直接得出邊際替代率遞減。另外有，則平等、效率無差異曲線的斜率為。由于dxi即xi變動額從小變大，而dxj即xj變動額從大變小，使得∣dxj/dxi∣不斷減少，致使無差異曲線斜率——邊際替代率不斷減少，從而呈遞減性質(zhì)。那么這種遞減的趨勢如何呢？以下將其劃分為三個階段（當(dāng)然這是為了便于表述，事實上它們是平滑連續(xù)的，沒有理由認(rèn)為它們是截然分開的）：在曲線的第一段，xi變動額dxi很小，xj變動額 dxj很大，此時∣dxj/dxi∣＞1，表明曲線斜率較大，對xi軸比較陡峭；在第二段，xi和xj的變動額差別不大，接近于∣dxj/dxi∣=1，曲線以約-45°向右轉(zhuǎn)彎；在第三段，xj變動額dxj很小，而xi變動額dxi很大，故∣dxj/dxi∣＜1，表明曲線斜率較小，對xi軸比較平坦。反過來的邊際替代率MRSj，i（x）之變化同上述類似，只是方向正好相反?？傊捎谄降?、效率邊際替代率的遞減呈上述三個階段的變化，故無差異曲線的斜率也呈上述三個階段的變化，即曲線中間凸向原點的從左上方向右下方傾斜的變化，從而形成凸集。

第三，實證表明，由平等、效率兩種消費品的組合效用，大于平等或效率單一消費的效用。從偏好來說，絕大多數(shù)人的實際感受是最終厭惡極端平等或極端效率的做法，而偏好兩者適當(dāng)?shù)慕M合?！敖^對平均”和“唯利是圖”最終同樣缺乏市場。因此從實證來說，平等、效率關(guān)系具有凸性。

綜上所述，假定平等、效率關(guān)系具有上述三個表現(xiàn)，則這種關(guān)系具有凸性，那么平等、效率消費組合后的效用，必定大于平等或效率各自單一消費之效用。確定平等、效率適當(dāng)?shù)慕M合，就是確定強者或弱者關(guān)于平等、效率適當(dāng)?shù)倪呺H替代率。那么，關(guān)于平等、效率競爭交易均衡的實質(zhì)，就是在預(yù)算等各項條件約束下，強弱者關(guān)于平等、效率邊際替代率通過調(diào)節(jié)相互一致并實現(xiàn)消費效用最大化；換言之，這種調(diào)整就是尋找強弱者各自無差異曲線斜率彼此相等，并為共切點從而是共同最大值的那一點。從理論上講，由于平等效率的邊際替代率遞減，而使無差異曲線凸向原點，則凸集中的“全局唯一最大值點”在一定條件下是可以通過調(diào)節(jié)得到的。換言之，布勞威爾不動點和競爭交易均衡點存在于強弱兩者關(guān)于平等、效率無差異曲線集合之中。

（三）平等與效率關(guān)系是否滿足緊致性條件

緊致性的定義，由高山晟（2009年，第20，22～23，27頁）援引“海湟·波萊爾定理”給出：Rn中的每一個子集都是緊的，當(dāng)且僅當(dāng)這個集合是閉集且有界；其中“有界”就是，Rn中的集合S稱為有界，如果存在半徑有限的開球包含集合S；其中“閉集”就是極限運算下封閉的集合，而任一個閉集包含它所有的極限點。斯塔爾·R（2003年，第45頁）給出閉集一個簡明易懂的定義：集合中任意序列點的極限點都屬于集合。若 xi∈X，xi→x0，則 x0∈X，那么集合X是閉的。

應(yīng)說明，緊致性就是緊集的特性。那么，緊集直接的定義就是：如果S的每一個開復(fù)蓋都有一有限子復(fù)蓋；或者S的每一個無限子集都有極限點，S中每個序列都有收斂子列并極限屬于S（高山晟，2009年，第22～23頁）。從字義可看出，緊集定義和緊致性定義的實質(zhì)一樣：有限序列或無限序列的極限點都包含在有界集合內(nèi)。

那么，緊致性（緊集特征）是如何成為布勞威爾不動點的條件呢？這就是魏爾斯特拉斯定理：設(shè)（X，τ）為一拓?fù)淇臻g，且f為X上的連續(xù)實質(zhì)函數(shù)，設(shè)S為X的緊子集，那么f在S中可以取得最大值和最小值（高山晟，2009年，第24頁）。由于最小值前面加個負(fù)號就成為最大值，故上述定理表明，在緊子集可以取得最優(yōu)值。

假設(shè)平等、效率關(guān)系具有緊致性，那么：第一，這表明它們的集合必然是閉的，那么平等、效率無差異曲線集合，或邊際替代率MRSi，j（x）集合，在它們交易的前后，其中或是有限的序列，或是無限序列的極限都在集合之內(nèi)，這樣根據(jù)魏爾斯特拉斯定理，集合中存在著最優(yōu)值，換言之，存在著平等、效率邊際替代率的最優(yōu)值。第二，表明它的集合是有界的，即平等、效率之無差異曲線和邊際替代率曲線的集合，在它們交易的前后，都受到預(yù)算線的約束，從而它們的替代和交易的最值以及均衡都存在于此有界的范圍內(nèi)?？傊?，假定平等、效率關(guān)系具有緊致性，它作為條件之一，可以使得布勞威爾不動點存在于平等、效率關(guān)系集合中。換言之，作為條件之一，可以使強弱兩者的邊際替代率相互一致并實現(xiàn)效用最大化。

（四）平等與效率關(guān)系是否滿足連續(xù)性條件

高山晟（2009年，第20頁）給出連續(xù)性的定義：稱函數(shù)f在X中點x0處連續(xù)，如果對任意給定的實數(shù)ε＞0，存在一實數(shù)δ，使得對于滿足距離d1（x，x0）＜δ且x∈X的x，有d2［f（x），f（x0）］＜ε；如果函數(shù)在X中所有點處都連續(xù)，那么稱函數(shù)f在X上連續(xù)。埃里克森·B（2008年，第126～127頁）給出更加數(shù)學(xué)化的定義：如果?ε＞0?δ＞0，使得，這就是在 x點連續(xù)性的 δ-ε 定義。

斯塔爾·R（2003年，第48頁）指出，函數(shù)連續(xù)性概念的精髓在于：定義域內(nèi)相互鄰近的點映射到值域以后，映射點仍然相互接近，函數(shù)在值域中的取值沒有跳躍。阿羅·K（1988年，第41頁）也指出，直觀上我們只是說，當(dāng)自變量有微小變化時，函數(shù)也只有微小變化。筆者認(rèn)為，連續(xù)性的實質(zhì)含義在于，函數(shù)（映射、內(nèi)生變量等）隨自變量（外生變量）變化而變化，而不論這種變化微小到任何程度。將連續(xù)性同極限聯(lián)系起來，可以對其含義加深理解。函數(shù)連續(xù)性定義等價于下述論斷：若xq→x0，那么f（xq）→f（x0）（高山晟，2009年，第20頁）。經(jīng)f的映射，定義域中的一個收斂的序列，在值域中的映射是函數(shù)值的一個收斂序列（斯塔爾·R，2003年，第48頁）?？傊B續(xù)性保證無限序列全面趨向極限，而不會間斷、跳躍、突變和逆轉(zhuǎn)。這是連續(xù)性之所以能成為滿足布勞威爾不動點定理的一個條件之原因。

假設(shè)平等、效率作為消費品，以及它們關(guān)系的函數(shù)，都具有可細(xì)分性、效用可轉(zhuǎn)移性以及商品守恒性質(zhì)，那么平等、效率作為互為函數(shù)，其中一個微小變化必然引起另一個微小變化，其中一個收斂即趨向極限（極值、最值），必然導(dǎo)致另一個收斂即趨向極限（極值、最值）。這使得強弱兩者關(guān)于平等、效率之邊際替代變化，不會發(fā)生間斷、跳躍、突變和逆轉(zhuǎn)，從而使上述兩者邊際替代率通過變化實現(xiàn)一致和共同效用最大化。這樣作為條件之一，有助于使上述交易產(chǎn)生布勞威爾不動點，從而使競爭均衡存在于上述集合之中。

四、關(guān)于平等與效率競爭交易均衡保持穩(wěn)定的條件

高山晟（2009年，第242頁）指出，價格P是否會收斂于原始均衡價格P，這就是“穩(wěn)定性問題”。可見，所謂均衡價格的穩(wěn)定性問題同存在性問題類似，就是強弱兩者各自關(guān)于平等、效率的比價是否不動（存在性），是否穩(wěn)定（收斂于常數(shù)）。還有，平等、效率關(guān)系的均衡也不是必然穩(wěn)定或不穩(wěn)定，它的穩(wěn)定只是一定條件下的產(chǎn)物。

（一）均衡穩(wěn)定性的定義、意義、定理和條件

1.均衡穩(wěn)定性的定義和意義。高山晟（2009年，第251～252頁，257頁）給出均衡穩(wěn)定性的定義：在非自治系統(tǒng)（有時間t）中，一個點x?∈X屬于微分方程組xˉ（t）=f［x（t），t］，式中x?為均衡時的消費或需求，xˉ為x微分形式；如果對所有t都有f（x?，t）=0，則稱x?為均衡點（狀態(tài)）。在自治系統(tǒng)（無時間t）中，如果f（x?）=0，則稱x?為均衡點。那么，當(dāng) t→∞ 時，ф（t；x0，t0）→x?，均衡狀態(tài)x?稱為全局穩(wěn)定；或者，如果動態(tài)方程組解的時間路徑從初始點P0收斂于p?，我們就說一個均衡（均衡價格向量p?）是穩(wěn)定的，Samunelson稱其為真正穩(wěn)定的。

因此均衡穩(wěn)定性的意義可作如下表述：隨著t→∞，P（t）→limP（t）→C，表明隨著時間趨向無限，其價格總是趨向一個極限常數(shù)。高山晟（2009年，第243～244頁）以將超額需求函數(shù)寫成微分方程的形式來表述：dxi（t）/dt=hi｛f［x（t）］｝。式中，hi為任何（固定）單調(diào)遞增可微實值函數(shù)，f［x（t）］是超額需求函數(shù)，為需求同供給之差。該式表明，當(dāng)價格移動時，超額需求的數(shù)量會發(fā)生移動，并且當(dāng)價格以超額需求消失的方式移動時，市場便趨于穩(wěn)定過程?？傊詢r格調(diào)整市場上的穩(wěn)定性被稱為瓦爾拉斯穩(wěn)定。

關(guān)于均衡的穩(wěn)定性，就平等、效率的關(guān)系而言，筆者認(rèn)為，隨著時間趨向無限，強弱兩者的競爭交易價格，即關(guān)于平等、效率的比價，倘若收斂于同一個常數(shù)極限，這就表明強弱兩者各自對于平等、效率的邊際替代率都收斂于一個彼此相等的常數(shù)極限，從而可以保持均衡的穩(wěn)定性。

2.定理和條件。關(guān)于均衡穩(wěn)定性的條件，有阿羅—布洛克—赫維茨定理：在瓦爾拉斯律、齊次性和總量可替代性的假設(shè)下，如下方程描述系統(tǒng)是全局穩(wěn)定的（高山晟，2009年，第 249～251頁，266～268頁）。令P為均衡價格，fi（P）=fi［P（t）］為超額需求，那么這個系統(tǒng)是：dPi（t）/dt=fi［P1（t），P2（t），……Pn（t）］≡xi［P1（t），P2（t），……，Pn（t）］-xˉ，上式中xˉ（t）≡dxi（t）/dt，i=1，2，……，n。上述定理提出的全局穩(wěn)定之三個條件簡要表述如下（高山晟，2009年，第259頁，266～268頁），其中假定在以下所有關(guān)系中，t≥0，且 P（t）成立。

條件一，總量可替代性。即總量可替代率為正，有?xi（p）/?pj＞0，對所有的P，i≠j，i，j=1，2，……。上式也可簡寫為xij＞0，或αij＞0或fij（P）＞0。該式表明，對某個消費者來說，i種消費品的需求變動額對于j種消費品價格變動額的比值，即xij=?xi/?pj就是總量可替代率；該參數(shù)為正，表明這兩種消費品具有總量可替代性。應(yīng)指出，“總量可替代”同“普通凈替代”不同，區(qū)別在于前者沒有而后者擁有收入補償?？偭靠商娲鷹l件表明，當(dāng)時間t趨于無限時，交易者關(guān)于兩個消費品的邊際替代率（即相對比價）收斂于一個不變的常量p?，即均衡價格p?，從而保持了均衡穩(wěn)定。

條件三，齊次性?？蓪憺閤i（p）=xi（αp），i=1，2，……n，對任何正數(shù)α，該式表明，一個函數(shù)同它乘上一個正的常數(shù)之后的積沒什么不同。

總之，如果平等效率關(guān)系能滿足總量可替代性、瓦爾拉斯律和齊次性，那么隨著時間變化，即t→∞，強弱兩者的競爭交易價格就會收斂于一個常數(shù)極限即穩(wěn)定價格，從而實現(xiàn)均衡價格的穩(wěn)定。

（二）平等與效率關(guān)系是否滿足總量可替代性條件

1.理論性質(zhì)。這從三個方面進(jìn)行分析：

（1）替代品（這一部分參考了高山晟，2009年，第114-117頁，但對某些數(shù)學(xué)符號做了改動）。總量可替代率為正表明兩種消費品互為替代品。根據(jù)薩繆爾森交互作用關(guān)系，對所有的i和j，有總量可替代率 xij=?xi/?pj=?xj/?pi，則替代矩陣 S=［xi，j］，由上式看出S是對稱的。再由歐拉定理，對所有的P，有S（P）·P=0。可見替代矩陣必有 S=0。因為 S*·P=0，故有是消費品種類。由上式可得出，在無論多少消費品中，就一對特定消費品 i，j而言，如果 x*ij＞0，則 i和 j是替代品，即滿足了總量可替代條件；如果x*ij＜0，則i和j是互補品，即沒有滿足總量可替代條件。

理論還證明，當(dāng)只有兩種商品時，它們只能是替代品。因為若n=2，有這表明，此時只有當(dāng)x12=x21＞0，才有可能使S=0?？梢姰?dāng)n=2時，必有總量可替代率xij＞0，從而這兩種消費品必須是替代品。而當(dāng)n≥3時，由于會有xij＜0，則可能出現(xiàn)互補品，但其中至少有一對相互間是替代品，因為這樣才能使S=0。一對消費品是替代品，表明它們具有總量可替代性，這是使均衡保持穩(wěn)定的主要條件之一。

（2）總量可替代率為正，表明兩種消費品的無差異曲線凸向原點。前述“若xij為正，則兩種消費品只能是替代品”之結(jié)論的重要意義在于，它使兩種消費品的關(guān)系呈現(xiàn)凸性。平新喬（2001年，第35～36頁）從?？怂埂估幕降姆纸庵姓f明這一點，上述公式第1項?xi/?pj∣u=c為替代效應(yīng)（筆者注：該項結(jié)構(gòu)同總量可替代率相同，其中C為常數(shù)）。上式表明，當(dāng)兩種消費品之無差異曲線凸向原點時，替代效應(yīng)?xi/?pj∣u=c為正。原因是，由于無差異曲線凸向原點，那么當(dāng)pj上升時xj下降，由于xi對xj是替代的，所以在同一條無差異曲線上xi會上升，即隨pj上升。反之當(dāng)pj下降時，在同一條無差異曲線上xi會下降，即隨pj下降。總之表明j的價格pj同i的需求xi是同向的，故替代效應(yīng)∣?xi/?pj∣u=c為正。

筆者指出，由上述推理過程可看出，這一推理可以是逆向的：首先假設(shè)替代效應(yīng)?xi/?pj∣u=c為正，則j的價格pj同i的需求xi必然是同向的，然后如前所述的那一變化過程必然使i，j的無差異曲線呈凸向原點的走勢。這表明，只要兩種消費品具有總量可替性，那它們的關(guān)系必然穩(wěn)定地具有凸性，從而使兩者的邊際效用和邊際替代率具有遞減性質(zhì)；又因為無差異曲線凸向原點，表明在同樣不變的效用下，消費最少量的消費品，從而產(chǎn)生最優(yōu)值。這樣隨著時間t→∞，在i，j的無差異曲線集合中可以找到極值和最值，從而實現(xiàn)均衡價格穩(wěn)定。

（3）總量可替代率同邊際替代率具有密切聯(lián)系。我們已知：MRSi，j（x）=∣dxj/dxi∣=pi/pj，由此可得dxj/pi=dxi/pj，另一方面，總量可替代率 xij=?xi/?pj。從上兩式可知，xij同MRSi，j具有密切的內(nèi)在聯(lián)系，在一定條件下，總量可替代性質(zhì)可以決定和調(diào)節(jié)邊際替代率從而有助于實現(xiàn)均衡穩(wěn)定。

2.平等與效率關(guān)系如何滿足總量可替代條件。在一個純交換經(jīng)濟(jì)中，如果只有平等、效率兩種消費品，即n=2，根據(jù)前述理論分析，平等、效率兩者只能是替代品，兩者具有總量可替代性，即 xij=?xi/?pj＞0。此外，前述理論還表明，即使在n≥3條件下，也至少有一對是替代品。這表明，在n≥3時，其中平等、效率兩種消費品如果仍滿足xij＞0，則平等、效率仍會是替代品，從而具有總量可替代性?？梢?，只要在一定條件下，平等、效率兩種消費品具有總量可替代性，則就具有凸性并遵循邊際替代率遞減規(guī)律，因而隨時間變化t→∞，強弱兩者各自的邊際替代率（相對價格）會收斂于一個常數(shù)極限，即收斂于一個雙方一致而最優(yōu)的邊際替代率，從而收斂于一個穩(wěn)定的均衡價格。

還應(yīng)指出，既然平等、效率的交易替代是在預(yù)算約束下追求效用最大化，那么只要在分配規(guī)則重新調(diào)整的重要前提下，收入變動也會間接地影響平等效率的相對比價和關(guān)系。比如一國的經(jīng)濟(jì)增長了，國民收入提高了，倘若把蛋糕增長的更大一部分增加投入公共財政和轉(zhuǎn)移支付政策，那么就會間接地提高平等所占比重。這里特別強調(diào)，這一“間接”提高平等之比重，必須要有收入分配比例重新調(diào)整的重要前提，即重新制定更為平均地分享蛋糕的規(guī)則。前述提高效率做大蛋糕，只是重新平均分配蛋糕的基礎(chǔ)，如果沒有重新調(diào)整分配比例即提高平等比重，那么單獨提高效率絕不可能自然或必然地促進(jìn)平等。這也就是在只有這兩種消費品的前提下，平等與效率相互間只能是替代品而不是互補品的原因之一。反之如果是互補品，那就能夠無條件地自動互補。

（三）平等與效率關(guān)系是否滿足瓦爾拉斯律條件

事實上在強弱者關(guān)于平等、效率的純交換經(jīng)濟(jì)中，瓦爾拉斯律條件表現(xiàn)為需求等于初始稟賦，而后者就是預(yù)算約束。強弱兩者關(guān)于平等、效率的競爭交易，一是受到預(yù)算制約，它們關(guān)于平等、效率的替代變化，總是不會超過收入或稟賦資源；二是受到預(yù)算支撐，它們關(guān)于平等、效率的替代變化，總是能在預(yù)算約束下實現(xiàn)效用最大化?？傊源藶榭尚行詶l件，使平等、效率的替代交易順利進(jìn)行，從而隨著時間趨向無限，使這種邊際替代率和交易價格收斂于一個常數(shù)極限，以實現(xiàn)均衡價格穩(wěn)定。

此外從凈交易圖（圖2）來看，假如收入預(yù)算增加了，從而導(dǎo)致預(yù)算線以及強、弱者的無差異曲線向右上方移動，這樣在平等、效率比價關(guān)系和邊際替代率仍然不變的條件下，使得強弱兩者各自的效用仍能增加和改善。

（四）平等與效率關(guān)系是否滿足齊次性條件

關(guān)于齊次性的定義，阿羅·K（1988年，第423頁）指出，每個商品按相同因子上升、下降，超額需求Z不會發(fā)生變化。這表明，對每個商品的價格同時乘以某個正常數(shù)，不會改變均衡狀態(tài)。斯塔爾·R（2003年，第78頁）給出齊次性的意義：P的零次齊次性蘊涵只有相對價格（價格比率），對于經(jīng)濟(jì)中的供給和需求才是重要的，而與所報價格的數(shù)值是不相干的。這表明，在那些只需要重點關(guān)注其相對比價關(guān)系的消費品中，具有齊次性質(zhì)十分重要。因為均衡是人們關(guān)注的重點，而均衡就是相對關(guān)系的均衡，所以在許多情況下，人們關(guān)注與觀察的只是序數(shù)效用，即相對偏好。在現(xiàn)實中，在人們觀察平等、效率關(guān)系時，最主要關(guān)注的是它們的相對關(guān)系以及在相對關(guān)系下達(dá)到均衡。因為在平等、效率關(guān)系中，如前所述，人性中的“嫉妒”心理有著極為重要的作用，而嫉妒是從人與人之間的相對比較而來的。

因此假設(shè)平等、效率關(guān)系滿足齊次性條件，那么當(dāng)強弱者的平等、效率“價格”都按同方向、同比例變動時，則平等、效率的相對比價和邊際替代率都不會改變。這樣，盡管一個消費者有多條平等、效率無差異曲線，若這些曲線的集合都具有齊次性，表明雖然各條曲線的效用不同，但它們關(guān)于平等、效率的邊際替代率都是相同的，因此，這些曲線的斜率是相同的從而是相互平行的。當(dāng)然這也表明，在無差異曲線平行移動時，平等、效率的組合效用還是可以變化和改善的，還是可以作為條件之一，在齊次性條件下向最優(yōu)值調(diào)整?？傊邶R次性條件下，如果平等、效率的消費同比例增長，總量可替代性和瓦爾拉斯均衡照樣不變，因而保持了平等與效率在相對關(guān)系下均衡的穩(wěn)定性。

五、結(jié)論

綜上所述可得出結(jié)論：運用數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)理論方法可以建立平等與效率關(guān)系新的邏輯框架。假設(shè)平等、效率是兩種消費品，弱者、強者是兩種消費者。在強弱兩者關(guān)于平等、效率的純交換經(jīng)濟(jì)中，在完全自由競爭的前提下，兩者經(jīng)過競爭交易和討價還價博弈，有可能實現(xiàn)均衡。這種均衡只是在一定條件下的產(chǎn)物，其具有存在性的三個主要條件是，相應(yīng)的平等與效率關(guān)系滿足凸性、緊致性和連續(xù)性；其具有穩(wěn)定性的三個主要條件是，上述關(guān)系滿足總量可替代性、瓦爾拉斯律和齊次性。

注釋：

①上述交易都是從強弱兩者的平等、效率各自從0.5份額的初始稟賦發(fā)展到大于或小于0.5。當(dāng)然也可從另一個方向比如強弱兩者從各自的平等、效率為｛1，0｝或｛0，1｝的初始稟賦，通過交易替代發(fā)展到大于或小于0.5。由于相同的機理，兩個方向的結(jié)果必然是一致的。

②有的文獻(xiàn)將契約線等同于核，總之對契約線有等同于帕累托最優(yōu)曲線或核的兩種說法。

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［14］姚國慶.博弈論［M］.北京：高等教育出版社，2007.

Mathematical Economic Logic of the Relationship Between Equality and Efficiency

He Xiaoxing

A new logical framework on the relationship between equality and efficiency can be established by the way of mathematical economic theories.Assuming that equality and efficiency are two sorts of consumer goods,while the weak and the strong are two groups of consumers,in the pure economic process of exchange for equality and efficiency between the weak and the strong,and on the premise of perfect competition,they may realize equilibrium after competitive transaction and bargaining games.Such equilibrium only exists under certain circumstances,including three major conditions：convexity,compactness and continuity in respect of the relationship between equality and efficiency.Its stability relies on three main factors：the aforesaid relationship has its aggregative fungibility,Walras'Law and homogeneity.

equality；efficiency；equilibrium；existence；stability

F064.1

A

1007-2101（2011）03-0009-13

2011-03-08

何曉星（1946-），男，上海人，上海市發(fā)展改革研究院研究員，研究方向為制度經(jīng)濟(jì)學(xué)。

武玲玲

責(zé)任校對：秦學(xué)詩